如何比较解释变量的系数相对大小？

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作者：连玉君 (中山大学)
E-Mail: arlionn@163.com

编者按： 这篇文章源自一个知乎问题：研究两个变量对另一变量的影响程度哪个显著，应该用什么模型？

就我目前看到的资料，实证分析中主要有两种方法：

标准化系数法
$R^2$ 分解法

A. 标准化系数法

在 Flannery and Rangan (2006，PDF) 文中 Table 5 Panel B 中，作者采用了这种方法对比了三种资本结构理论的相对重要性。详情参见

标准化系数

所谓标准化系数，就是对每一个变量都减掉均值除以对应的标准差。本质上是一个去除量纲的操作。例如，对于面板数据模型而言，我们可以采用如下方式进行标准化：

y_{it} = x_{it} \beta + \varepsilon_{it}\ \rightarrow \ \tilde{y}_{it}=\tilde{x}_{it}{\color{red}{\tilde{\beta}}} + \tilde{\varepsilon}_{it}

其中， $\tilde{y}_{it} = \frac{y_{it}-\bar{y}_{i}}{s.d.(y_{it})}$

$\tilde{\beta}$ 的含义： $x$ 变动一个标准差， $y$ 变动 $\tilde{\beta}$ 个标准差

各个解释变量相对重要性衡量

先设定一个包含两个变量的线性模型，假设所有变量都已经做了标准化处理：

$\tilde{y} = \tilde{x}_{1} \tilde{\beta}_1 + \tilde{x}_{2} \tilde{\beta}_2+\tilde{\varepsilon}$

此时， $\tilde{\beta}_1$ 的含义是： $x_1$ 变动一个标准差， $y$ 变动 $\tilde{\beta}_1$ 个标准差。

$x_1$ 的相对重要性 (或曰「 $x_1$ 对 $y$ 的影响程度」) 可以定义为： $C_1= \tilde{\beta}_{1}/s.d(y) =$ 「% $y$ 's Std. Dev. of $x_1$ 」
假设被解释变量的标准差为 $s.d(y) = 2$ ， $\tilde{\beta}_1=0.5$ ， $\tilde{\beta}_2=0.8$ ，则 $C_1 = 25\%$ ， $C_2 = 40\%$ 。相较而言， $x_2$ 对 $y$ 的影响更大一些。
评价： 虽然在本例中， $\tilde{\beta}_1$ 和 $\tilde{\beta}_2$ 都小于 $s.d(y)$ ，但在有些情况下，可能出现 $tilde{\beta}_j>s.d(y)$ ，此时的 $C_j>1$ 。这类似于金融中的 Beta 系数，它可能小于零，也可能大于 1。简言之，这种方法能对比变量的相对重要性，但无法对 $y$ 的总方差进行分解。此外，对于离散型 $y$ 或 $x$ 而言，此法未必适用。

Stata 范例

用 Stata 自带的 auto.dta 数据集进行演示：

sysuse "auto.dta", clear
sum mpg
global sd_y = r(sd)  //被解释变量的标准差
dis "s.d.(mpg) = " r(sd)

reg mpg len wei foreign, beta      //标准化系数
est store m0

*-手动
center  mpg len wei foreign, standardize inplace  // 可以简写为 s inplace
regress mpg len wei foreign
est store msd 

*-第一个变量的相对重要性

*-原始数据
dis "% y's Std. Dev. of x_1 = " -0.318/5.785503

*-百分比形式
dis "% y's Std. Dev. of x_1 = " %6.2f _b[len]/$sd_y *100 "%"

对应结果如下：

. sysuse "auto.dta", clear
(1978 Automobile Data)

. sum mpg

    Variable |        Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
         mpg |         74     21.2973    5.785503         12         41

. global sd_y = r(sd)  //被解释变量的标准差

. dis "s.d.(mpg) = " r(sd)
s.d.(mpg) = 5.7855032

. 
. reg mpg len wei foreign, beta      //标准化系数

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =        74
-------------+----------------------------------   F(3, 70)        =     48.10
       Model |   1645.2889         3  548.429632   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  798.170563        70  11.4024366   R-squared       =    0.6733
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.6593
       Total |  2443.45946        73  33.4720474   Root MSE        =    3.3767

------------------------------------------------------------------------------
         mpg |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|                     Beta
-------------+----------------------------------------------------------------
      length |     -0.083      0.055    -1.51   0.136                   -0.318
      weight |     -0.004      0.002    -2.73   0.008                   -0.586
     foreign |     -1.708      1.067    -1.60   0.114                   -0.136
       _cons |     50.537      6.246     8.09   0.000                        .
------------------------------------------------------------------------------

. est store m0

. 
. *-手动
. center  mpg len wei foreign, standardize inplace  // 可以简写为 s inplace

. regress mpg len wei foreign

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =        74
-------------+----------------------------------   F(3, 70)        =     48.10
       Model |  49.1541155         3  16.3847052   Prob > F        =    0.0000
    Residual |   23.845884        70  .340655486   R-squared       =    0.6733
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.6593
       Total |  72.9999996        73  .999999994   Root MSE        =    .58366

------------------------------------------------------------------------------
         mpg |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
      length |     -0.318      0.211    -1.51   0.136       -0.739       0.102
      weight |     -0.586      0.215    -2.73   0.008       -1.015      -0.157
     foreign |     -0.136      0.085    -1.60   0.114       -0.305       0.033
       _cons |     -0.000      0.068    -0.00   1.000       -0.135       0.135
------------------------------------------------------------------------------

. est store msd 

. 
. *-第一个变量的相对重要性
. 
. *-原始数据
. dis "% y's Std. Dev. of x_1 = " -0.318/5.785503
% y's Std. Dev. of x_1 = -.05496497

. 
. *-百分比形式
. dis "% y's Std. Dev. of x_1 = " %6.2f _b[len]/$sd_y *100 "%"
% y's Std. Dev. of x_1 =  -5.50%

B. $R^2$ 分解法

参见 R2分解：相对重要性分析 (Dominance Analysis)。

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