加入控制变量后结果悲催了！

发布时间：2020-04-25 阅读 23004

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连玉君 (中山大学, arlionn@163.com)

张静瑶 (浙江海洋大学，1132358871@qq.com)

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1 背景

1.1 问题的引入

两小儿辩车

王小儿：我发现车越长越贵，比如，奥迪 A6L 就比 A4L 贵多了；

李小儿：那也未必，奥迪 R8 只有 4 米 4，但可以买两辆 A6L了。还有，我二爸开的那个公交车，12 米，才 30 万！

为什么车长与价格之间的关系并不"固定"？也就是说，如果用价格对车长回归，那么 R8，A6L，公交车会有显著的差异。

在大家做实证分析的最初阶段，经常会有一个困扰：原本主效应很符合预期目标，但加入了一个或几个控制变量后，主效应要么符号变了，要么不显著了。可是，关键控制变量不加入的话，审稿人必然会提出质疑。这是怎么回事了？要回答这个问题，让我们先从条件期望说起。

1.2 什么是条件期望

教育与收入的关系

春节临近，如何应对亲戚的"问候杀"，是一个亟待解决的现实问题。试想，举国欢庆的日子，大家齐坐一堂，面对读硕读博归家的你，七大姑问到："大闺女，老大不小了，该干点正事谈个对象什么的呢，读那么多书干嘛呀"，你咽了咽口水"读书好啊，以后可以多挣钱孝敬您老人家"，话音未落，八大姑道："哎呀瞎说，你看隔壁二狗子，高中没读完去做生意，现在赚老多钱了"….气氛顿时尴尬了，除了咽口水外，该怎么"杠"回去…

那就要了解条件期望的概念了：条件期望函数记为 $E (Y_{i} | X_{i})$ ，是关于 $X_{i}$ 的函数，考虑到 $X_{i}$ 是随机的，所以条件期望函数也是随机的。比如给定 $X$ 为受教育水平的一个定值，如 $X = 12$ ，那么 $E (Y_{i} | X_{i} = 12)$ 就是表示所有读 12 年书的个体，其收入水平的期望值。

用图说明

图中，横轴表示受教育水平，纵轴则为收入，在每一个给定的受教育水平下（如：受教育年限 12 年），收入服从一个近似正态的随机分布。可以看到，由于存在着无法忽视的个体差异，使得某些低教育者的收入要高于某些高教育者的收入，但通常而言，教育水平高的人赚的更多。

看到这里，学习过初级计量经济学的同学肯定会想到，对，是"个人能力"的影响，是"个人能力"让二狗子和大闺女产生了收入的差异。确实如此，那么"个人能力"便是一个需要控制的重要变量。

2 Stata 实操

2.1 回到原例

让我们回到"小儿辩车"的引子。调入官方自带的汽车数据，研究汽车长度 length 对汽车价格 price 的影响。在多元回归中，加入的控制变量分别为里程数 mpg 和汽车重量 weight

利用外部命令 reganat (Filoso, 2013) 或 reganat2 对多元回归模型的系数进行图示：

. sysuse "auto.dta", clear
. cap eststo clear
. eststo: reg price length
. eststo: reg price length mpg weight
. esttab, nogap 
. reganat price length mpg weight, dis(length) ///
.              biscat biline scheme(s2color)

虚线拟合线表示了不加入控制变量时 length 的影响，而实线是加入控制变量之后的。由之初的右上倾斜变为右下倾斜，这是一个本质性地改变。

回归结果

--------------------------------------------
                      (1)             (2)   
                    price           price   
--------------------------------------------
length              57.20***       -104.9** 
                   (4.06)         (-2.64)   
mpg                                -86.79   
                                  (-1.03)   
weight                              4.365***
                                   (3.74)   
_cons             -4584.9*        14542.4** 
                  (-1.72)          (2.47)   
--------------------------------------------
N                      74              74   
--------------------------------------------
t statistics in parentheses
* p<0.1, ** p<0.05, *** p<0.01

对比 length 的系数可见，在一元回归时该系数显著为正（57.2），而加入控制变量后，系数为负（-104.9）并在 10% 的水平下显著。

原因分析

若真实的回归模型为 $Y_{i} = α_{1} + β_{1} x_{1} + β_{2} x_{2} + ξ_{1}$ ① ，若此时将 $x_{2}$ 的"贡献"剔除掉之后，得到的回归模型是 $Y_{i} = α_{2} + θ_{1} x_{1} + ξ_{2}$ ② ，此时的 $ξ_{2}$ = $β_{2} x_{2} + ξ_{1}$ ，若 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 相关， $c o r r (x_{1}, ξ_{2}) \neq 0$ ，出现了内生性问题。若 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 无关，是否加入 $x_{2}$ 并不影响 $x_{1}$ 的系数。

2.2 通过实例演示

先进行正常的多元回归，加入主效应变量 length 和控制变量 mpg weight

sysuse auto.dta, clear
reg price length mpg weight
est store m1

接着，我们利用解构回归（regression anatomy）（参考《基本无害的计量经济学》）来"解读"正常的多元回归：1.先用 length 对控制变量 mpg weight 进行回归，然后可以得到一个残差项。2. 再用被解释变量对上一步的残差项进行回归。

. reg length mpg weight
. predict e, res
. reg price e
. est store m2
. esttab m1 m2 , nogap.

估计结果

--------------------------------------------
                      (1)             (2)   
                    price           price   
--------------------------------------------
length          -104.9***       
                 (-2.64)        
mpg              -86.79                 
                  (-1.03)   
weight            4.365***
                  (3.74)   
e                                     -104.9*
                                      (-2.22)  
_cons           14542.4*              6165.3***
                (2.47)                (18.46)   
--------------------------------------------
N                      74              74   
--------------------------------------------
t statistics in parentheses
* p<0.1, ** p<0.05, *** p<0.01

可以看到，最后得到的主效应估计结果一致，均为 -104.9 。在用 length 对控制变量 mpg weight 回归后得到的残差项，表示 length 剔除了其他解释变量对自己的影响的"结果"，将其再与被解释变量的回归就是一个"净"的效应。

3 总结

可见，加入控制变量后，我们关心的估计系数是否会产生变化，取决于与控制变量之间的独立性。

我们列出将会出现的四种情形

与控制变量之间完全独立，则加入控制变量对估计系数无影响（情形 1）

与控制变量之间相关，且完全通过控制变量的"途径"来影响被解释变量，则估计系数不显著（情形 2）

与控制变量之间高度相关，则加入控制变量后，估计系数都不显著（情形 3）

与控制变量之间相关，则加入控制变量后，主要解释变量的估计系数会出现大小和符号变化。具体变化取决于与控制变量间的正负相关性。（情形4）

若需进一步分析各个解释变量的相对重要性，可以参考「R2分解：相对重要性分析 (Dominance Analysis)」 (微信版)，以及「连玉君-如何比较解释变量的系数相对大小？」。

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加入控制变量后结果悲催了！

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1.2 什么是条件期望

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2.2 通过实例演示

3 总结

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