Stata：广义Heckman两步法-gtsheckman

发布时间：2022-10-14 阅读 1955

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作者：章青慈 (中央财经大学)
邮箱：Quincy_zqc@163.com

编者按：本文主要参考自下文，特此致谢！
Source：Carlson A, Joshi R. Sample Selection in Linear Panel Data Models with Heterogeneous Coefficients[R]. 2022. -Link- -PDF-

1. 背景简介

传统的 Heckman 两步法可以解决样本选择造成的内生性问题，但仍忽视了由样本个体异质性造成的内生性问题。为了克服这一缺陷，Carlson 和 Joshi (2022) 提出了广义 Heckman 两步法 (又称作 gtsheckman)。它类似于两步一致 Heckman 估计，但允许第一步选择方程中存在异方差，以及更一般化的控制函数形式。此外，它提供了异方差稳健性检验和聚类稳健性检验。

为了推广该方法，Carlson 和 Joshi (2022) 编写了广义 Heckman 两步法的 Stata 命令 gtsheckman。本文的主要目的是介绍 gtsheckman 命令的使用。

2. 估计步骤

2.1 异质性截距和异质性系数

给定面板数据，选择方程可以灵活地设计异质性截距和异质性系数：

s_{i t} = 1 (a_{i 2} + x_{i t 1} b_{i 2} + x_{i t 2} c_{i 2} + D_{t} ζ + u_{i t 2} \geq 0) (1)

其中 $u_{i t 2}$ 是潜在的特有误差， $D_{t} ζ$ 是时间虚拟变量。选择方程中未观测到的效应可表示为观测到的效应的线性函数：

\begin{aligned} a_{i 2} = α_{2} + ({\bar{z}}_{i} - μ_{z}) δ_{a} + r_{i 2} \\ b_{i 2} = β_{2} + (({\bar{x}}_{i} - μ_{x}) \otimes I_{K_{1}}) δ_{b} + q_{i 2} \\ c_{i 2} = κ_{2} + (({\bar{x}}_{i} - μ_{x}) \otimes I_{K_{2}}) δ_{c} + p_{i 2} \end{aligned} (2)

所以选择方程可以进一步写为：

\begin{aligned} s_{i t} = & 1 (α_{2} + ({\bar{z}}_{i} - μ_{z}) δ_{a} + x_{i t 1} β_{2} + (({\bar{z}}_{i} - μ_{z}) \otimes x_{i t 1}) δ_{b} + x_{i t 2} κ_{2} + (({\bar{z}}_{i} - μ_{z}) \otimes x_{i t 2}) δ_{c} \\ + D_{t} ζ + r_{i 2} + x_{i t 1} q_{i 2} + x_{i t 2} p_{i 2} + u_{i t 2} \geq 0) \\ = & 1 (X_{i t 2} θ_{2} + v_{i t 2} \geq 0) \end{aligned} (3)

2.2 具体估计步骤

对于被观测到的样本方程：

E (y_{i t} ∣ x_{i}, s_{i t} = 1) = X_{i t 1} θ_{1} + \frac{ρ (x_{i})}{{(σ (x_{i}))}^{2}} E (v_{i t 2} ∣ x_{i}, s_{i t} = 1) (4)

样本被观测到的概率：

\begin{aligned} P (s_{i t} = 1 ∣ x_{i}) & = P (X_{i t 2} θ_{2} + v_{i t 2} \geq 0) \\ = P (\frac{- v_{i t 2}}{σ (x_{i})} \leq \frac{X_{i t 2} θ_{2}}{σ (x_{i})}) \end{aligned} (5)

按照传统的 Heckman 两步法进行控制函数推导：

E (v_{i t 2} ∣ x_{i}, s_{i t} = 1) = σ (x_{i}) ϕ (\frac{X_{i t 2} θ_{2}}{σ (x_{i})}) / Φ (\frac{X_{i t 2} θ_{2}}{σ (x_{i})}) (6)

将逆米尔斯比率 (IMR) 定义为：

λ_{i t} \equiv ϕ (\frac{X_{i t 2} θ_{2}}{σ (x_{i})}) / [Φ (\frac{X_{i t 2} θ_{2}}{σ (x_{i})}) σ (x_{i})] (7)

将控制函数与 IMR 代入，估计方程变为以下形式：

E (y_{i t} ∣ x_{i}, s_{i t} = 1) = X_{i t 1} θ_{1} + ρ (x_{i}) λ_{i t} (8)

根据这个估计方程式，作者提出了一个灵活的参数两步估计过程：

首先，为模型 (3) 中的二元样本选择模型选择参数规范。使用所有 $n \times T$ 观测值，通过最大化以下函数，获得异方差 Probit 模型中参数的估计值：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{t = 1}^{T} s_{i t} \ln (Φ (\frac{X_{i t 2} θ_{2}}{σ (x_{i}, π)})) + (1 - s_{i t}) \ln (1 - Φ (\frac{X_{i t 2} θ_{2}}{σ (x_{i}, π)})) (9)

其次，选择 CLP 函数的形式，并将其与 IMR 一起加入模型 (8)。使用选定的样本观测值，通过以下估计方程的组合非线性 (或线性) 最小二乘法，获得第二阶段的参数估计值。

s y_{i t} = X_{i t 1} θ_{1} + ρ (x_{i}, ρ) {\hat{λ}}_{i t} + η_{i t 1} (10)

3. 命令介绍

命令安装：

ssc install gtsheckman, replace

命令语法：

gtsheckman depvar [indepvars] [if] [in] , select (depvar_s = varlist_s) [options]

其中，

select()：表示写入选择方程，括号内是选择方程的具体变量；
depvar：指定回归的被解释变量；
indepvars：指定回归的控制变量和外生变量；
depvar_s：表示 “回归的被解释变量是否被观测到” 的二元虚拟变量 (0 表示未被观测的样本，1 表示观测到的样本) ；
varlist_s：选择方程中的控制变量和外生变量集。

主要选项如下：

het(varlist)：指定第一阶段异方差概率估计的方差函数中的自变量；
clp(varlist)：指定第二阶段控制函数中与 IMR 相互作用的自变量；
vce(vcetype)：指定结果报告标准误的类型；
lambda：根据选择模型第一阶段估计 IMR 值，生成名为 lambda 的新变量。

4. 具体应用

4.1 操作实例

进行 Heckman 的两步一致估计：

. use http://fmwww.bc.edu/ec-p/data/wooldridge/mroz, clear
. gtsheckman lwage educ exper expersq, ///
>     select(inlf = educ exper expersq age nwifeinc kidslt6 kidsge6)

Generalized Two Step Heckman Estimator             Number of obs =        753
                                                        Selected =        428
                                                     Nonselected =        325
First-stage probit estimates
------------------------------------------------------------------------------
        inlf | Coefficient  Std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
inlf         |
        educ |      0.131      0.025     5.18   0.000        0.081       0.180
       exper |      0.123      0.019     6.59   0.000        0.087       0.160
     expersq |     -0.002      0.001    -3.15   0.002       -0.003      -0.001
         age |     -0.053      0.008    -6.23   0.000       -0.069      -0.036
    nwifeinc |     -0.012      0.005    -2.48   0.013       -0.022      -0.003
     kidslt6 |     -0.868      0.119    -7.33   0.000       -1.101      -0.636
     kidsge6 |      0.036      0.043     0.83   0.408       -0.049       0.121
       _cons |      0.270      0.509     0.53   0.595       -0.727       1.267
------------------------------------------------------------------------------
Second-stage augmented regression estimates
------------------------------------------------------------------------------
             | Coefficient  Std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
lwage        |
        educ |      0.109      0.016     7.03   0.000        0.079       0.139
       exper |      0.044      0.016     2.70   0.007        0.012       0.076
     expersq |     -0.001      0.000    -1.96   0.050       -0.002       0.000
      lambda |      0.032      0.134     0.24   0.809       -0.230       0.294
       _cons |     -0.578      0.305    -1.90   0.058       -1.176       0.020
------------------------------------------------------------------------------

进行样本选择方程中具有异方差性和稳健标准误的 Heckman 两步一致估计：

. gtsheckman lwage educ exper expersq,                               ///
>     select(inlf = educ exper expersq age nwifeinc kidslt6 kidsge6) ///
>     het(educ kidslt6 kidsge6) vce(robust)

Generalized Two Step Heckman Estimator             Number of obs =        753
                                                        Selected =        428
                                                     Nonselected =        325
First-stage heteroskedastic probit estimates
------------------------------------------------------------------------------
        inlf | Coefficient  Std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
inlf         |
        educ |      0.089      0.040     2.25   0.025        0.011       0.167
       exper |      0.089      0.036     2.50   0.012        0.019       0.159
     expersq |     -0.002      0.001    -2.20   0.028       -0.003      -0.000
         age |     -0.035      0.015    -2.40   0.016       -0.064      -0.006
    nwifeinc |     -0.009      0.005    -1.83   0.068       -0.018       0.001
     kidslt6 |     -0.640      0.277    -2.31   0.021       -1.184      -0.097
     kidsge6 |      0.035      0.041     0.87   0.386       -0.045       0.115
       _cons |      0.120      0.363     0.33   0.740       -0.590       0.831
-------------+----------------------------------------------------------------
lnsigma      |
        educ |     -0.042      0.031    -1.36   0.173       -0.102       0.018
     kidslt6 |      0.088      0.193     0.45   0.650       -0.291       0.467
     kidsge6 |      0.096      0.067     1.43   0.152       -0.035       0.226
------------------------------------------------------------------------------
Second-stage augmented regression estimates
------------------------------------------------------------------------------
             |               Robust
             | Coefficient  std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
lwage        |
        educ |      0.106      0.014     7.61   0.000        0.079       0.134
       exper |      0.039      0.016     2.50   0.012        0.008       0.070
     expersq |     -0.001      0.000    -1.81   0.071       -0.002       0.000
      lambda |     -0.024      0.091    -0.26   0.795       -0.202       0.154
       _cons |     -0.471      0.260    -1.81   0.070       -0.981       0.039
------------------------------------------------------------------------------
Warning: If introducing heteroskedasticity should specify clp(varlist)

4.2 应用案例

为了更好地理解这一方法，Carlson 和 Joshi (2022) 使用国际象棋评级数据，分析选手在约束时间内进行风险决策行为的个体差异。世界国际象棋联合会报告了三类国际象棋比赛 (Standard、Rapid、Blitz) 的选手排名，三类比赛的用时存在差异。选手对比赛类型的选择可能受到性别、技巧及某些不可观测因素的影响，故可以对这一问题建立选择模型 (以 Rapid 为例)。

r a p i d_{i t} = a_{i 1} + b_{i 11} f e m a l e_{i} + b_{i 12} s t a n d a r d_{i t} + x_{i t} β_{13} + D_{t} ξ + u_{i t 1}

\begin{aligned} p l a y_r a p i d_{i t} = & 1 {a_{i 2} + b_{i 21} f e m a l e_{i} + b_{i 22} s t a n d a r d_{i t} + x_{i t} β_{23} \\ + c o u n t r y d u m_{i} β_{24} + D_{t} ζ + u_{i t 2} > 0} \end{aligned}

其中，Standard 表示选手在 Standard 比赛中的排名，衡量选手在不受时间限制下的技术。在这两个方程中，female 和 standard 具有异质性截距和系数，不喜欢在约束时间内决策的选手对应系数较小。

在第一阶段估计中，分别采用 Probit、CRE Probit 和 CRC Het Probit 进行估计，结果比较稳健。 $χ^{2}$ 统计量范围在 1135.63 至 15901.20 之间，并且绝大多数个体的系数也是显著的。

第二阶段的估计结果如下表所示，第 (5) 列为 gtsheckman 的估计结果，可见该结果与其他方法存在较大差异。在性别方面，female 的系数为 -0.0875，大小几乎是前人研究 (Wooldridge，1995) 的 4 倍。此外，模型中的交互项在统计学意义上也是显著的，证明 gtsheckman 估计的模型形式是合理的。研究结果表明女性会更谨慎地选择具有时间约束的比赛，技术更好的选手也具有这种特点。

POLS 忽略了样本选择和个体差异造成的内生性，Heckman 忽略了个体差异造成的内生性，只有 gtsheckman 法能充分地解决由样本选择和个体差异造成的复杂内生性。

5. 相关推文

Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh psm heckman, m
安装最新版 lianxh 命令：
ssc install lianxh, replace

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Stata：广义Heckman两步法-gtsheckman

1. 背景简介

2. 估计步骤

2.1 异质性截距和异质性系数

2.2 具体估计步骤

3. 命令介绍

4. 具体应用

4.1 操作实例

4.2 应用案例

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