interactplot：图示交乘项-交互项-调节效应

发布时间：2020-12-21 阅读 26080

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作者： 袁子晴 (香港大学)
邮箱： yzq0612@foxmail.com

1. 问题背景

在实证分析中，交乘项的使用非常的普遍。关于如何正确地使用交乘项，请参考「专题：交乘项-调节」。本文主要目的是介绍一个新的 Stata 绘图命令 interactplot，该命令可以直观地呈现交乘项的条件边际效应。

尽管，Stata 官方提供的 margins 和 marginsplot 也可以图示边际效应，但其只能呈现特定数值上的边际效应，而无法连续的呈现边际效应。

interactplot 命令的优势在于不仅可以连续的呈现边际效应，而且还可以将边际效应图和调节变量的频度图或核密度图呈现在一张图中，使我们有足够多的信息来分析估计结果。同时，该命令不仅可以图示交乘项的边际效应，也可以举一反三应用在多次项的非线性模型的图示上。

2. 交乘项模型设定

Y = β_{0} + β_{x} X + β_{z} Z + β_{x z} X Z + u

在包含有交乘项的模型中， $Y$ 是结果变量， $X$ 是处理变量， $Z$ 是调节变量， $X Z$ 是交乘项。

上述模型中一个隐含的假设是 $X$ 对 $Y$ 的影响只能随着 $Z$ 以恒定的速度线性变化，如下式所示。当调节变量 $Z$ 每增加 1 单位， $X$ 对 $Y$ 的边际效应就增加 $β_{x z}$ 个单位。

M E_{X} = \frac{\partial Y}{\partial X} = β_{x} + β_{x z} Z

同时，为了预测处理变量 $X$ 对于 $Y$ 的边际效应，那么必须确保调节变量在 $Z = z_{0}$ 附近有足够多的实际观测值，且在 $Z = z_{0}$ 时处理变量 $X$ 是有变化的。

在此基础上，Berry 等 (2012) 对于绘制边际效应图提出了几点建议:

横轴应从样本中变量的最小观测值延伸到最大观测值；
在边际效应图上应叠加横轴变量的频率分布；
报告的交乘项系数的 $t$ 值或标准误。

Berry 等 (2012) 也给出了「绘制图形代码」和「代码详细说明」，其中图形如下：

3. interactplot 命令介绍

图示边际效应命令为 interactplot。该命令可以自动识别回归方程中的交乘项，并且将交乘项中第一个变量视为处理变量，第二个变量视为调节变量。从数学意义来看，交乘项中的两个变量本质上没有区别。但是，从实证分析来看，两个变量的区分主要是由相应的理论决定 (Brambor 等，2005；Lohmann，2015) 。

默认情况下，最终的图形由两个子图组成：

调整后的预测值图 (Adjusted Predictions Plot)，或者在控制其他变量影响的情况下，处理变量的条件边际效应图（ Conditional Marginal Effect Plot)；
调节变量的频度图或者密度图。

当然，首先要通过 ssc install interactplot, replace 安装该命令，不过为了使该命令正常运行，我们也必须安装 catplot 命令，这可以通过 ssc install catplot, replace 来实现。在回归方程后面使用 interactplot 绘制条件边际效应图时，其命令结构如下：

. interactplot [, options]

主要选项的含义：

fysize(relativesize) 绘制子图的相对大小，默认值为25；
level(cilevel) 设定置信区间水平；
name(name[, replace]) 设定图片的名称；
reverse 交换组成交乘项的两个变量的顺序；
term(#) 指定需要用到的交乘项，默认为回归模型中第一个出现的交乘项。

交乘项中至少含有一个类别变量时：

byplot 根据类别变量的取值分别绘制图形。

交乘项由两个连续变量组成时：

addscatter(string) 额外绘制散点图，预测值 (predict) 或实际观测值 (observed)；
cme 估计调节变量的条件边际效应，等同于 margins 命令中的 dydx()选项；
subplot(string) 指定绘制子图的类型 (柱状图 hist 或核密度图 kdens)；
bars(#) 如果设置了柱状图，该选项可以设定柱状图里面柱子的数目，默认值为 100；
kernel(function) 核密度函数，默认为 epanechnikov，详见 help kdensity##kernel；
kdarea 填充核密度线下区域；
fintensity(#) 以百分比的形式设置填充的密度，默认值为 90。

基本绘图的选项：

intersteps(#) 计算步骤，调整图形的精细和粗糙度，默认值为 30；
scheme(scheme) 指定绘图主题；
yline(#) 添加 Y 轴的水平线，以便直观地判断效应是否显著。在条件边际效应图中，通常设定为零；
xlabnum(#) 改变 X 轴的刻度数目，从而去掉多余的空白，默认值为 5；
ylabnum(#) 改变 Y 轴的刻度数目，从而去掉多余的空白，默认值为 5。

4. Stata 实例

4.1 类别变量与类别变量交乘

我们以 Stata 自带数据 nlsw88.dta (1988 年美国妇女小时工资) 为例，介绍如何使用 interactplot 命令绘制交乘项的边际效应图。

在研究妇女工资的影响因素时，我们以 wage (妇女的小时工资) 作为被解释变量，以 industry (行业类别) 和 race (种族类别) 作为解释变量，建立线性回归模型。为了进一步探究是否大学毕业 collgrad 能否调节种族 race 对妇女工资 wage 的影响，我们在回归模型中加入这两个变量的「交乘项」来检验是否存在调节效应。

其中，race 变量为类别变量，它包括三个类别，分别为 white、black、other，我们使用「因子变量」的语法格式，在变量前面加上前缀 i. 生成虚拟变量 i.race，基准组为第一个类别 white。

. sysuse nlsw88.dta, clear
. reg wage i.race##i.collgrad i.industry
. margins collgrad#i.race, atmeans

     Source |       SS           df       MS      Number of obs   =     2,232
  ----------+----------------------------------   F(16, 2215)     =     23.20
      Model |  10639.3304        16  664.958149   Prob > F        =    0.0000
   Residual |  63477.9484     2,215   28.658216   R-squared       =    0.1435
  ----------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.1374
      Total |  74117.2788     2,231  33.2215503   Root MSE        =    5.3533

-----------------------------------------------------------------------------
                    wage |  Coef.   Std. Err.    t    P>|t|    [95% CI]
-------------------------+---------------------------------------------------
                    race |
                  black  | -1.280    0.295    -4.34   0.000    -1.858  -0.701
                  other  | -0.327    1.311    -0.25   0.803    -2.897   2.244
                         |
                collgrad |
           college grad  |  3.346    0.320    10.47   0.000     2.719   3.973
                         |
           race#collgrad |
     black#college grad  |  2.099    0.659     3.18   0.001     0.806   3.391
     other#college grad  |  0.714    2.237     0.32   0.750    -3.673   5.102
                industry |
                 Mining  | 10.141    2.976     3.41   0.001     4.305  15.978
           Construction  |  2.198    1.636     1.34   0.179    -1.010   5.407
          Manufacturing  |  2.419    1.329     1.82   0.069    -0.187   5.026
 Transport/Comm/Utility  |  6.120    1.416     4.32   0.000     3.344   8.897
 Wholesale/Retail Trade  |  0.758    1.331     0.57   0.569    -1.853   3.369
Finance/Ins/Real Estate  |  4.259    1.355     3.14   0.002     1.601   6.916
    Business/Repair Svc  |  1.894    1.421     1.33   0.183    -0.893   4.682
      Personal Services  | -0.314    1.410    -0.22   0.824    -3.079   2.452
  Entertainment/Rec Svc  |  0.758    1.837     0.41   0.680    -2.845   4.361
  Professional Services  |  1.400    1.314     1.07   0.287    -1.177   3.976
  Public Administration  |  3.367    1.360     2.48   0.013     0.700   6.035
                   _cons |  5.208    1.301     4.00   0.000     2.657   7.760
-----------------------------------------------------------------------------


Adjusted predictions                            Number of obs     =      2,232
Model VCE    : OLS

Expression   : Linear prediction, predict()
at           : 1.race          =    .7289427 (mean)
               2.race          =    .2594086 (mean)
               3.race          =    .0116487 (mean)
               0.collgrad      =    .7629928 (mean)
               1.collgrad      =    .2370072 (mean)
               1.industry      =    .0076165 (mean)
               2.industry      =    .0017921 (mean)
               3.industry      =    .0129928 (mean)
               4.industry      =    .1644265 (mean)
               5.industry      =    .0403226 (mean)
               6.industry      =    .1491935 (mean)
               7.industry      =    .0860215 (mean)
               8.industry      =    .0385305 (mean)
               9.industry      =    .0434588 (mean)
               10.industry     =    .0076165 (mean)
               11.industry     =    .3691756 (mean)
               12.industry     =     .078853 (mean)

-----------------------------------------------------------------------------
                        |          Delta-metho
                        |   Margin   Std. Err.      t    P>|t|     [95% CI]
------------------------+----------------------------------------------------
          collgrad#race |                                                      
not college grad#white  | 7.226441    .156204    46.26   0.000   6.920  7.532
not college grad#black  | 5.946713   .2504188    23.75   0.000  5.4556  6.437
not college grad#other  | 6.899757   1.300669     5.30   0.000  4.3490  9.450
    college grad#white  | 10.57266    .273137    38.71   0.000  10.037  11.10
    college grad#black  | 11.39148   .5335905    21.35   0.000  10.345  12.43
    college grad#other  | 10.96014   1.789176     6.13   0.000  7.4515  14.46
-----------------------------------------------------------------------------

回归结果显示：大学毕业与黑人的交乘项 collgrad#black 的系数显著为正，而黑人 black 的系数显著为负，表明大学毕业 collgrad 对黑人 black 与妇女的小时工资 wage 之间的关系具有调节作用。

如果我们想了解大学毕业 collgrad 与种族 race 交乘项的各个类别对妇女的小时工资 wage 的边际效应，运行 margins collgrad#i.race, atmeans 就可以计算当就可以计算当其他变量取均值时，collgrad 与 race 交乘项的各个类别的小时工资的预测边际值。

最后，我们使用 interactplot 命令绘制图形：

 interactplot

4.2 类别变量与连续变量交乘

影响妇女工资的因素较多，下面我们就来检验诸如 hours (每周工作时间) 与 union (是否工会成员) 这两个变量的交乘项是否会对妇女工资产生影响，其中 hours 为连续型变量，union 为类别变量。

以 wage (妇女的小时工资) 作为被解释变量，以 industry (行业类别)、union (是否工会成员)、hours (每周工作小时数)、union (是否工会成员) 与 hours (每周工作小时数) 的交乘项作为解释变量，建立线性回归模型。

使用「因子变量」的语法格式，c.hours##i.union 表示在模型中既包括 union 与 hours 变量，还包括 union 与 hours 变量的交乘项。

reg wage i.industry c.hours##i.union


      Source |       SS           df       MS      Number of obs  =  1,864
-------------+----------------------------------   F(14, 1849)    =  19.48
       Model |  4165.55214        14  297.539439   Prob > F       = 0.0000
    Residual |  28235.7439     1,849  15.2708188   R-squared      = 0.1286
-------------+----------------------------------   Adj R-squared  = 0.1220
       Total |   32401.296     1,863      17.392   Root MSE       = 3.9078

---------------------------------------------------------------------------
                    wage |  Coef.  Std. Err.   t    P>|t|       [95% C.I]
-------------------------+-------------------------------------------------
                industry |                                                 
                 Mining  |  1.965  2.985     0.66   0.510    -3.889   7.820
           Construction  |  2.945  1.428     2.06   0.039     0.145   5.745
          Manufacturing  |  0.888  1.150     0.77   0.440    -1.368   3.143
 Transport/Comm/Utility  |  4.665  1.207     3.87   0.000     2.298   7.031
 Wholesale/Retail Trade  | -0.218  1.154    -0.19   0.850    -2.481   2.046
Finance/Ins/Real Estate  |  2.714  1.172     2.32   0.021     0.416   5.013
    Business/Repair Svc  |  1.262  1.238     1.02   0.308    -1.166   3.690
      Personal Services  | -1.603  1.232    -1.30   0.193    -4.019   0.814
  Entertainment/Rec Svc  |  1.454  1.538     0.95   0.344    -1.561   4.470
  Professional Services  |  1.454  1.138     1.28   0.201    -0.778   3.686
  Public Administration  |  2.659  1.171     2.27   0.023     0.362   4.956
                         |                                                 
                   hours |  0.057  0.010     5.42   0.000     0.036   0.077
                         |                                                 
                   union |
                  union  |  3.761  0.899     4.18   0.000     1.998   5.524
                         |                                                 
           union#c.hours |                                                 
                  union  | -0.075  0.023    -3.30   0.001    -0.119  -0.030
                         |                                                 
                   _cons |  3.864  1.194     3.24   0.001     1.523   6.205
---------------------------------------------------------------------------

回归结果显示，hours (每周工作小时数) 的系数值显著为正，union (是否工会成员) 的系数值显著为正，而交乘项 (c.hours##i.union) 的系数值显著为负，表明 hours (每周工作小时数) 对 wage (妇女的小时工资) 的边际效应会受到 union (是否工会成员) 的影响。

margins, dydx(hour) at(union=(0 1))

Average marginal effects                        Number of obs     =      1,864
Model VCE    : OLS

Expression   : Linear prediction, predict()
dy/dx w.r.t. : hours

1._at        : union           =           0

2._at        : union           =           1

-------------------------------------------------------------------
        |         Delta-method                                     
        |   dy/dx   Std. Err.      t    P>|t|  [95% Conf. Interval]
--------+----------------------------------------------------------
hours   |                                                          
    _at |                                                          
     1  |   0.057      0.010     5.42   0.000     0.036       0.077
     2  |  -0.018      0.020    -0.90   0.368    -0.058       0.021
-------------------------------------------------------------------

接着，我们直观地展现出当妇女为工会成员或非工会成员时，hours 对 wage 的平均边际效应分别为多少。

. interactplot, cme

同样地，union (是否工会成员) 对 wage (妇女的小时工资) 的边际效应也会受到 hours (每天工作小时数) 的影响，这相当与颠倒交乘项中两个变量的顺序，变为 i.union##c.hours。我们还可以计算当妇女每周工作小时数不同时，union 对 wage 的边际效应分别为多少。

keep if e(sample)
sum hours
margins, dydx(union) at(hours=(1(5)80))

. sum hours
    Variable |        Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
       hours |      1,864    37.62071    9.959845          1         80

. margins, dydx(union) at(hours=(1(5)80))
Average marginal effects                Number of obs = 1,864
Model VCE    : OLS

Expression   : Linear prediction, predict()
dy/dx w.r.t. : 1.union
1._at        : hours           =           1
2._at        : hours           =           6
3._at        : hours           =          11
4._at        : hours           =          16
5._at        : hours           =          21
6._at        : hours           =          26
7._at        : hours           =          31
8._at        : hours           =          36
9._at        : hours           =          41
10._at       : hours           =          46
11._at       : hours           =          51
12._at       : hours           =          56
13._at       : hours           =          61
14._at       : hours           =          66
15._at       : hours           =          71
16._at       : hours           =          76

-----------------------------------------------------------------------
          |        Delta-method
          |  dy/dx   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
----------+------------------------------------------------------------
0.union   |  (base outcome)
----------+------------------------------------------------------------
1.union   |                                                            
      _at |                                                            
       1  |  3.686      0.877     4.20   0.000        1.966       5.407
       2  |  3.312      0.768     4.31   0.000        1.806       4.819
       3  |  2.939      0.660     4.45   0.000        1.644       4.233
       4  |  2.565      0.554     4.63   0.000        1.477       3.652
       5  |  2.191      0.453     4.84   0.000        1.303       3.079
       6  |  1.817      0.358     5.08   0.000        1.116       2.519
       7  |  1.444      0.277     5.21   0.000        0.900       1.987
       8  |  1.070      0.227     4.72   0.000        0.625       1.514
       9  |  0.696      0.227     3.07   0.002        0.251       1.141
      10  |  0.322      0.278     1.16   0.247       -0.224       0.868
      11  | -0.052      0.359    -0.14   0.886       -0.756       0.653
      12  | -0.425      0.454    -0.94   0.349       -1.316       0.465
      13  | -0.799      0.556    -1.44   0.151       -1.890       0.291
      14  | -1.173      0.662    -1.77   0.076       -2.471       0.125
      15  | -1.547      0.770    -2.01   0.045       -3.056      -0.038
      16  | -1.921      0.879    -2.19   0.029       -3.644      -0.197
-----------------------------------------------------------------------
Note: dy/dx for factor levels is the discrete change from the base level.

然后，我们用 interactplot 命令附加 cme 和 reverse 的选项来图示 union (是否工会成员) 对 wage (妇女的小时工资) 的边际效应如何随着 hours 变化而变化。从下图可以看出，相对于非工会成员，随着 hours 取值的增加，工会成员对妇女工资的边际效应逐渐减小，而非工会成员对妇女工资的边际效应逐渐增大。

. interactplot, reverse

我们也可以通过附加选项 byplot，将上图根据是否为工会成员分开显示：

. interactplot, reverse byplot

4.3 连续变量与连续变量交乘

在实证研究中，我们也经常会分析两个连续型变量交乘项的影响。例如，当车辆重量 weight 与每加仑汽油行驶的距离 mpg 增加时，汽车价格 price 会有所增加。现在，我们想进一步了解每加仑汽油行驶距离 mpg 能否调节车辆重量 weight 与汽车价格 price 之间的影响关系。于是，在回归模型中加入这两个连续变量的交乘项，然后再计算当每加仑汽油行驶距离 mpg 取不同的数值时，车辆重量 weight 对汽车价格 price 的边际效应如何变化。

以 auto.dta (1978 年美国汽车数据) 为例，我们将 price (汽车价格) 作为被解释变量，将 foreign (是否进口车)、mpg (每加仑汽油能够行驶的英里数)、weight (汽车重量)、mpg (每加仑汽油能够行驶的英里数) 与 weight (汽车重量) 的交乘项作为解释变量，建立线性回归模型。

使用因子变量的语法格式，c.mpg##c.weight 表示在模型中既包括 mpg 与 weight 变量，还包括 mpg 与 weight 变量的交乘项。

sysuse auto.dta, clear
reg price foreign c.mpg##c.weight

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =        74
-------------+----------------------------------   F(4, 69)        =     18.96
       Model |   332566402         4  83141600.6   Prob > F        =    0.0000
    Residual |   302498994        69  4384043.39   R-squared       =    0.5237
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.4961
       Total |   635065396        73  8699525.97   Root MSE        =    2093.8

--------------------------------------------------------------------------------
         price |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
---------------+----------------------------------------------------------------
       foreign |   3369.814    691.422     4.87   0.000     1990.466    4749.163
           mpg |    292.830    162.298     1.80   0.076      -30.947     616.606
        weight |      5.383      1.199     4.49   0.000        2.991       7.775
               |
c.mpg#c.weight |     -0.119      0.064    -1.87   0.066       -0.246       0.008
               |
         _cons |  -1.01e+04   4023.204    -2.51   0.014    -1.81e+04   -2078.967
--------------------------------------------------------------------------------

接下来，为了直观地观察车辆重量 weight 对汽车价格 price 与每加仑汽油行驶距离 mpg 间关系影响，绘制交乘项边际效应图。从下图可以看出，随着 mpg 增加，weight 对 price 的边际效应逐渐减小且在统计上逐渐不显著。

. interactplot, cme kdarea fintensity(20)

我们可以通过附加选项 addscatter(observed) 将汽车价格 price 的真实观测值与调节变量每加仑汽油行驶距离 mpg 之间的散点图画出来，这有助于检验线性边际效应条件是否成立。

. interactplot, addscatter(observed)

同理，通过附加选项 addscatter(predict) 将将汽车价格 price 的模型预测值与调节变量每加仑汽油行驶距离 mpg 之间的散点图画出来。

. interactplot, addscatter(predict)

4.4 其他实例

在实证研究中，车辆重量 weight 对汽车价格 price 的影响可能并非是线性的，所以我们可以额外在模型中加入车辆重量 weight 的平方，此时模型中就包含不止一个交乘项，可以通过选项 term() 指定需要绘图的交乘项。

reg price c.weight i.foreign c.weight#c.weight i.foreign#c.weight

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =        74
-------------+----------------------------------   F(4, 69)        =     33.69
       Model |   420012148         4   105003037   Prob > F        =    0.0000
    Residual |   215053248        69  3116713.73   R-squared       =    0.6614
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.6417
       Total |   635065396        73  8699525.97   Root MSE        =    1765.4

-------------------------------------------------------------------------------
            price |      Coef.   Std. Err.    t    P>|t|   [95% Conf. Interval]
------------------+------------------------------------------------------------
           weight |  -9.929782   2.512975  -3.95   0.000  -14.94303   -4.916533
                  |
          foreign |
         Foreign  |  -9672.174   2814.627  -3.44   0.001   -15287.2   -4057.147
                  |
c.weight#c.weight |   .0019987   .0003847   5.20   0.000   .0012313    .0027662
                  |
 foreign#c.weight |
         Foreign  |   5.140661   1.096785   4.69   0.000   2.952636    7.328687
                  |
            _cons |   16070.25    4021.08   4.00   0.000   8048.413    24092.08
-------------------------------------------------------------------------------

车辆重量 weight 对汽车价格 price 的非线性边际效应如下图所示：

. interactplot, term(1) name(term1, replace)

对于不同的汽车类型 foreign ，我们可以分别预测出车辆重量 weight 对汽车价格 price 的边际效应。

. interactplot, term(2) name(term2, replace)

同样地，即使模型包含 turn 的三次项，我们也可以将其非线性的边际效应图绘制出来。

reg length c.turn i.foreign c.turn#c.turn c.turn#c.turn#c.turn i.foreign#c.turn

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =        74
-------------+----------------------------------   F(5, 68)        =     54.88
       Model |  29004.7711         5  5800.95422   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  7187.89105        68   105.70428   R-squared       =    0.8014
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.7868
       Total |  36192.6622        73  495.789893   Root MSE        =    10.281

--------------------------------------------------------------------------------------
              length |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
---------------------+----------------------------------------------------------------
                turn |  -216.1113   55.03511    -3.93   0.000    -325.9322   -106.2905
                     |
             foreign |
            Foreign  |  -183.2436   63.92169    -2.87   0.006    -310.7974   -55.68989
                     |
       c.turn#c.turn |   5.334712   1.348759     3.96   0.000     2.643306    8.026119
                     |
c.turn#c.turn#c.turn |  -.0426191   .0109298    -3.90   0.000    -.0644292   -.0208091
                     |
      foreign#c.turn |
            Foreign  |   5.197427   1.793694     2.90   0.005     1.618166    8.776687
                     |
               _cons |   3021.722   742.0157     4.07   0.000     1541.053    4502.391
--------------------------------------------------------------------------------------

. interactplot, term(3)

4.5 注意事项

在生成交乘项的过程中我们一般在变量之前使用 i. 或 c. 作为前缀，但是需要注意大小写，如果使用 I. 或 C. 作为变量前缀，命 interactplot 会报错。

此外，interactplot 可以识别简单的时间序列运算符前缀（例如：l.，L.，d.，D.，L1.，L2.等，但是更复杂的前缀 (例如：DL(1/4).xvar) 可能会导致程序报错。因此，在这种情况下，在执行 interactplot 之前，我们需要事先生成变量的滞后项或差分项。

5. 参考文献

Brambor, T., Clark, W. R., & Golder, M. (2006). Understanding interaction models: Improving empirical analyses. Political analysis, 14(1), 63–82. -Link-
Hainmueller, J., Mummolo, J., & Xu, Y. (2019). How much should we trust estimates from multiplicative interaction models? Simple tools to improve empirical practice. Political Analysis, 27(2), 163-192. -Link-
Berry, W. D., Golder, M., & Milton, D. (2012). Improving tests of theories positing interaction. The Journal of Politics, 74(3), 653-671. -Link-
User’s Guide for interflex -Link-
Matt Golder 个人主页 -Link-

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