Stata：不同函数形式的半弹性计算-margins

发布时间：2022-05-29 阅读 1155

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作者：文海铭 (广西大学)
邮箱：hming_wen@sina.com

编者按：本文主要摘译自下文，特此致谢！
Source：Using the margins command with different functional forms: Proportional versus natural logarithm changes. -Link-

1. 命令简介

margins 命令可以进行边际预测，以及边际效应计算，并且通过 expression() 选项，margins 可以用于任何函数形式。在本文中，我们将展示在线性模型和非线性模型中，如何计算协变量变化导致的结果变量的变化比例 (半弹性)。

2. 二元变量的线性模型

二元变量的线性模型回归后：

E (y ∣ x) = a + b * x

我们可以使用 margins, eydx(x) 命令来估计 $x$ 变化导致 $y$ 的变化比例 (也称为半弹性)。估计半弹性的公式取决于 $x$ 是连续变量还是离散变量。如果 $x$ 是连续变量，则计算公式为：

e y d x = \frac{d (\ln \hat{y})}{d x} = \frac{d y}{d x} * \frac{1}{\hat{y}} = \frac{\hat{b}}{\hat{y}}

如果 $x$ 是离散变量，我们可能会认为计算公式如下：

e y d x = \frac{E (\hat{y} ∣ x = 1) - E (\hat{y} ∣ x = 0)}{E (\hat{y} ∣ x = 0)}

然而，这并不是 margins, eydx(x) 的计算公式。相反，margins 命令以自然对数的形式得到 $\hat{y}$ 的相对变化值。

e y d x = E {\ln (\hat{y}) ∣ x = 1} - E {\ln (\hat{y}) ∣ x = 0}

例如，我们将婴儿出生体重 (bw) 对母亲年龄 (age) 和是否存在 uterine irritability (ui) 进行回归，其中 age 是连续变量，ui 是二元变量。

. webuse lbw, clear
. regress bwt age i.ui

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       189
-------------+----------------------------------   F(2, 186)       =      8.63
       Model |  8484309.72         2  4242154.86   Prob > F        =    0.0003
    Residual |  91430988.9       186  491564.456   R-squared       =    0.0849
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.0751
       Total |  99915298.6       188  531464.354   Root MSE        =    701.12
------------------------------------------------------------------------------
         bwt | Coefficient  Std. err.      t    P>|t|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
         age |      9.439      9.678     0.98   0.331       -9.653      28.531
        1.ui |   -569.193    143.966    -3.95   0.000     -853.208    -285.177
       _cons |   2809.271    233.138    12.05   0.000     2349.337    3269.205
------------------------------------------------------------------------------

. margins, eydx(age ui)

Average marginal effects                                   Number of obs = 189
Model VCE: OLS
Expression: Linear prediction, predict()
ey/dx wrt:  age 1.ui
------------------------------------------------------------------------------
             |            Delta-method
             |      ey/dx   std. err.      t    P>|t|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
         age |      0.003      0.003     0.97   0.331       -0.003       0.010
        1.ui |     -0.208      0.057    -3.65   0.000       -0.321      -0.096
------------------------------------------------------------------------------
Note: ey/dx for factor levels is the discrete change from the base level.

当然，我们也可以手动计算 age 导致 bwt 的变化程度，具体代码如下：

. gen propage = _b[age]/(_b[_cons] + _b[age]*age + _b[1.ui]*ui)
. sum propage

    Variable |        Obs        Mean    Std. dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
     propage |        189     .003225    .0002682   .0029186   .0039631

ui 导致 bw 的变化程度计算代码如下：

. preserve
. replace ui = 0
. predict bwthat0
. replace ui = 1
. predict bwthat1
. gen propui = (bwthat1 - bwthat0)/bwthat0 // 错误的计算

. gen lnbwt0  = ln(bwthat0)
. gen lnbwt1  = ln(bwthat1)
. gen propui2 = lnbwt1 - lnbwt0           // 正确的计算
. sum propui propui2
. restore

    Variable |        Obs        Mean    Std. dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
      propui |        189    -.187989    .0030706  -.1935099  -.1760018
     propui2 |        189   -.2082484    .0037771  -.2150636  -.1935868

margins, eydx() 命令使用对数的方法，因为该方法具有更好的数值特性。如果结果变量本身就是以对数形式存在，例如：

E {\ln (y)} = a + b * x

则 $E (\ln (y) ∣ x = 1) - E (\ln (y) ∣ x = 0) = b$ 。

3. 分类变量的线性模型

现在，我将在模型中的 ui 替换为种族变量 race，其中 race = 1 代表白人，race = 2 代表黑人，race = 3 代表其他人种。

. reg bwt age i.race

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       189
-------------+----------------------------------   F(3, 185)       =      3.41
       Model |  5239114.38         3  1746371.46   Prob > F        =    0.0186
    Residual |  94676184.2       185  511763.158   R-squared       =    0.0524
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.0371
       Total |  99915298.6       188  531464.354   Root MSE        =    715.38
------------------------------------------------------------------------------
         bwt | Coefficient  Std. err.      t    P>|t|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
         age |      6.147     10.069     0.61   0.542      -13.717      26.011
        race |
      Black  |   -366.394    160.569    -2.28   0.024     -683.176     -49.612
      Other  |   -287.294    115.484    -2.49   0.014     -515.128     -59.460
       _cons |   2953.688    255.247    11.57   0.000     2450.119    3457.257
------------------------------------------------------------------------------

. margins, expression((_b[2.race]*2.race + _b[3.race]*3.race)/(_b[_cons]+_b[age]*age)) dydx(race)

Average marginal effects                                   Number of obs = 189
Model VCE: OLS
Expression: (_b[2.race]*2.race + _b[3.race]*3.race)/(_b[_cons]+_b[age]*age)
dy/dx wrt:  2.race 3.race
------------------------------------------------------------------------------
             |            Delta-method
             |      dy/dx   std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        race |
      Black  |     -0.118      0.051    -2.34   0.019       -0.217      -0.019
      Other  |     -0.093      0.036    -2.58   0.010       -0.163      -0.022
------------------------------------------------------------------------------
Note: dy/dx for factor levels is the discrete change from the base level.

当然，我们可以通过如下公式进行手工计算，具体如下：

\frac{d (e x p r e s s i o n)}{d (2. r a c e)} = \frac{d {(_b [2. r a c e] * 2. r a c e +_b [3. r a c e] * 3. r a c e) / (_b [_c o n s] +_b [a g e] * a g e)}}{d (2. r a c e)} \frac{d (e x p r e s s i o n)}{d (3. r a c e)} = \frac{d {(_b [2. r a c e] * 2. r a c e +_b [3. r a c e] * 3. r a c e) / (_b [_c o n s] +_b [a g e] * a g e)}}{d (3. r a c e)}

_b [2. r a c e] / (_b [_c o n s] +_b [a g e] * a g e)_b [3. r a c e] / (_b [_c o n s] +_b [a g e] * a g e)

. gen double propblack = _b[2.race]/(_b[_cons] + _b[age]*age)
. gen double propother = _b[3.race]/(_b[_cons] + _b[age]*age)
. sum propblack propother

    Variable |        Obs        Mean    Std. dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
   propblack |        189   -.1183368    .0012359  -.1205344  -.1134239
   propother |        189   -.0927893    .0009691  -.0945124  -.0889371

4. 非线性模型

该计算可推广到非线性模型，主要区别是回归命令。在下文中，我们使用 probit 和 poisson 进行回归。

. probit low age i.race

Probit regression                                       Number of obs =    189
                                                        LR chi2(3)    =   6.62
                                                        Prob > chi2   = 0.0850
Log likelihood = -114.02581                             Pseudo R2     = 0.0282
------------------------------------------------------------------------------
         low | Coefficient  Std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
         age |     -0.025      0.020    -1.26   0.209       -0.063       0.014
        race |
      Black  |      0.454      0.288     1.58   0.114       -0.110       1.019
      Other  |      0.343      0.213     1.61   0.107       -0.074       0.760
       _cons |     -0.120      0.486    -0.25   0.805       -1.072       0.832
------------------------------------------------------------------------------

. margins, expression((normal(_b[_cons]+_b[age]*age+_b[2.race]*2.race + _b[3.race]*3.race) ///
>     -normal(_b[_cons] + _b[age]*age))/normal(_b[_cons] + _b[age]*age)) dydx(race)

Average marginal effects                                   Number of obs = 189
Model VCE: OIM
Expression: (normal(_b[_cons]+_b[age]*age+_b[2.race]*2.race + _b[3.race]*3.race)
            -normal(_b[_cons] + _b[age]*age))/normal(_b[_cons] + _b[age]*age)
dy/dx wrt:  2.race 3.race
------------------------------------------------------------------------------
             |            Delta-method
             |      dy/dx   std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        race |
      Black  |      0.663      0.502     1.32   0.187       -0.321       1.646
      Other  |      0.487      0.365     1.33   0.182       -0.229       1.203
------------------------------------------------------------------------------
Note: dy/dx for factor levels is the discrete change from the base level.

在 probit 回归中，我们通过使用母亲年龄和种族类别来计算低出生体重婴儿的概率。我们得到了黑人母亲与白人母亲、其他母亲与白人母亲的预测概率的比例变化。

. webuse dollhill3, clear
. poisson deaths smokes i.agecat, exposure(pyears)

Poisson regression                                      Number of obs =     10
                                                        LR chi2(5)    = 922.93
                                                        Prob > chi2   = 0.0000
Log likelihood = -33.600153                             Pseudo R2     = 0.9321
------------------------------------------------------------------------------
      deaths | Coefficient  Std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
      smokes |      0.355      0.107     3.30   0.001        0.144       0.565
      agecat |
      45–54  |      1.484      0.195     7.61   0.000        1.102       1.866
      55–64  |      2.628      0.184    14.30   0.000        2.267       2.988
      65–74  |      3.350      0.185    18.13   0.000        2.988       3.713
      75–84  |      3.700      0.192    19.25   0.000        3.323       4.077
       _cons |     -7.919      0.192   -41.30   0.000       -8.295      -7.543
  ln(pyears) |      1.000  (exposure)
------------------------------------------------------------------------------

. margins, expression((exp(_b[smokes]*smokes+_b[2.agecat]*2.agecat+_b[3.agecat]*3.agecat      ///
>     +_b[4.agecat]*4.agecat+_b[5.agecat]*5.agecat+_ b[_cons])*pyears                         ///  
>     -exp(_b[smokes]*smokes+_ b[_cons])*pyears)/(exp(_b[smokes]*smokes+_b[_cons])*pyears))   ///   
>     dydx(agecat)

Average marginal effects                                    Number of obs = 10
Model VCE: OIM
Expression: (exp(_b[smokes]*smokes+_b[2.agecat]*2.agecat+_b[3.agecat]*3.agecat
            +_b[4.agecat]*4.agecat+_b[5.agecat]*5.agecat+_ b[_cons])*pyears
            -exp(_b[smokes]*smokes+_ b[_cons])*pyears)/(exp(_b[smokes]*smokes+_b[_cons])*pyears)
dy/dx wrt:  2.agecat 3.agecat 4.agecat 5.agecat
------------------------------------------------------------------------------
             |            Delta-method
             |      dy/dx   std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
      agecat |
      45–54  |      3.411      0.861     3.96   0.000        1.724       5.097
      55–64  |     12.839      2.543     5.05   0.000        7.856      17.823
      65–74  |     27.517      5.270     5.22   0.000       17.188      37.846
      75–84  |     39.451      7.776     5.07   0.000       24.211      54.691
------------------------------------------------------------------------------
Note: dy/dx for factor levels is the discrete change from the base level.

在 poisson 回归中，死亡人数由吸烟状况和年龄类别解释。预测死亡人数的比例变化是通过比较每个年龄组与基数计算出来的。margins 作用于结果的边际预测，其中预测在 ols 回归中等于 $x b$ ，在 probit 回归中等于 $n o r m a l (x b)$ ，在 poisson 回归中等于 $exp (x b) \times exposure$ 。此外，margins 计算每个观察的预测，并报告平均值作为预测边际。

5. expression 选项

margins, expression() 中的函数形式可以根据需要灵活设定。让我们回到 probit 回归。

. webuse lbw, clear    
. probit low c.age##i.race

Probit regression                                       Number of obs =    189
                                                        LR chi2(5)    =   8.16
                                                        Prob > chi2   = 0.1475
Log likelihood = -113.25455                             Pseudo R2     = 0.0348
------------------------------------------------------------------------------
         low | Coefficient  Std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
         age |     -0.033      0.027    -1.24   0.215       -0.086       0.019
        race |
      Black  |     -0.971      1.282    -0.76   0.449       -3.483       1.541
      Other  |      0.433      1.044     0.41   0.678       -1.613       2.478
  race#c.age |
      Black  |      0.065      0.056     1.15   0.249       -0.046       0.176
      Other  |     -0.005      0.045    -0.10   0.917       -0.093       0.083
       _cons |      0.090      0.652     0.14   0.891       -1.189       1.368
------------------------------------------------------------------------------

. margins, eydx(age)

Average marginal effects                                   Number of obs = 189
Model VCE: OIM
Expression: Pr(low), predict()
ey/dx wrt:  age
------------------------------------------------------------------------------
             |            Delta-method
             |      ey/dx   std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
         age |     -0.032      0.023    -1.36   0.174       -0.078       0.014
------------------------------------------------------------------------------

下面是获得 margin, eydx(age) 的函数形式：

x b =_b [a g e] * a g e +_b [2. r a c e # c . a g e] * 2. r a c e * a g e +_b [3. r a c e # c . a g e] * 3. r a c e * a g e +_b [2. r a c e] * 2. r a c e +_b [3. r a c e] * 3. r a c e +_b [_c o n s] \frac{d l n {n o r m a l (x b)}}{d a g e} = \frac{_b [a g e] +_b [2. r a c e # c . a g e] * 2. r a c e +_b [3. r a c e # c . a g e] * 3. r a c e}{n o r m a l (x b)} \times n o r m a l d e n (x b)

在 expression() 选项中，对于像线性预测这样的事情，不需要写出表达式。因此，上述比例变化可以通过如下方式计算得到：

. margins, expression((_b[age] + _b[2.race#c.age]*2.race + _b[3.race#c.age]* ///
>     3.race)*normalden(predict(xb)) / normal(predict(xb)))

Predictive margins                                         Number of obs = 189
Model VCE: OIM
Expression: (_b[age] + _b[2.race#c.age]*2.race + _b[3.race#c.age]*
            3.race)*normalden(predict(xb))/normal(predict(xb))
------------------------------------------------------------------------------
             |            Delta-method
             |     Margin   std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
       _cons |     -0.032      0.023    -1.36   0.174       -0.078       0.014
------------------------------------------------------------------------------

其中 predict(xb) 为快捷式，表示线性预测。此外，normal(predict(xb)) 可以用 predict(pr) 代替，pr 代表阳性结果的概率。margins 中的 expression() 选项允许我们构造任何带有估计参数的函数，并将它们返回给 margins。然后，我们可以使用所有的计算和图形工具 marginsplot 来可视化结果。

. quietly margins r.race, expression((_b[age] + _b[2.race#c.age]*2.race       ///
>     + _b[3.race#c.age]*3.race)*normalden(predict(xb))/normal(predict(xb)))  ///
>     at(age=(14(5)50))
. quietly marginsplot, noci ytitle("expression in -margins-")

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Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh 边际效应, m
安装最新版 lianxh 命令：
ssc install lianxh, replace

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Stata：不同函数形式的半弹性计算-margins

1. 命令简介

2. 二元变量的线性模型

3. 分类变量的线性模型

4. 非线性模型

5. expression 选项

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