Stata：分位数回归简介

发布时间：2020-10-09 阅读 9907

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作者：武翰涛 (普林斯顿大学)
Email: ht_wu@foxmail.com

1. 引言

在多数实证分析中，我们关注的焦点都在于考察解释变量 $x$ 对被解释变量 $y$ 的影响，其思想是从平均数的角度去分析得到参数结果，即均值回归。但均值回归往往会受到极端值的影响，使得参数估计变得很不稳定 (在执行分组回归时这一问题尤其突出)。另一方面，基于 OLS 的线性回归模型只能让我们分析 $x$ 对 $y$ 的平均影响效果。而当，条件分布 $y | x$ 不是对称分布时，条件期望 $E (y | x)$ 很难反映整个条件分布的全貌。如果能估计条件分布 $y | x$ 的若干重要条件分布，就能对条件分布 $y | x$ 有更全面的认识[1]。

2 分位数回归模型

2.1 总体分位数

假设 $Y$ 为连续型随机变量，其累积分布函数为 $F_{y} (\cdot)$ ，则 $Y$ 的“总体 $q$ 分位数”，记为 $y_{q}$ ，满足以下定义式：

q = P (Y ⩽ y_{q}) = F_{y} (y_{q})

即总体 $q$ 分位数 $y_{q}$ 正好将总体分布分为两部分，其中小于或等于 $y_{q}$ 的概率为 $q$ ，而大于 $y_{q}$ 的概率为 $(1 - q)$ 。如果 $q = 1 / 2$ 则为中位数，正好将总体分为两个相等的部分，一半在中位数之上，而另一半在中位数之下。如果 $F_{y} (\cdot)$ 严格单调递增，则有

y_{q} = F_{y}^{- 1} (q)

其中， $F_{y}^{- 1} (\cdot)$ 为 $F_{y} (\cdot)$ 的逆函数。

对于回归模型而言，记条件分布 $y | x$ 的累积分布函数为 $F_{y | x} (\cdot)$ 。条件分布 $y | x$ 的总体 $q$ 分位数，记为 $y_{q}$ ，满足以下定义式：

q = F_{y 1 x} (y_{q})

假设 $F_{y | x} (\cdot)$ 严格单调递增，则有

y_{q} = F_{y | x}^{- 1} (q)

由于条件累积分布函数 $F_{y | x} (\cdot)$ 依赖于 $x$ ，故条件分布 $y | x$ 的总体 $q$ 分位数 $y_{q}$ 也依赖于 $x$ ，可以明确地写为 $y_{q} (x)$ ，称为 ”条件分位数函数“。换言之，条件分位数函数 $y_{q} (x)$ 是解释变量 $x$ 的函数。更进一步，对于线性回归模型而言，如果扰动项满足同方差的假定，或扰动项异方差的形式为乘积形式，则 $y_{q} (x)$ 是 $x$ 的线性函数[2]。

2.2 样本分位数

对于随机变量 $Y$ ，如果总体的q分位数 $y_{q}$ 未知，则可以使用样本 $q$ 分位数 ${\hat{y}}_{q}$ 来估计 $y_{q}$ 。通常的做法是，首先将样本数据 ${y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}}$ 按照从小到大的顺序排列为 ${y_{(1)}, y_{(2)}, \dots, y_{(n)}}$ ，则 ${\hat{y}}_{q}$ 等于第 $[n q]$ 个最小观测值，其中 $n$ 为样本容量， $[n q]$ 表示大于或等于nq并离nq最近的正整数。比如n=95，q=0.5，则 $[n q] = [95 \times 0.5] = [47.5] = 48$ [3]。但上述样本分位数的计算方法不容易推广到回归模型。因此，一种更方便的等价方法便是将样本分位数看成某个最小化的解。事实上，样本均值也可以看成是最小化残差问题的最优解，即：

min_{μ} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - μ)}^{2} \Rightarrow μ = \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}

类似地，样本中位数可以视为是"最小化残差绝对值之和"问题的最优解，即:

min_{μ} \sum_{i = 1}^{n} | y_{i} - μ | \Rightarrow μ = median {y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}}

2.3 分位数估计方法

分位数回归方法 (QR) 最早由 Koenker，Bassett 提出，是基于反应变量 $Y$ 的条件分布来估计应变量 $X$ 参数的线性回归方法，即根据不同分位点利用样本含有的不同信息对模型进行回归分析。鉴于最小二乘法的最优估计要求模型的随机扰动项服从独立同分布，而分位数回归不对模型做任何分布假设，且不对矩函数有任何要求，这就非常适合部分不存在阶矩函数的数据，即可能存在的异常数据不会影响到模型的参数估计。因此用分位数回归来研究宏观金融等数据是非常稳健的，且能够较好地捕捉分布的尖峰厚尾特征，从而满足不同条件分析的需求。

设 $F_{y_{X}} (y)$ 在随机变量 $X$ 下 $Y$ 的条件分布函数，则 $Y$ 的第 $τ \in (0, 1)$ 个条件分布数为：

Q_{z} (y | x) = inf_{y} {y : F_{Y | x} (y) \geq τ} (1)

式中 $inf (\cdot)$ 是下确界函数。对于观测样本 $(X_{i}, Y_{i}) \in R_{p} \times R_{1}, i = 1, 2, \dots, n, p$ 为向量 $X_{i}$ 的维数。如果在 $X_{i}$ 下 $Y_{i}$ 的 $τ$ 条件分位数为 $X_{i}$ 的线性函数，即 $Q_{z} (Y_{i} | X_{i}) = X_{i}^{T} β (τ)$ ，这里的 $T$ 表示转置， $β (τ) \in R_{p}$ 为系数向量，则系数向量 $β (τ)$ 的分位数估计值为：

\hat{β} (τ) = \arg min_{β \in R_{p}} \sum_{i = 1}^{n} ρ_{τ} (Y_{i} - X_{i}^{T} β (τ)) (2)

式中：

$ρ_{τ} (u) = {\begin{cases} τ u, & u \geq 0 \\ (τ - 1) u, & u < 0 \end{cases}$

称为线性损失函数。分位数回归估计式 (2) 等价于下面的式 (3) ：

\hat{β} (τ) = \arg min_{ξ \in R} (\sum_{i Y_{i} \geq X_{1}^{T} β} τ | Y_{i} - X_{i}^{T} β | + \sum_{i Y_{i} < X_{1}^{T} β} (1 - τ) | Y_{i} - X_{i}^{T} β |)

显然，分位点不同时估算出的模型参数也不同，因而可以得到不同的回归方程，决策者可以从中选出最贴近实际问题的回归方程。

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3 Stata 范例

我们可以使用 qreg 命令来实现分位数回归模型，这里我们使用 Stata 自带的数据 auto.dta。

首先进行中位数回归：

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. sysuse "auto.dta", clear(1978 Automobile Data)
. qreg price mpg rep78 headroom trunk weight lengthIteration  1:  WLS sum of weighted deviations =  54582.043…… (output omitted)Iteration  6: sum of abs. weighted deviations =  52754.926
Median regression                                   Number of obs =         69  Raw sum of deviations    65163 (about 5079)  Min sum of deviations 52754.93                    Pseudo R2     =     0.1904
------------------------------------------------------------------------------       price |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]-------------+----------------------------------------------------------------         mpg |  -20.44398   100.1651    -0.20   0.839    -220.6711    179.7831       rep78 |   766.3722   380.1109     2.02   0.048     6.541433    1526.203    headroom |  -527.2818   525.7287    -1.00   0.320    -1578.199     523.635       trunk |   108.3175   131.2516     0.83   0.412    -154.0507    370.6857      weight |   4.197336   1.385672     3.03   0.004     1.427417    6.967255      length |  -88.23944   51.85082    -1.70   0.094    -191.8878    15.40887       _cons |   7474.973   7400.575     1.01   0.316    -7318.566    22268.51-----------------------------------------------------------------------------```

有上述结果可知，mpg 每增加一单位，会使价格中位数降低 20.44 个单位，即当汽车每加仑能行走的公里数提高一个单位，中档价位的汽车便会降低20.44个单位，但统计结果上并不显著。

下面使用自助法来计算分位数回归的标准误。为便于复制结果，指定随机数的种子。

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. set seed 10000  // 设定种子值. bsqreg price mpg rep78 headroom trunk weight length, reps(400) q(0.5)(fitting base model)
Bootstrap replications (400)----+--- 1 ---+--- 2 ---+--- 3 ---+--- 4 ---+--- 5 ..................................................    50................. (output omitted) ..................................................   400
Median regression, bootstrap(400) SEs               Number of obs =         69  Raw sum of deviations    65163 (about 5079)  Min sum of deviations 52754.93                    Pseudo R2     =     0.1904
------------------------------------------------------------------------------       price |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]-------------+----------------------------------------------------------------         mpg |  -20.44398   87.80782    -0.23   0.817    -195.9693    155.0814       rep78 |   766.3722   414.1785     1.85   0.069    -61.55878    1594.303    headroom |  -527.2818   341.1344    -1.55   0.127      -1209.2    154.6362       trunk |   108.3175   99.74076     1.09   0.282    -91.06144    307.6964      weight |   4.197336   3.256015     1.29   0.202    -2.311345    10.70602      length |  -88.23944    90.8892    -0.97   0.335    -269.9244    93.44548       _cons |   7474.973   8075.536     0.93   0.358    -8667.793    23617.74-----------------------------------------------------------------------------

进一步地，考察 0.25、0.5、0.75 分位点上的回归结果：

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. sqreg price mpg rep78 headroom trunk weight length, q(0.25 0.5 0.75) reps(400)(fitting base model)
Bootstrap replications (400)----+--- 1 ---+--- 2 ---+--- 3 ---+--- 4 ---+--- 5 ..................................................    50 (output omitted) ..................................................   400
Simultaneous quantile regression                    Number of obs =         69  bootstrap(400) SEs                                .25 Pseudo R2 =     0.1953                                                    .50 Pseudo R2 =     0.1904                                                    .75 Pseudo R2 =     0.3665
------------------------------------------------------------------------------             |              Bootstrap       price |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]-------------+----------------------------------------------------------------q25          |         mpg |  -58.85941    60.6889    -0.97   0.336    -180.1748    62.45596       rep78 |   378.5492   182.5255     2.07   0.042     13.68592    743.4125    headroom |  -428.4049   177.6041    -2.41   0.019    -783.4304   -73.37946       trunk |   157.9781   53.96136     2.93   0.005     50.11082    265.8453      weight |   .8091042   1.739727     0.47   0.644    -2.668561     4.28677      length |  -24.49825   47.20241    -0.52   0.606    -118.8545    69.85801       _cons |   5805.491   4010.312     1.45   0.153    -2211.008    13821.99-------------+----------------------------------------------------------------q50          |         mpg |  -20.44398   98.12396    -0.21   0.836     -216.591     175.703       rep78 |   766.3722   410.5124     1.87   0.067    -54.23035    1586.975    headroom |  -527.2818   316.1929    -1.67   0.100    -1159.342    104.7788       trunk |   108.3175   100.5004     1.08   0.285    -92.57998     309.215      weight |   4.197336   3.346488     1.25   0.214    -2.492198    10.88687      length |  -88.23944   93.76858    -0.94   0.350    -275.6802    99.20127       _cons |   7474.973   8158.464     0.92   0.363    -8833.564    23783.51-------------+----------------------------------------------------------------q75          |         mpg |  -158.3163   115.8176    -1.37   0.177    -389.8324    73.19971       rep78 |   1453.687   447.9351     3.25   0.002     558.2771    2349.096    headroom |  -837.2497   580.2633    -1.44   0.154     -1997.18    322.6801       trunk |   90.09523   136.9239     0.66   0.513    -183.6118    363.8023      weight |   7.364424   2.936931     2.51   0.015     1.493583    13.23527      length |  -185.4982   95.92216    -1.93   0.058    -377.2439    6.247448       _cons |   19508.66   10929.18     1.79   0.079    -2338.458    41355.77-----------------------------------------------------------------------------```

将分位数回归系数随着分位数的变化情形画图表示，则有：

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.  qui bsqreg price mpg rep78 headroom trunk weight length,reps(400) q(0.5).  qrqreg, cons ci ols olci

参考资料

「Source[1]：分位数回归理论及其应用」「Source[2]：高级计量经济学及Stata应用」「Source[3]：分位数回归及应用简介

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Stata：分位数回归简介

1. 引言

2 分位数回归模型

2.1 总体分位数

2.2 样本分位数

2.3 分位数估计方法

连享会计量方法专题……

3 Stata 范例

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