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作者： 袁煜玲 (厦门大学)
邮箱： 384860359@qq.com

目录
[[TOC]]

acreg 适用于 OLS 和 2SLS 两种线性回归模型。其主要优势是允许模型的残差项存在任意形式的聚类相关性。为对该命令有详细的了解，本文将从标准误估计不准确的后果、相关文献、以及实际应用等方面进行介绍。

1. 回归系数的标准误

1.1 标准误的估计

在默认情况下，我们会假设随机扰动项 $u_{i}$ 的方差 $\operatorname{Var}\left(\varepsilon_{i} \mid \boldsymbol{X}\right)$ 为常数，即同方差假定。然而，这一假设在大多数时候都不成立。

不过，即使 $\operatorname{Var}\left(\varepsilon_{i} \mid \boldsymbol{X}\right)$ 不满足同方差假定，OLS 估计量依然无偏、一致且渐近正态，因为在推导这些性质时并不需要同方差假定。但是，由于 $\operatorname{Var}(\boldsymbol{\varepsilon} \mid \boldsymbol{X}) \neq \sigma^{2} \boldsymbol{I}$，此时 $t$ 检验和 $F$ 检验失效。换句话说，扰动项的异方差性，不会影响回归估计系数的一致性，只会影响系数标准误的大小和检验统计量的效度。

例如，$\beta$ 的 95% 的置信区间估计为 $\hat{\beta} \pm 1.96 \times \text{se}$。考虑异方差后，估计的 $\text{se}$ 增大，则 $\beta$ 的置信区间有可能包含 0，从而使得统计结果不显著；反之，如果未考虑异方差，即使 $\beta$ 显著，结论也不一定可靠。

如果在回归时没有考虑到组内扰动项相关性，那么就可能会得到偏小的标准误 (Cameron 和 Miller，2015)，进而导致不准确的置信区间、$t$ 统计量和 $p$ 值。因此，在进行统计推断时，系数标准误 $\text{se}$ 的准确估计也很重要。

1.2 稳健标准误的重要性

Bertrand 等 (2004) 指出，当时的许多 DID 研究，未能考虑聚类稳健的标准误，或者经常在错误的水平上聚类。针对上述现象，Cameron 和 Miller (2015) 举了如下例子：

$$y_{t s}=\gamma \times d_{t s}+\mathbf{z}_{t s}^{\prime} \boldsymbol{\gamma}+\alpha_{s}+\delta_{t}+u_{t s}$$

这是一个州—年面板数据的 DID 模型。因变量是工资水平，自变量 $d_{t s}$ 是外生政策变量，该变量随着州和时间而变化。当 $d_{t s}$ =1 时，表示政策生效，反之则未生效。然而，变量 $d_{t s}$ 通常是序列相关的。例如，在那些从未实施政策的州，在永久实施该政策以后，$d_{t s}$ 将从一系列的 0，变成一系列的 1。此时，如果模型系统性地高估 (或低估) 了工资水平，那么误差项 $u_{t s}$ 在同一个州内部在时间维度上是正相关的。那么，默认的标准误就可能产生向下偏误。

直观地理解，在模型估计时，如果系统性地高估了一个州的工资预测，即同一个州每年的工资预测都被高估，那么 ${u}_{t s}$ 就都是负的，从而州内部的误差项正相关；反之，若是系统性低估，模型中这个州每年的误差项就都是正的，从而误差项也是正相关。

Cameron 和 Miller (2015) 指出，在 DID 面板数据回归模型中，聚类稳健的标准误可能比默认标准误大许多。主要原因是，自变量和误差项在类别 (州) 内部都是高度相关，而且即使考虑了固定效应，以上问题仍可能存在。当然，该问题不仅存在于 DID 模型中，也存在于所有面板数据模型中 (Cameron 和 Miller，2015)。

1.3 稳健标准误的 Stata 实现

在进行 OLS 或 2SLS 回归时：

• 如果在回归命令后面加上 robust 选项，表明使用著名的 White (1980) 异方差稳健标准误；
• 如果在回归命令后面加上 cluster() 选项，表明使用聚类稳健标准误。如果在聚类时，根据观测个体聚类，即 cluster(id)，则等同于在回归命令后面加上 robust。

2. 空间与网络的相关性

2.1 背景介绍

现如今，空间数据或网络数据的分析非常常见。然而，数据中难以观测的异质性可能在相邻单元之间存在关联，给统计推断带来挑战。针对上述问题，Conley (1999b) 和 Hsiang (2010) 认为可以使用坐标来缓解空间相关问题。在此基础上，Colella 等 (2019) 基于 White (1980)，提出了一种 “任意聚类方法”。该方法能够允许 OLS 和 2SLS 回归中的方差—协方差矩阵存在任意形式的相关性，包括空间结构、网络结构、以及时间维度等。并且，Colella 等 (2020) 编写了 acreg 命令来实现上述过程。

在基于美国大都市的地理空间分布所设定的蒙特卡罗模拟中，Colella 等 (2019) 发现 acreg 能够渐进准确地拒绝原假设，而传统的统计推断方法 (基于行政单元的聚类或非聚类的方法) 则倾向于过度拒绝原假设。

2.2 acreg 介绍

*命令安装
ssc install acreg, replace

*基本语法
acreg depvar [varlist1] [(varlist2 = varlist_iv) [if] [in]] [fweight pweight]

其中，depvar 为因变量，[varlist1] 是一系列外生变量，varlist2 是一系列内生变量，varlist_iv 是 varlist2 的工具变量。

*时间维度语法
acreg depvar varlist1 (varlist2 = varlist iv), id(idvar) time(timevar) lag(#)

其中，idvar 是横截面维度上的唯一标识符，timevar 是时间维度上的唯一标识符，lag(#) 指定同一个个体的时间滞后截断。

*空间语法1
acreg depvar varlist1 (varlist2 = varlist iv), spatial 
      latitude(latitudevar) longitude(longitudevar) dist(#)

其中，spatial 指定空间环境；latitudevar 是包含纬度的变量，精确到小数点后一位，且取值在 [-180.0, 180.0] 之间；类似地，longitudevar 是包含经度的变量；dist(#) 指定两个样本点在多少距离以外就没有相关性，以千米为单位。

*空间语法2
acreg depvar varlist1 (varlist2 = varlist iv), spatial 
      dist mat(varlist_distances) dist(#)

其中，varlist_distances 是在样本点之间包含双边空间距离的 N 个变量，这种距离以有意义的单位度量；dist(#) 指定两个样本点在多少距离以外就没有相关性，所用单位与 varlist_distances 的距离单位相同。

*网络语法
acreg depvar varlist1 (varlist2 = varlist_iv), network
      inks mat(varlist_links) dist(#)

其中，network 指定网络环境；varlist_links 是指定两个样本点之间联系的 N 个双边变量，例如邻接矩阵中两个节点之间最短距离的边的数量，这种联系可随时间变化；dist(#) 指定一个距离，超出这个距离的两个点被假定误差不相关，如果设定的值大于 1，acreg 会计算两个网络节点之间的双边距离。

*多维聚类语法
acreg depvar varlist1 (varlist2 = varlist_iv), cluster(varlist_cluster)

其中，varlist_cluster 是一系列不同的聚类类别变量，每个变量指定一个聚类维度。

*任意聚类语法
acreg depvar varlist1 (varlist2 = varlist_iv), weights(varlist_weights)

其中，varlist_weights 是 N (截面) 或者 $N \times T$ (面板) 个包含 S 矩阵权重的变量。

此外，上述语法具有的共同选项如下：

• 相关关系结构：hac 报告了异方差序列相关 (HAC) 稳健标准误；bartlett 在用于计算方差—协方差矩阵的权重矩阵中，在样本点之间，在截断距离之内对权重矩阵施加了距离的线性递减；nbclust(#) 是用于计算 Kleibergen-Paap 统计量的聚类类别数量，用于任意聚类相关，默认值为 100。
• 高维固定效应：fe1var 指定第一个需要控制高维固定效应的变量 ；fe2var 指定第二个需要控制高维固定效应的变量；dropsingletons 在 pfe1 (and pfe2) 被指定的前提下，删除单独的组。
• 储存选项：storeweights 选项仅在 spatial、network 或 varlist_cluster 三个选项被指定的情况下才能使用。storeweights 选项会将用于调整方差—协方差矩阵的允许任意聚类相关的权重矩阵储存在名为 weightsmat 的变量中。weightsmat 所储存的矩阵可以用于前文介绍的 varlist_weights 选项的输入。

3. acreg 命令的应用

3.1 收入与自杀率

在估计以下方程时，需要估计空间相关的标准误：

$$\text{homicidesrate}_{i t}=\alpha_{i}+\beta \text{logincome}_{i t}+\gamma X_{i t}+\epsilon_{i t}$$

其中，$i$ 是美国东南部的某个县，每个县有 4 年观测。$X_{it}$ 包括人口对数和平均年龄等控制变量。假设采用失业率作为收入的工具变量，则第一阶段模型如下：

$$\text{logincome}_{i t}=\alpha_{2 i}+\beta_{2} \text{unemployment}_{i t}+\gamma_{2} X_{i t}+\epsilon_{2 i t}$$

需要说明的是，Colella 等 (2020) 在这个例子中仅为演示 acreg 的用法，因此并不会探究这个工具变量的合理性。

3.1.1 截面数据

. *采用 1990 年的横截面数据
. use "http://www.stata-press.com/data/r15/homicide1990.dta", clear
(S.Messner et al.(2000), U.S southern county homicide rates in 1990)

. *假设样本的误差之间没有相关性
. acreg hrate ln_population age (ln_income=unemployment)
HETEROSKEDASTICITY ROBUST STANDARD ERRORS
No HAC Correction
No Absorbed FEs
Included instruments: ln_population age
Instrumented: ln_income
Excluded instruments: unemployment
Kleibergen-Paap rk Wald F statistic: 990.487
                                                      Number of obs =     1412
Total (centered) SS     =  69908.59003                Centered R2   =   0.1079
Total (uncentered) SS   =  198667.4579                Uncentered R2 =   0.6861
Residual SS             =  62363.84851

-------------------------------------------------------------------------------
        hrate |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
    ln_income |     -8.822      1.355    -6.51   0.000      -11.478      -6.167
ln_population |      1.404      0.277     5.07   0.000        0.862       1.947
          age |     -0.282      0.051    -5.55   0.000       -0.381      -0.182
        _cons |     94.460     12.429     7.60   0.000       70.101     118.820
-------------------------------------------------------------------------------

. *等价于 ivreg2 的结果
. ivreg2 hrate ln_population age (ln_income=unemployment), robust

                                                      Number of obs =     1412
                                                      F(  3,  1408) =    24.04
                                                      Prob > F      =   0.0000
Total (centered) SS     =  69908.59003                Centered R2   =   0.1079
Total (uncentered) SS   =  198667.4579                Uncentered R2 =   0.6861
Residual SS             =  62363.84851                Root MSE      =    6.646

-------------------------------------------------------------------------------
              |               Robust
        hrate |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
    ln_income |     -8.822      1.355    -6.51   0.000      -11.478      -6.167
ln_population |      1.404      0.277     5.07   0.000        0.862       1.947
          age |     -0.282      0.051    -5.55   0.000       -0.381      -0.182
        _cons |     94.460     12.429     7.60   0.000       70.101     118.820
-------------------------------------------------------------------------------

. *估计州层面的聚类稳健标准误
. acreg hrate ln_population age (ln_income=unemployment), cluster(sfips)
MULTIWAY CLUSTERING CORRECTION
Cluster variable(s): sfips
No HAC Correction
No Absorbed FEs
Included instruments: ln_population age
Instrumented: ln_income
Excluded instruments: unemployment
Kleibergen-Paap rk Wald F statistic: 143.959
                                                      Number of obs =     1412
Total (centered) SS     =  69908.59003                Centered R2   =   0.1079
Total (uncentered) SS   =  198667.4579                Uncentered R2 =   0.6861
Residual SS             =  62363.84851

-------------------------------------------------------------------------------
        hrate |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
    ln_income |     -8.822      1.802    -4.90   0.000      -12.353      -5.291
ln_population |      1.404      0.309     4.54   0.000        0.799       2.010
          age |     -0.282      0.130    -2.16   0.031       -0.537      -0.026
        _cons |     94.460     17.890     5.28   0.000       59.396     129.525
-------------------------------------------------------------------------------

现在，使用 Conley (1999) 提出的空间相关估计，阈值选择为 100 公里，因此每个县的误差项假设与所有位于 100 公里范围内的其他县具有相关性 (本例中，平均而言有 89 个县相互关联)。

. acreg hrate ln_population age (ln_income=unemployment), ///
        spatial latitude(_CX) longitude(_CY) dist(100)
SPATIAL CORRECTION
DistCutoff: 100
LagCutoff:  0
No HAC Correction
No Absorbed FEs
Included instruments: ln_population age
Instrumented: ln_income
Excluded instruments: unemployment
Kleibergen-Paap rk Wald F statistic: 112.917
                                                      Number of obs =     1412
Total (centered) SS     =  69908.59003                Centered R2   =   0.1079
Total (uncentered) SS   =  198667.4579                Uncentered R2 =   0.6861
Residual SS             =  62363.84851

-------------------------------------------------------------------------------
        hrate |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
    ln_income |     -8.822      2.358    -3.74   0.000      -13.443      -4.201
ln_population |      1.404      0.469     3.00   0.003        0.485       2.323
          age |     -0.282      0.109    -2.58   0.010       -0.495      -0.068
        _cons |     94.460     21.863     4.32   0.000       51.609     137.312
-------------------------------------------------------------------------------

在以上例子中，用于计算方差-协方差矩阵 (VCV) 的权重矩阵是二元的，即对于 100 公里范围内的两个县市 (县市对)，取值为 1；相距超过 100 公里的两个县市 (县市对)，取值为 0。acreg 还允许这个二元矩阵的权重随着两个县之间距离的增加而线性递减，也就是不再简单地用 0 或 1 来构造这个矩阵，此时可用 bartlett 选项。这里我们可通过 dist(200) 将相关距离的阈值从 100 公里改为 200 公里。

. acreg hrate ln_population age (ln_income=unemployment), ///
        spatial latitude(_CX) longitude(_CY) dist(200) bartlett
SPATIAL CORRECTION
DistCutoff: 200
LagCutoff:  0
No HAC Correction
No Absorbed FEs
Included instruments: ln_population age
Instrumented: ln_income
Excluded instruments: unemployment
Kleibergen-Paap rk Wald F statistic: 132.260
                                                      Number of obs =     1412
Total (centered) SS     =  69908.59003                Centered R2   =   0.1079
Total (uncentered) SS   =  198667.4579                Uncentered R2 =   0.6861
Residual SS             =  62363.84851

-------------------------------------------------------------------------------
        hrate |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
    ln_income |     -8.822      2.313    -3.81   0.000      -13.356      -4.289
ln_population |      1.404      0.439     3.20   0.001        0.544       2.265
          age |     -0.282      0.102    -2.77   0.006       -0.481      -0.083
        _cons |     94.460     21.235     4.45   0.000       52.841     136.080
-------------------------------------------------------------------------------

acreg 允许控制高维固定效应，但为提高效率，将这些固定效应 “partial out”，降低由于控制很多虚拟变量对模型估计速度的影响。该命令最多仅允许控制两个固定效应变量，在 pfe1() 和 pfe2() 两个选项的括号中，可填入要控制固定效应的变量。对上例回归控制州的固定效应：

. acreg hrate ln_population age (ln_income=unemployment), ///
        spatial latitude(_CX) longitude(_CY) dist(100) pfe1(sfips)
SPATIAL CORRECTION
DistCutoff: 100
LagCutoff:  0
No HAC Correction
Absorbed FE: sfips 
Included instruments: ln_population age
Instrumented: ln_income
Excluded instruments: unemployment
Kleibergen-Paap rk Wald F statistic: 307.097
                                                      Number of obs =     1412
Total (centered) SS     =  58943.23761                Centered R2   =   0.1002
Total (uncentered) SS   =  58943.23761                Uncentered R2 =   0.1002
Residual SS             =  53037.54212

-------------------------------------------------------------------------------
        hrate |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
    ln_income |    -13.882      1.835    -7.56   0.000      -17.479     -10.285
ln_population |      1.650      0.400     4.12   0.000        0.866       2.434
          age |     -0.179      0.096    -1.86   0.063       -0.367       0.009
        _cons |      0.000      0.241     0.00   1.000       -0.473       0.473
-------------------------------------------------------------------------------
nb: total SS, model and R2s are after partialling out.
To get the corrected ones use the option correctr2

注意到，以上回归结果中，除了最后控制固定效应的回归结果之外，其他结果的估计系数不变，因为 acreg 调整的是估计系数的标准误。

3.1.2 面板数据

. use "http://www.stata-press.com/data/r15/homicide_1960_1990.dta", clear
(S.Messner et al.(2000), U.S southern county homicide rate in 1960-1990)
. *不考虑误差相关进行回归，以下两条命令的结果等价
. acreg hrate ln_population age (ln_income=unemployment)
. ivreg2 hrate ln_population age (ln_income=unemployment), robust

. *允许州内各县存在相关性，以下两行命令等价
. acreg hrate ln_population age (ln_income=unemployment), id(_ID) ///
        time(year) lagcut(30)
. ivreg2 hrate ln_population age (ln_income=unemployment), cluster(_ID)

. *考虑时间和空间的相关性
. acreg hrate ln_population age (ln_income=unemployment), ///
        id(_ID) time(year) lagcut(30)  spatial            ///
        latitude(_CX) longitude(_CY) dist(100)
SPATIAL CORRECTION
DistCutoff: 100
LagCutoff:  30
No HAC Correction
No Absorbed FEs
Included instruments: ln_population age
Instrumented: ln_income
Excluded instruments: unemployment
Kleibergen-Paap rk Wald F statistic:  24.838
                                                      Number of obs =     5648
Total (centered) SS     =  286387.1082                Centered R2   =  -0.0447
Total (uncentered) SS   =  781008.6785                Uncentered R2 =   0.6169
Residual SS             =  299188.6495

-------------------------------------------------------------------------------
        hrate |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
    ln_income |      3.839      1.811     2.12   0.034        0.289       7.388
ln_population |     -0.441      0.387    -1.14   0.254       -1.200       0.318
          age |     -0.463      0.143    -3.25   0.001       -0.742      -0.183
        _cons |     -7.265      9.814    -0.74   0.459      -26.500      11.970
-------------------------------------------------------------------------------

其中，id() 填写县市的 id，time() 填写年份变量；dist(100) 假设空间相关性在 100 km 之外就会消失；lag(30) 即假设在 30 个时期之后，同一个体在时间上的相关性就会消失。但是，这份数据的时间维度最多为 4 年，因此 lag() 中填写的数字如果超过 4，那么估计的系数标准误就不会再改变了。例如，这里填写lag(30) 与填写 lag(300) 的结果是一样的。

. *考虑了时间和空间上的相关性，进一步控制县的固定效应
. acreg hrate ln_population age (ln_income=unemployment),   ///
        id(_ID) time(year) lagcut(30) spatial latitude(_CX) ///
        longitude(_CY) dist(100) pfe1(_ID)
SPATIAL CORRECTION
DistCutoff: 100
LagCutoff:  30
No HAC Correction
Absorbed FE: _ID 
Included instruments: ln_population age
Instrumented: ln_income
Excluded instruments: unemployment
Kleibergen-Paap rk Wald F statistic:  49.605
                                                      Number of obs =     5648
Total (centered) SS     =  144755.2058                Centered R2   =   0.0175
Total (uncentered) SS   =  144755.2058                Uncentered R2 =   0.0175
Residual SS             =  142223.0274

-------------------------------------------------------------------------------
        hrate |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
    ln_income |      0.259      1.150     0.23   0.822       -1.995       2.512
ln_population |     -1.631      1.741    -0.94   0.349       -5.043       1.781
          age |      0.147      0.201     0.73   0.465       -0.247       0.540
        _cons |     -0.000      0.174    -0.00   1.000       -0.342       0.342
-------------------------------------------------------------------------------
nb: total SS, model and R2s are after partialling out.
To get the corrected ones use the option correctr2

其中，pfe1(_ID) 控制 (partial out) 了县的固定效应。注意到，这里回归系数发生了很大的变化，这是因为控制固定效应，即先组内去均值而后回归，通常会影响模型估计的系数，而不只是影响系数标准误。

. *再考虑时间固定效应，加上选项 pfe2(year) 即可
. acreg hrate ln_population age (ln_income=unemployment),   ///
        id(_ID) time(year) lagcut(30) spatial latitude(_CX) ///
        longitude(_CY) dist(100) pfe1(_ID) pfe2(year)

如果要计算 Newey 和 West (1987) 的异方差序列相关一致稳健标准误 (HAC)，只需在以上命令最后加上选项 hac 即可。

3.2 网络模型

这里使用 Grund 和 Densley (2012，2015) 提供的伦敦年轻帮派网络数据。如果两个人共同犯案，那么这两个节点中间建立联系，即节点的边。这些联系构成了 54 个变量 (_net2_1 - _net2_54)。模型如下：

$$\text{arrest}_{i}=\alpha+\beta \text{ranking}_{i}+\gamma X_{i}+\epsilon_{i}$$

其中，$i$ 是个体，$\text{arres}_{t i}$ 是个体被逮捕的次数，$\text{ranking}_{i}$ 是个体在帮派中的位置，$X_{it}$ 包括年龄、居住地、和出生地。

3.2.1 截面数据

. webnwuse gang //下载数据
. nwload gang   //下载网络
. forvalues j = 1(1)54 { 
  2.   qui replace _net2_`j'=1 in `j'
  3. } //将邻接矩阵对角线换成 1
  
. *假设每个观测的误差项不相关，估计模型
. acreg Arrest Ranking Age Residence i.Birthplace
HETEROSKEDASTICITY ROBUST STANDARD ERRORS
No HAC Correction
No Absorbed FEs
Included instruments: Ranking Age Residence 1b.Birthplace 2.Birthplace 
3.Birthplace 4.Birthplace
                                                      Number of obs =       54
Total (centered) SS     =  2196.537037                Centered R2   =   0.2442
Total (uncentered) SS   =         7497                Uncentered R2 =   0.7786
Residual SS             =  1660.198039
------------------------------------------------------------------------------
     Arrests |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
     Ranking |     -2.168      0.821    -2.64   0.008       -3.777      -0.560
         Age |      0.767      0.309     2.48   0.013        0.160       1.373
   Residence |     -1.535      1.562    -0.98   0.326       -4.595       1.526
  Birthplace |
  Caribbean  |      0.000  (empty)
East Africa  |     -0.252      2.870    -0.09   0.930       -5.876       5.372
         UK  |      0.701      2.228     0.31   0.753       -3.666       5.069
West Africa  |      0.817      2.013     0.41   0.685       -3.127       4.762
       _cons |      2.317      7.507     0.31   0.758      -12.396      17.030
------------------------------------------------------------------------------

接着，采用 Colella 等 (2019) 的稳健标准误，即假设每个个体与其相连的其他个体存在相关。links_mat(_net2_*) 声明网络结构由 _net2_1 至 _net2_54 所定义；dist(1) 声明在第一个连接之后节点的相关性就会消失，也就是只考虑直接相连的两点的相关性，不考虑间接相连。如果设为 dist(2)，则是认为通过一个中间点间接相连的两个点也具有相关性，即两点之间最短距离在 2 步以内的情况。

. acreg Arrest Ranking Age Residence i.Birthplace , ///
        network links_mat(_net2_*) dist(1)
NETWORK CORRECTION
DistCutoff: 1
LagCutoff:  0
No HAC Correction
No Absorbed FEs
Included instruments: Ranking Age Residence 1b.Birthplace 2.Birthplace 
3.Birthplace 4.Birthplace
                                                      Number of obs =       54
Total (centered) SS     =  2196.537037                Centered R2   =   0.2442
Total (uncentered) SS   =         7497                Uncentered R2 =   0.7786
Residual SS             =  1660.198039
------------------------------------------------------------------------------
     Arrests |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
     Ranking |     -2.168      0.713    -3.04   0.002       -3.566      -0.771
         Age |      0.767      0.373     2.05   0.040        0.035       1.498
   Residence |     -1.535      1.619    -0.95   0.343       -4.708       1.638
  Birthplace |
  Caribbean  |      0.000  (empty)
East Africa  |     -0.252      2.259    -0.11   0.911       -4.679       4.175
         UK  |      0.701      2.985     0.23   0.814       -5.149       6.551
West Africa  |      0.817      2.260     0.36   0.718       -3.613       5.247
       _cons |      2.317      7.826     0.30   0.767      -13.021      17.656
------------------------------------------------------------------------------

如果要将用于计算方差—协方差矩阵的 0-1 权重矩阵，改为权重随着网络距离递减的矩阵，即直接相连取值为 1，间接 2 步相连取值为 0.5，那么选择选项 bartlett。

. acreg Arrest Ranking Age Residence i.Birthplace, ///
        network links_mat(_net2_*) dist(2) bartlett
NETWORK CORRECTION
DistCutoff: 2
LagCutoff:  0
No HAC Correction
No Absorbed FEs
Included instruments: Ranking Age Residence 1b.Birthplace 2.Birthplace 
3.Birthplace 4.Birthplace
                                                      Number of obs =       54
Total (centered) SS     =  2196.537037                Centered R2   =   0.2442
Total (uncentered) SS   =         7497                Uncentered R2 =   0.7786
Residual SS             =  1660.198039
------------------------------------------------------------------------------
     Arrests |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
     Ranking |     -2.168      0.769    -2.82   0.005       -3.675      -0.662
         Age |      0.767      0.343     2.24   0.025        0.095       1.438
   Residence |     -1.535      1.591    -0.96   0.335       -4.652       1.583
  Birthplace |
  Caribbean  |      0.000  (empty)
East Africa  |     -0.252      2.582    -0.10   0.922       -5.313       4.809
         UK  |      0.701      2.634     0.27   0.790       -4.461       5.863
West Africa  |      0.817      2.140     0.38   0.703       -3.377       5.011
       _cons |      2.317      7.668     0.30   0.762      -12.712      17.346
------------------------------------------------------------------------------

此外，如果要控制出生地固定效应，仅需添加选项 pfe1(Birthplace)。

3.2.2 面板数据

这是一份构造的数据，$N = 100$，$t = 10$，只有 4 个构造的变量，即 $Y_{it}$，$X1_{it}$，$Z_{it}$，$IV_{it}$。其中假定 $Z_{it}$ 是内生解释变量，而 $IV_{it}$ 是工具变量。

. use "https://gitee.com/arlionn/data/raw/master/data01/acregfakedata.dta", clear
. *不存在相关性，也不控制固定效应，以下两条命令等价
. acreg Y_it X1_it (Z_it=IV_it)
. ivreg2 Y_it X1_it (Z_it=IV_it), robust

. *考虑个体时间序列相关性，不考虑个体相关性，以下三条命令等价
. acreg Y_it X1_it (Z_it=IV_it) , id(id) time(time) lag(10)
. ivreg2 Y_it X1_it (Z_it=IV_it) , cluster(id)
. acreg Y_it X1_it (Z_it=IV_it), cluster(id)

现在考虑同一时期，直接相连的节点之间的相关性，但不考虑不同时期，直接相连的节点之间的相关性，添加选项 links_mat(clus*)，即clus_1至clus_100，共 100 个个体。因此，dist(1) 设为 1，即间接相连的相关性不考虑。

. eststo: acreg Y_it X1_it (Z_it=IV_it),    ///
          id(id) time(time) lag(10) network ///
          links_mat(clus*) dist(1)
NETWORK CORRECTION
DistCutoff: 1
LagCutoff:  10
No HAC Correction
No Absorbed FEs
Included instruments: X1_it
Instrumented: Z_it
Excluded instruments: IV_it
Kleibergen-Paap rk Wald F statistic:  22.720
                                                      Number of obs =     1000
Total (centered) SS     =  2834382.139                Centered R2   =   0.4913
Total (uncentered) SS   =    4195421.4                Uncentered R2 =   0.6563
Residual SS             =  1441795.144

------------------------------------------------------------------------------
        Y_it |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        Z_it |      1.029      0.384     2.68   0.007        0.275       1.782
       X1_it |      1.229      0.450     2.73   0.006        0.348       2.110
       _cons |     11.619      4.743     2.45   0.014        2.322      20.915
------------------------------------------------------------------------------
(est1 stored)

在以上命令中，通过选项 pfe1(id) 和 pfe2(tim)可控制个体和时间固定效应。如果假设同一年存在个体之间的相关性，而同一个体在时间维度上不存在任何相关性，只需把 lag(0) 设定为 0 即可。同理，如果假设同一个体在 3 期以内存在相关性，而超过 3 期则不存在相关性，只需把 lag(3) 设定为 3 即可。

3.3 空间相关性

Colella 等 (2020) 在这一部分是想将其编写的 acreg 与 Hsiang (2010) 的考虑空间相关性的命令 ols_spatial_HAC 进行比较。

*安装命令 ols_spatial_HAC
local u1 "https://gitee.com/arlionn/data/raw/master/data01/ols_spatial_HAC.ado"
local u2 "`c(sysdir_plus)'/o"
copy `u1' "`u2'/ols_spatial_HAC.ado", replace

3.3.1 截面数据

. *不考虑相关性和固定效应，用混合横截面回归
. use "https://gitee.com/arlionn/data/raw/master/data01/acregfakedata.dta", clear
. qui tab time, g(time_d) //生成时间 id
. qui tab id, g(id_d)     //生成个体 id
. gen const = 1           //生成截距项
. gen fakeid = _n         //生成虚假个体 id
. gen faketime = 1        //生成虚假时间

. *ivreg2
. qui ivreg2 Y_it X1_it Z_it, robust
. est store m1
. *acreg
. qui acreg Y_it X1_it Z_it
. est store m2
. *ols_spatial_HAC (ols_spat)
. qui ols_spatial_HAC Y_it X1_it Z_it const,   ///
      lat(lat) lon(lon) panelvar(fakeid) timevar(time) ///
      distcutoff(0.000001) lagcutoff(0)
. est store m3

. *结果进行对比
. esttab m*, keep(X1_it Z_it) mtitles(ivreg2 acreg ols_spat)
------------------------------------------------------------
                      (1)             (2)             (3)   
                   ivreg2           acreg        ols_spat   
------------------------------------------------------------
X1_it               0.739***        0.739***        0.739***
                   (3.93)          (3.93)          (3.93)   

Z_it                1.453***        1.453***        1.453***
                  (30.63)         (30.63)         (30.63)   
------------------------------------------------------------
N                    1000            1000            1000   
------------------------------------------------------------
t statistics in parentheses
* p<0.05, ** p<0.01, *** p<0.001

可以看出，在这种设定下，ivreg2、acreg、ols_spatial_HAC 三者结果没有区别。

3.3.2 空间相关

假设横截面数据，而非空间数据，但是假设个体在 500 公里范围内存在相关性。同时采用二元权重矩阵 (第 1—2 列) 与随距离递减的权重矩阵(bartlett) (第 3—4 列)。

. *二元权重矩阵
. *acreg
. qui acreg Y_it X1_it Z_it, spatial latitude(lat)    ///
      longitude(lon) dist(500)
. est store m1
. *ols_spatial_HAC (ols_spat)
. qui ols_spatial_HAC Y_it X1_it Z_it const, lat(lat) ///
      lon(lon) panelvar(fakeid) timevar(faketime)     /// 
      distcutoff(500) lagcutoff(0)
. est store m2

. *计算方差的矩阵的权重随距离递减
. *acreg
. qui acreg Y_it X1_it Z_it, spatial latitude(lat)    ///
      longitude(lon) dist(500) bartlett
. est store m3
. *ols_spatial_HAC (ols_spat)
. qui ols_spatial_HAC Y_it X1_it Z_it const, lat(lat) ///
      lon(lon) panelvar(fakeid) timevar(faketime)     ///
      distcutoff(500) lagcutoff(0) bartlett
. est store m4

. *列示结果进行对比
. esttab m1 m2 m3 m4, keep( X1_it Z_it) mtitles(acreg ///
         ols_spat acreg_b ols_spat_b 2hdfespat_b)

----------------------------------------------------------------------------
                      (1)             (2)             (3)             (4)   
                    acreg        ols_spat         acreg_b      ols_spat_b   
----------------------------------------------------------------------------
X1_it               0.739***        0.739***        0.739***        0.739***
                   (3.34)          (3.34)          (3.56)          (3.56)   

Z_it                1.453***        1.453***        1.453***        1.453***
                  (29.83)         (29.83)         (29.82)         (29.82)   
----------------------------------------------------------------------------
N                    1000            1000            1000            1000   
----------------------------------------------------------------------------
t statistics in parentheses
* p<0.05, ** p<0.01, *** p<0.001

3.3.3 空间和时间的相关性

考虑空间和时间的相关性，acreg 需要指定 hac 以考虑异方差—自相关稳健标准误，而另一个变量则默认使用异方差-自相关稳健标准误。

. *binary weighting matrix
. *acreg
. qui acreg Y_it X1_it Z_it, spatial latitude(lat) longitude(lon) ///
      dist(500) id(id) time(time) lag(10) hac
. est store m1
. *ols_spatial_HAC (ols_spat)
. qui ols_spatial_HAC Y_it X1_it Z_it const, lat(lat) lon(lon)    ///
      panelvar(id) timevar(time) distcutoff(500) lagcutoff(10)
. est store m2

. *linear bartlett window
. *acreg
. qui acreg Y_it X1_it Z_it, spatial latitude(lat) longitude(lon) ///
      dist(500) id(id) time(time) lag(10) hac bartlett
. est store m3
. *ols_spatial_HAC (ols_spat)
. qui ols_spatial_HAC Y_it X1_it Z_it const, lat(lat) lon(lon)    ///
      panelvar(id) timevar(time) distcutoff(500) lagcutoff(10) bartlett
. est store m4

. *table of results
. esttab m1 m2 m3 m4, keep( X1_it Z_it) mtitles(acreg ///
        ols_spat acreg_b ols_spat_b 2hdfespat_b)

----------------------------------------------------------------------------
                      (1)             (2)             (3)             (4)   
                    acreg        ols_spat         acreg_b      ols_spat_b   
----------------------------------------------------------------------------
X1_it               0.739***        0.739***        0.739***        0.739***
                   (3.54)          (3.54)          (3.78)          (3.78)   

Z_it                1.453***        1.453***        1.453***        1.453***
                  (26.49)         (26.49)         (28.50)         (28.50)   
----------------------------------------------------------------------------
N                    1000            1000            1000            1000   
----------------------------------------------------------------------------
t statistics in parentheses
* p<0.05, ** p<0.01, *** p<0.001

可以看到，在同时考虑空间和时间相关之后，两个变量估计的标准误出现了细小差别，acreg 估计的标准误更大一点。

3.3.4 固定效应模型

考虑空间和时间相关，以及高维固定效应，这里控制个体和时间固定效应。

. *binary weighting matrix
. *acreg
. qui acreg Y_it X1_it Z_it , pfe2(id) pfe1(time) spatial ///
      latitude(lat) longitude(lon) dist(500) id(id) time(time) lag(10) hac
. est store m1
. *ols_spatial_HAC (ols_spat)
. qui ols_spatial_HAC Y_it X1_it Z_it const id_d2-id_d100 ///
      time_d2-time_d10, lat(lat) lon(lon) panelvar(id)    ///
                  timevar(time) distcutoff(500) lagcutoff(10)
. est store m2

. *linear bartlett window
. *acreg
. qui acreg Y_it X1_it Z_it , pfe2(id) pfe1(time) spatial ///
      latitude(lat) longitude(lon) dist(500) id(id)       ///
                  time(time) lag(10) hac bartlett
. est store m3
. *ols_spatial_HAC (ols_spat)
. qui ols_spatial_HAC Y_it X1_it Z_it const id_d2-id_d100 ///
      time_d2-time_d10, lat(lat) lon(lon) panelvar(id)    ///
                  timevar(time) distcutoff(500) lagcutoff(10) bartlett
. est store m4

. *table of results
. esttab m1 m2 m3 m4, keep( X1_it Z_it) mtitles(acreg ols_spat ///
         acreg_b ols_spat_b 2hdfespat_b)
----------------------------------------------------------------------------
                      (1)             (2)             (3)             (4)   
                    acreg        ols_spat         acreg_b      ols_spat_b   
----------------------------------------------------------------------------
X1_it               0.740***        0.740***        0.740***        0.740***
                   (3.39)          (3.39)          (3.75)          (3.75)   

Z_it                1.418***        1.418***        1.418***        1.418***
                  (28.84)         (28.84)         (29.06)         (29.06)   
----------------------------------------------------------------------------
N                    1000            1000            1000            1000   
----------------------------------------------------------------------------
t statistics in parentheses
* p<0.05, ** p<0.01, *** p<0.001

这里控制了两种固定效应后，系数和显著性的差异变化很小，很大可能是因为这是作者构造的模拟数据。但是，这里两个命令估计的系数标准误略有差异，acreg 估计的标准误小一点。

4. 参考文献

• Baum C F, Schaffer M E, Stillman S. Instrumental variables and GMM: Estimation and testing[J]. The Stata Journal, 2003, 3(1): 1-31. -PDF-
• Bertrand M, Duflo E, Mullainathan S. How much should we trust differences-in-differences estimates?[J]. The Quarterly journal of economics, 2004, 119(1): 249-275. -PDF-
• Cameron A C, Miller D L. A practitioner’s guide to cluster-robust inference[J]. Journal of human resources, 2015, 50(2): 317-372. -PDF-
• Conley T G. GMM estimation with cross sectional dependence[J]. Journal of econometrics, 1999, 92(1): 1-45. -PDF-
• Colella F, Lalive R, Sakalli S O, et al. Inference with arbitrary clustering[J]. 2019. -PDF-
• Hsiang S M. Temperatures and cyclones strongly associated with economic production in the Caribbean and Central America[J]. Proceedings of the National Academy of sciences, 2010, 107(35): 15367-15372. -PDF-
• Messner S F, Anselin L, Baller R D, et al. The spatial patterning of county homicide rates: An application of exploratory spatial data analysis[J]. Journal of Quantitative criminology, 1999, 15(4): 423-450. -PDF-
• White H. A heteroskedasticity-consistent covariance matrix estimator and a direct test for heteroskedasticity[J]. Econometrica: journal of the Econometric Society, 1980: 817-838. -PDF-
• 洪永淼, 赵西亮, 吴吉林. 高级计量经济学[M]. 高等教育出版社, 2011.

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  lianxh 标准误 异方差, m
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