A-理论部分：控制变量！控制变量！Good-Controls-Bad-Controls

发布时间：2022-09-08 阅读 2501

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作者：曹昊煜 (兰州大学)
邮箱：caohy19@lzu.edu.cn

编者按：本文主要摘译自下文，特此致谢！
Source：Cinelli C, Forney A, Pearl J. A Crash Course in Good and Bad Controls. Sociological Methods & Research. 2022. -PDF- -Link- -R-

本系列分成理论和实操两部分：

1. 导言

在实证研究中「坏的控制」时常出现，当一个变量的加入使得回归结果与预期产生明显差异时，该变量可能是坏的控制。如何避免这一差异已经成为实证研究中的重要挑战。在本文中，我们试图使用图形工具来解决这一问题。

当需要使估计结果更加接近真实参数时，我们必须考虑加入某个变量后对结果的影响。一方面存在一些好的控制，如果不加入模型可能导致遗漏变量问题。另一方面，如果加入坏的控制，则可能导致估计偏误。

尽管在现有的部分教材中提到了遗漏 “相关变量” 问题，但他们并未明确说明何谓 “相关变量”，也没有指出加入某些变量可能导致不一致估计的问题。上述事实可能会使研究者产生一个不好的想法，即尽可能多地加入控制变量总是更好的。

实际上，好的控制是在感兴趣的解释变量确定时已经固定的变量，即不受处理变量影响的因素，而坏的控制会受到处理变量的影响。但这一条件对控制变量是否是好的控制而言既不必要也不充分。尽管如此，我们仍可以借助图形来更好地理解控制变量的好坏。

2. 因果模型与因果图

2.1 结构因果模型与因果图

为了研究回归方程的估计结果与因果效应是否存在差距，首先必须定义因果效应。下面是一个结构因果模型 (Structural Causal Models，SCM) 的例子：

M = {\begin{aligned} Z \leftarrow f_{z} (U_{z}) \\ X \leftarrow f_{x} (Z, U_{x}) \\ Y \leftarrow f_{y} (X, Z, U_{y}) \\ U \sim P (U) \end{aligned}

其中， $V = {Z, X, Y}$ 为内生变量， $U = {U_{x}, U_{y}, U_{z}}$ 为一切外生的因素，通常称之为扰动项。函数 $F = {f_{z}, f_{x}, f_{y}}$ 称为结构方程，每一个函数代表了一条因果路径。模型定义了内生变量的联合分布 $P (V)$ ，称为观测分布。每个结构因果模型都可以使用因果图 (又称有向无环图) 表示，结构因果模型 M 的因果图如下所示：

2.2 干预和因果效应

干预是通过改变 SCM 的机制实现的。例如，我们使用 $d o (X = x)$ 代替模型中的机制 $X \leftarrow f_{x} (Z, U_{x})$ ，即 $X$ 被外生地赋值为 $x$ ，则因果图变为：

此时 SCM 中的内生变量服从干预分布 $P (V | d o (X = x))$ ，平均因果效应为 (Average Causal Effect，ACE)：

A C E (x) = E [Y | d o (x + 1)] - E [Y | d o (x)]

可见因果效应取决于 $x$ 的取值，在线性模型中，ACE 退化为一个数值。当然，也可以使用同样的思路定义其他的因果效应，比如条件直接效应 (Controlled Direct Effect，CDE)。此时内生变量 $Z$ 也受到控制：

C D E (x, z) = E [Y | d o (x + 1), d o (z)] - E [Y | d o (x), d o (z)]

在加入干预机制的结构因果模型 $M_{x}$ 中，潜在结果 $V_{x}$ 定义为内生变量的解，也就是说 $P (V | d o (X = x))$ 可以等价地写为 $P (V_{x})$ 。从而平均因果效应可以写为：

A C E (x) = E [Y_{x + 1}] - E [Y_{x}]

2.3 因果与非因果路径

假定所有函数关系都是线性的，即 $Z \leftarrow U_{z}$ ， $X \leftarrow λ_{z x} Z + U_{z}$ ， $Y \leftarrow λ_{x y} X + λ_{z y} Z + U_{y}$ 。进一步假定 $U$ 服从多元正态分布。因此 ACE 为：

A C E (x) = E [Y | d o (x + 1)] - E [Y | d o (x)] = λ_{x y}

$Y$ 对 $X$ 回归的系数：

β_{y, x} = \frac{Cov (Y, X)}{Var (X)} = λ_{x y} + λ_{z x} λ_{z y}

因此直接使用 $Y$ 对 $X$ 回归无法得到真正的因果关系。其原因在于 $Z$ 混杂在二者的因果关系中，或者说存在混杂路径 $X \leftarrow Z \to Y$ ，有时也称为 “后门路径”，此时 $Z$ 必须控制在回归方程中。

在一般的因果图中，需要理解三种重要的因果关系：

中介 (Chains)：中介指的是路径 $X \to Z \to Y$ ，即 $X$ 对 $Y$ 的因果影响是通过 $Z$ 实现的。在方程中控制 $Z$ 会阻断这一联系；
共同原因 (Forks)：共同原因指的是路径 $X \leftarrow Z \to Y$ ，即 $Z$ 同时影响 $X$ 和 $Y$ 。因此二者间存在非因果路径，在方程中控制 $Z$ 会阻断这一联系；
共同结果 (Coliders)：共同结果指的是路径 $X \to Z \leftarrow Y$ ，这一路径本身是关闭的，但如果我们在方程中控制了 $Z$ ，则会打开这一非因果路径。

需要注意的是，控制某一变量的派生变量也视为部分控制了该因素。现在我们可以判断当以 $Z$ 为条件时，路径 $p$ 是否被阻断：

当路径是中介或共同原因时， $Z$ 中会纳入中间节点能够阻断路径 $p$ ；
当路径是共同结果时， $Z$ 中既不包含中间节点，也不包含其结果，则能够阻断路径 $p$ 。

2.4 后门准则

因果图揭示了何种 $Z$ 的设定会阻断正确的因果路径，我们需要做的是选择 $Z$ ，以保证：

阻断所有虚假的路径；
避免阻断或部分阻断真实的因果路径；
避免打开其他虚假的路径。

以上三点称为后门准则。如果我们能够找到一组变量 $Z = {Z_{1}, Z_{2}, \dots, z_{K}}$ ，那么使用迭代期望率：

E [Y | d o (X = x)] = E [E [Y | X = x, Z = z]]

2.5 线性与非线性模型

前文的识别结果还没有参数化，其步骤是首先计算出 $E [Y | X = x, Z = z]$ ，再计算 $Z$ 的无条件均值。如果 $E [Y | X = x, Z = z]$ 是线性的，那么：

E [E [Y | X = x, Z = z]] = β_{y x, z} + \sum_{j = 1}^{k} β_{y z_{j}, x z_{- j}} E [Z_{j}]

其中 $Z_{- j}$ 表示 $Z$ 中除了 $Z_{j}$ 以外的变量。因此在线性假定下，ACE 简化为 $β_{y x, z}$ 。但如果函数假定是非线性的，则该结果不再成立。

2.6 实质共同结果与 d 分离

考虑以下因果模型：

可以看到共同结果 $X \to Y \leftarrow U_{y}$ ，当我们在模型中控制了 $Z$ 时，会部分打开这一路径，此时 $Z$ 就是一个坏的控制。如果 $Z$ 的设定阻断了所有 $X$ 和 $Y$ 之间的路径，则称二者 d 分离，也即条件独立 $Y ⊥ X | Z$ 。因此，假定该示例中不存在路径 $X \to Y$ ，则 $X$ 和 $Y$ 是 d 分离的，此时控制 $Z$ 也不会打开任何二者间的路径。

3. 好的控制与坏的控制

这一部分将介绍 18 个结构因果模型并分析其控制的好坏，各分类的名称由作者命名，因此可能不具备一般性。

3.1 好的控制

3.1.1 共同原因情形

当 $Z$ 作为共同原因或者共同原因的派生变量时，控制 $Z$ 可以阻断虚假的因果路径。

模型 1 中 $Z$ 是共同原因，因此必须控制在模型中。而在模型 2 或模型 3 中， $Z$ 并不是传统意义上的混淆因素，但控制 $Z$ 可以切断来自不可观测因素的混淆，此时可以得到无偏的 ACE 估计。

3.1.2 带有中介的共同原因

如果模型中同时存在共同原因和中介关系，那么同样必须阻断后门路径。

以上三个模型中同时包含了中介关系和共同原因，以模型 4 为例，其后门路径为 $X \leftarrow Z \to M \to Y$ 。而在模型 5 和模型 6 中， $Z$ 是共同原因 $U$ 的派生变量，因此同样可以阻断后门路径。

3.2 坏的控制

3.2.1 M 偏误

在模型 7 中，变量 $Z$ 同时与处理变量和结果变量相关，因此其被称为 “预处理” 变量。尽管在传统的计量经济学中认为 $Z$ 是一个好的控制，但实际上可能会打开一条后门路径 $X \leftarrow U_{1} \to Z \leftarrow U_{2} \to Y$ ，这种坏的控制称为 M 偏误。

3.2.2 偏误放大

另一种关于 “预处理” 的控制是加入影响处理变量的因素。在这一情形下，不但无法分离出真实的因果效应，还会放大本身存在的偏误。

3.2.3 阻断正确路径

在因果推断中，一方面我们想要剔除所有可疑的路径，另一方面也要注意不能阻断正确的因果路径。下面两个模型显示了阻断因果路径的坏控制：

在这两个模型中， $Z$ 分别作为中介变量和中介变量的派生变量，因此在模型中加入 $X$ 之后，会完全和部分阻断正确的因果路径，导致不一致的估计。

3.2.4 打开混淆路径

对具有中介变量的模型稍加改动。假设存在不可观测的因素 $U$ 作为 $Z$ 和 $Y$ 的共同原因。此时路径 $X \to Z \leftarrow U \to Y$ 被 $Z$ 这一共同结果阻断，加入 $Z$ 之后反而会打开该路径。

3.2.5 选择偏误

以下两种情况称为选择偏误，其特征是打开了与 $X$ 和 $Y$ 共同相关的因果路径。在左边的模型中，控制 $Z$ 之后出现了混淆路径 $X \to Z \leftarrow U \to Y$ ，右边的模型则由于控制了共同原因而违反了后门准则。

3.2.6 Case-Control 偏误

在最后一个模型中，如果加入 $Y$ 的派生变量也可能导致估计偏误，尽管 $X$ 和 $Z$ 之间并不存在因果路径。

这一结果的原因很难通过因果路径解释，但 $Z$ 本质上是 $Y$ 的一个派生变量，其很有可能是处理的结果，因此加入 $Z$ 同样是一个坏的控制。但当 $X$ 和 $Y$ 之间的路径不存在，或者说二者 d 分离时，加入 $Z$ 可以检验二者的关系是否为 0。

3.3 中性的控制

3.3.1 可能提高精度的情形

在很多情形下，加入某些控制变量是无害的，但也无法提供更多因果信息。例如在以下模型中， $Z$ 并没有混淆因果关系，也没有阻断可疑的因果路径，因此 $Z$ 是一个中性的控制。但加入 $Z$ 之后，因果关系估计的标准误会下降，因此 $Z$ 能够改善 ACE 的估计精度。

3.3.2 可能降低精度的情形

与第一种情形相反，在下面的模型中虽然控制 $Z$ 也不会影响从 $X$ 到 $Y$ 的因果关系，但是此时会放大 ACE 的估计方差，降低估计的精度。可见 $X$ 的父变量会损害估计精度，而 $Y$ 的父变量则会提高估计精度。

要注意的是，该模型与偏误放大情形非常类似，唯一的区别在于该模型中不存在与 $X$ 和 $Y$ 同时相关的不可观测因素。

3.3.3 可能缓解选择偏误的情形

与传统经济学不同，并非所有 “处理后” 变量都是坏的控制。在以下的两个模型中， $Z$ 的加入并未打开混淆路径。

在这两个模型中，加入 $Z$ 都会降低 $X$ 的方差，因而损害估计的精度。但在右边的模型中，控制 $Z$ 可以缓解关于 $W$ 的选择偏误。

4. 结语

本文对结构因果模型进行了简要的介绍，同时列举了诸多好的控制、坏的控制和中性控制的例子。通过后门准则，我们可以在绝大多数情况下分析控制变量的优劣，但对于中性控制与平均因果关系估计精度，以及其他特殊情形，因果图可能无法提供直接的判断，需要结合实际的研究问题和更深入的结构因果方程理论来进行分析。

5. 相关推文

Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh 控制变量, m
安装最新版 lianxh 命令：
ssc install lianxh, replace

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