控制变量!控制变量!Good-Controls-Bad-Controls

发布时间:2022-08-15 阅读 590

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作者:曹昊煜 (兰州大学)
邮箱caohy19@lzu.edu.cn

编者按:本文主要摘译自下文,特此致谢!
Source:Cinelli C, Forney A, Pearl J. A Crash Course in Good and Bad Controls. Sociological Methods & Research. 2022. -PDF- -Link- -R-


目录


1. 导言

在实证研究中「坏的控制」时常出现,当一个变量的加入使得回归结果与预期产生明显差异时,该变量可能是坏的控制。如何避免这一差异已经成为实证研究中的重要挑战。在本文中,我们试图使用图形工具来解决这一问题。

当需要使估计结果更加接近真实参数时,我们必须考虑加入某个变量后对结果的影响。一方面存在一些好的控制,如果不加入模型可能导致遗漏变量问题。另一方面,如果加入坏的控制,则可能导致估计偏误。

尽管在现有的部分教材中提到了遗漏 “相关变量” 问题,但他们并未明确说明何谓 “相关变量”,也没有指出加入某些变量可能导致不一致估计的问题。上述事实可能会使研究者产生一个不好的想法,即尽可能多地加入控制变量总是更好的。

实际上,好的控制是在感兴趣的解释变量确定时已经固定的变量,即不受处理变量影响的因素,而坏的控制会受到处理变量的影响。但这一条件对控制变量是否是好的控制而言既不必要也不充分。尽管如此,我们仍可以借助图形来更好地理解控制变量的好坏。

2. 因果模型与因果图

2.1 结构因果模型与因果图

为了研究回归方程的估计结果与因果效应是否存在差距,首先必须定义因果效应。下面是一个结构因果模型 (Structural Causal Models,SCM) 的例子:

其中,V={Z,X,Y} 为内生变量,U={Ux,Uy,Uz} 为一切外生的因素,通常称之为扰动项。函数 F={fz,fx,fy} 称为结构方程,每一个函数代表了一条因果路径。模型定义了内生变量的联合分布 P(V),称为观测分布。每个结构因果模型都可以使用因果图 (又称有向无环图) 表示,结构因果模型 M 的因果图如下所示:

2.2 干预和因果效应

干预是通过改变 SCM 的机制实现的。例如,我们使用 do(X=x) 代替模型中的机制 Xfx(Z,Ux),即 X 被外生地赋值为 x,则因果图变为:

此时 SCM 中的内生变量服从干预分布 P(V|do(X=x)),平均因果效应为 (Average Causal Effect,ACE):

可见因果效应取决于 x 的取值,在线性模型中,ACE 退化为一个数值。当然,也可以使用同样的思路定义其他的因果效应,比如条件直接效应 (Controlled Direct Effect,CDE)。此时内生变量 Z 也受到控制:

在加入干预机制的结构因果模型 Mx 中,潜在结果 Vx 定义为内生变量的解,也就是说 P(V|do(X=x)) 可以等价地写为 P(Vx)。从而平均因果效应可以写为:

2.3 因果与非因果路径

假定所有函数关系都是线性的,即 ZUzXλzxZ+UzYλxyX+λzyZ+Uy。进一步假定 U 服从多元正态分布。因此 ACE 为:

Y 对 X 回归的系数:

因此直接使用 Y 对 X 回归无法得到真正的因果关系。其原因在于 Z 混杂在二者的因果关系中,或者说存在混杂路径 XZY,有时也称为 “后门路径”,此时 Z 必须控制在回归方程中。

在一般的因果图中,需要理解三种重要的因果关系:

  • 中介 (Chains):中介指的是路径 XZY,即 X 对 Y 的因果影响是通过 Z 实现的。在方程中控制 Z 会阻断这一联系;
  • 共同原因 (Forks):共同原因指的是路径 XZY,即 Z 同时影响 X 和 Y。因此二者间存在非因果路径,在方程中控制 Z 会阻断这一联系;
  • 共同结果 (Coliders):共同结果指的是路径 XZY,这一路径本身是关闭的,但如果我们在方程中控制了 Z,则会打开这一非因果路径。

需要注意的是,控制某一变量的派生变量也视为部分控制了该因素。现在我们可以判断当以 Z 为条件时,路径 p 是否被阻断:

  • 当路径是中介或共同原因时,Z 中会纳入中间节点能够阻断路径 p
  • 当路径是共同结果时,Z 中既不包含中间节点,也不包含其结果,则能够阻断路径 p

2.4 后门准则

因果图揭示了何种 Z 的设定会阻断正确的因果路径,我们需要做的是选择 Z,以保证:

  • 阻断所有虚假的路径;
  • 避免阻断或部分阻断真实的因果路径;
  • 避免打开其他虚假的路径。

以上三点称为后门准则。如果我们能够找到一组变量 Z={Z1,Z2,,zK},那么使用迭代期望率:

2.5 线性与非线性模型

前文的识别结果还没有参数化,其步骤是首先计算出 E[Y|X=x,Z=z],再计算 Z 的无条件均值。如果 E[Y|X=x,Z=z] 是线性的,那么:

其中 Zj 表示 Z 中除了 Zj 以外的变量。因此在线性假定下,ACE 简化为 βyx,z。但如果函数假定是非线性的,则该结果不再成立。

2.6 实质共同结果与 d 分离

考虑以下因果模型:

可以看到共同结果 XYUy,当我们在模型中控制了 Z 时,会部分打开这一路径,此时 Z 就是一个坏的控制。如果 Z 的设定阻断了所有 X 和 Y 之间的路径,则称二者 d 分离,也即条件独立 YX|Z。因此,假定该示例中不存在路径 XY,则 X 和 Y 是 d 分离的,此时控制 Z 也不会打开任何二者间的路径。

3. 好的控制与坏的控制

这一部分将介绍 18 个结构因果模型并分析其控制的好坏,各分类的名称由作者命名,因此可能不具备一般性。

3.1 好的控制

3.1.1 共同原因情形

当 Z 作为共同原因或者共同原因的派生变量时,控制 Z 可以阻断虚假的因果路径。

模型 1 中 Z 是共同原因,因此必须控制在模型中。而在模型 2 或模型 3 中,Z 并不是传统意义上的混淆因素,但控制 Z 可以切断来自不可观测因素的混淆,此时可以得到无偏的 ACE 估计。

3.1.2 带有中介的共同原因

如果模型中同时存在共同原因和中介关系,那么同样必须阻断后门路径。

以上三个模型中同时包含了中介关系和共同原因,以模型 4 为例,其后门路径为 XZMY。而在模型 5 和模型 6 中,Z 是共同原因 U 的派生变量,因此同样可以阻断后门路径。

3.2 坏的控制

3.2.1 M 偏误

在模型 7 中,变量 Z 同时与处理变量和结果变量相关,因此其被称为 “预处理” 变量。尽管在传统的计量经济学中认为 Z 是一个好的控制,但实际上可能会打开一条后门路径 XU1ZU2Y,这种坏的控制称为 M 偏误。

3.2.2 偏误放大

另一种关于 “预处理” 的控制是加入影响处理变量的因素。在这一情形下,不但无法分离出真实的因果效应,还会放大本身存在的偏误。

3.2.3 阻断正确路径

在因果推断中,一方面我们想要剔除所有可疑的路径,另一方面也要注意不能阻断正确的因果路径。下面两个模型显示了阻断因果路径的坏控制:

在这两个模型中,Z 分别作为中介变量和中介变量的派生变量,因此在模型中加入 X 之后,会完全和部分阻断正确的因果路径,导致不一致的估计。

3.2.4 打开混淆路径

对具有中介变量的模型稍加改动。假设存在不可观测的因素 U 作为 Z 和 Y 的共同原因。此时路径 XZUY 被 Z 这一共同结果阻断,加入 Z 之后反而会打开该路径。

3.2.5 选择偏误

以下两种情况称为选择偏误,其特征是打开了与 X 和 Y 共同相关的因果路径。在左边的模型中,控制 Z 之后出现了混淆路径 XZUY,右边的模型则由于控制了共同原因而违反了后门准则。

3.2.6 Case-Control 偏误

在最后一个模型中,如果加入 Y 的派生变量也可能导致估计偏误,尽管 X 和 Z 之间并不存在因果路径。

这一结果的原因很难通过因果路径解释,但 Z 本质上是 Y 的一个派生变量,其很有可能是处理的结果,因此加入 Z 同样是一个坏的控制。但当 X 和 Y 之间的路径不存在,或者说二者 d 分离时,加入 Z 可以检验二者的关系是否为 0。

3.3 中性的控制

3.3.1 可能提高精度的情形

在很多情形下,加入某些控制变量是无害的,但也无法提供更多因果信息。例如在以下模型中,Z 并没有混淆因果关系,也没有阻断可疑的因果路径,因此 Z 是一个中性的控制。但加入 Z 之后,因果关系估计的标准误会下降,因此 Z 能够改善 ACE 的估计精度。

3.3.2 可能降低精度的情形

与第一种情形相反,在下面的模型中虽然控制 Z 也不会影响从 X 到 Y 的因果关系,但是此时会放大 ACE 的估计方差,降低估计的精度。可见 X 的父变量会损害估计精度,而 Y 的父变量则会提高估计精度。

要注意的是,该模型与偏误放大情形非常类似,唯一的区别在于该模型中不存在与 X 和 Y 同时相关的不可观测因素。

3.3.3 可能缓解选择偏误的情形

与传统经济学不同,并非所有 “处理后” 变量都是坏的控制。在以下的两个模型中,Z 的加入并未打开混淆路径。

在这两个模型中,加入 Z 都会降低 X 的方差,因而损害估计的精度。但在右边的模型中,控制 Z 可以缓解关于 W 的选择偏误。

4. 结语

本文对结构因果模型进行了简要的介绍,同时列举了诸多好的控制、坏的控制和中性控制的例子。通过后门准则,我们可以在绝大多数情况下分析控制变量的优劣,但对于中性控制与平均因果关系估计精度,以及其他特殊情形,因果图可能无法提供直接的判断,需要结合实际的研究问题和更深入的结构因果方程理论来进行分析。

5. 相关推文

Note:产生如下推文列表的 Stata 命令为:
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