DID偏误问题：两时期DID的双重稳健估计量(上)-drdid

发布时间：2022-07-25 阅读 2313

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作者：张子楠 (浙江财经大学)
邮箱：zinanzh@gmail.com

编者按：本文主要摘译自下文，特此致谢！
Source：Sant’Anna P H C, Zhao J. Doubly robust difference-in-differences estimators[J]. Journal of Econometrics, 2020, 219(1): 101-122. -PDF-

1. 绪论

1.1 三种 DID 估计方法的比较

对于双重差分模型，最为常见的是通过设定如下交叉项的形式来估计，即通过双重固定效应方式 (two-way fixed effects，TWFE) 来估计，并用估计量 $τ^{f e}$ 来解释 ATT (下文里将 $τ^{f e}$ 称为 TWFE 估计量)。

Y_{i t} = α_{1} + α_{2} T_{i} + α_{3} D_{i} + τ^{f e} (T_{t} \cdot D_{i}) + θ^{'} X_{i} + ε_{i t}

然而要用 TWFE 估计量来推断处理效应，需要满足五个假设，分别为：

条件独立性假设 (CIA)：即对所有个体，都有 ${Y_{i 0}, Y_{i 1}, D_{i}, X_{i}}$ 满足独立同分布；
(条件) 平行趋势假设 (PTA)：即当控制了协变量后，如果没有政策冲击，处理组与控制组的结果变动将相同；
共同支撑区间假设：控制组和对照组被实验处理的概率较相近；
处理效应同质假设：政策处理效应在不同时期是相同的。 $E [Y_{1} (1) - Y_{1} (0) ∣ X, D = 1] = τ^{f e}$ ；
控制变量稳定性假设：对于控制组和对照组，均有 $E [Y_{1} - Y_{0} ∣ X] = E [Y_{1} - Y_{0}]$ 。

对于第四和第五个假设，Sant 和 Zhao (2020) 强调其并不是双重差分估计所必须的。在只满足前三个假设时，仍旧有两种估计思路可以使用：一种是结果回归法 (Outcome Regression，以下简称 OR)，另一种是基于逆倾向得分概率加权法 (Inverse Propesnity Weight Regression，以下简称 IPW)。

结果回归法 (OR 法) 来源于 Heckman 等 (1997、1998)，是指根据结果变量 (被解释变量) 构建回归模型，其估计结果无偏性依赖于研究者对结果变量变异原因理解的准确程度。优点在于如果对模型结构有很好掌握的话，识别会较为准确。但问题在于如果不满足，则识别结果准确性则将会大为降低。

逆倾向得分概率加权法 (IPW 法) 来源于 Abadie (2005)，是指通过根据倾向得分倒数来构建权重，再进行加权 OLS 回归，以实现类似组间随机分配的处理效果。IPW 方法的优点在于避免了直接对回归模型进行设定，一旦实现了近似随机分配的效果，就可以通过组间差分来获得政策效应估计量。但其缺点在于估计结果依赖于倾向得分计算的准确性。

对于面板数据，OR 法和 IPW 法两种回归方法估计量的表达式分别为：

{\hat{τ}}^{reg} = {\bar{Y}}_{1, 1} - [{\bar{Y}}_{1, 0} + n_{treat}^{- 1} \sum_{i ∣ D_{i} = 1} ({\hat{μ}}_{0, 1} (X_{i}) - {\hat{μ}}_{0, 0} (X_{i}))]

{\hat{τ}}^{i p w, p} = \frac{1}{E_{n} [D]} E_{n} [\frac{D - \hat{π} (X)}{1 - \hat{π} (X)} (Y_{1} - Y_{0})]

其中， $τ^{reg}$ 为 OR 估计量， $τ^{i p w, p}$ 为 IPW 估计量，具体含义见 Sant 和 Zhao (2020) 方程 (2.2) 和 (2.4)。

1.2 双重稳健估计的原理和优势

从上文有关 OR 和 IPW 估计方法的介绍可以发现，两种估计方法准确性所依赖的前提并不重合，这就为同时综合使用两种估计方法来提高估计结果的稳健性提供了可能。Sant 和 Zhao (2020) 正是基于这样的思路，构建了双重稳健估计量 $τ^{dr,p}$ 。

Sant 和 Zhao (2020) 认为，只需 OR 和 IPW 两种方法所依赖的前提有一个及以上能够满足， $τ^{dr,p}$ 的估计结果就是一致的 (具体细节见文章定理 1 的证明)。此外，作者还分析了 $τ^{dr,p}$ 的有效性 (efficiency)，具体内容见文章性质 1。

注：在 Sant 和 Zhao (2020) 文章里，作者分析了面板数据和混合截面数据两种数据结构的估计。本篇推文只介绍了面板数据部分。对混合截面数据相关内容感兴趣的读者可以阅读 Sant 和 Zhao (2020)。

为了展示使用双重稳健估计量的优势，作者在文章第四节通过蒙特卡洛模拟方法比较了不同方法下估计量的差异，接下来我们先简单介绍下这部分的结果，以帮助理解双重稳健估计量的优势。在这一部分，Sant 和 Zhao (2020) 一共构建了六个估计量来比较，包括：TWFE 估计量 $τ^{f e}$ 、OR 估计量 $τ^{reg}$ 、IPW 估计量 $τ^{i p w, p}$ 、双重稳健估计量 $τ^{dr,p}$ 。

此外，考虑当倾向指数接近于 0 或者 1 时，IPW 估计量会变得不稳健，作者采用 Hájek (1971) 方法，构建了标准化 IPW 估计量 $τ_{s t d}^{i p w, p}$ 。最后，作者还构建了一个增进型双重稳健估计量 $τ_{i m p}^{d r, p}$ ，以在减少偏误同时，兼顾估计有效性。后两个估计量的具体表达形式见文章方程 (4.1) 和方程 (3.7)。

综上所述，我们一共有六个估计量可以比较：TWFE 估计量 $τ^{f e}$ 、OR 估计量 $τ^{reg}$ 、IPW 估计量 $τ^{i p w, p}$ 、标准化 IPW 估计量 $τ_{s t d}^{i p w, p}$ 、双重稳健估计量 $τ^{dr,p}$ 、增进型双重稳健估计量 $τ_{i m p}^{d r, p}$ 。

接下来我们简单介绍一下蒙特卡洛模拟特征和结果。作者给出了四种不同数据生成过程 (DGP)，分别模拟 OR 和 IPW 估计结果都准确 (DGP1)、只有 OR 估计结果准确 (DGP2)、只有 IPW 估计结果准确 (DGP3)，以及 OR 和 IPW 估计结果都不准确 (DGP4) 这四种场景。四种数据模拟中，模拟次数都为 10000 次，真实估计系数值均为 0。

模拟结果见下表所示，其中左上部分表示 DGP1 结果，右上表示 DGP2 结果，左下表示 DGP3 结果，右下表示 DGP4 结果。表格的列标题分别表示估计值与实际值的均值偏离 (Av. Bias)、估计值与实际值的中位数偏离 (Med. Bias)、均方根误差 (RMSE)、渐进方差均值 (Asy. V)、95% 置信区间能盖真实值的概率 (Cover )，以及置信区间的长度 (CIL)。行标题分别为六个估计量。

观察上表，可有以下五个结论：

TWFE 估计量的无偏性和有效性是六个估计量中最弱的。四个 DGP 场景下，TWFE 估计量的 Av. Bias 都是六个估计量中最大的，且 Cover 值基本为 0，说明几乎没有估计出过真实值。因而 TWFE 估计量的一致性是五个估计量中最弱的。此外，TWFE 估计量的置信区间也是最宽的，说明其标准误最大，估计的有效性也是最弱的；
当倾向得分计算不准确时，即 IPW 方法前提不满足时，IPW 估计效力较弱。这体现在 DGP2 场景中 IPW 估计系数偏误较大，同时置信区间也宽；
当对回归模型具体形式理解存在偏误时，即结果回归法前提不满足时，OR 估计量较弱，这体现在 DGP3 场景，OR 估计 $τ^{reg}$ 的系数偏误较大、置信区间也宽；
四个 DGP 场景下，Sant 和 Zhao (2020) 构建双重稳健估计量 $τ^{dr,p}$ 和 $τ_{i m p}^{d r, p}$ 的统计性质都很好，表现为：Av. Bias 低、cover 真实值的概率大、置信区间窄等。同时 $τ_{i m p}^{d r, p}$ 的置信区间又比 $τ^{dr,p}$ 窄，说明 $τ_{i m p}^{d r, p}$ 变量提高了估计有效性；
当倾向得分计算不准确，并且对回归模型具体形式理解也存在偏误时，即 IPW 和 OR 回归方法的前提都不满足时，如 DGP4 场景所示，六个估计量的一致性和有效性都较弱。这时，双重稳健估计量 $τ^{dr,p}$ 和 $τ_{i m p}^{d r, p}$ 也没有更好的表现。

总结如下：从结论 1 可知，TWFE 估计量效力最弱；从结论2、3 和 4 可知，相对于 FE、OR 和 IPW 这三个估计量，双重稳健估计量的估计结果确实有更好的一致性。从结论 5 可知，如果 OR 和 IPW 两个回归方法的前提都不能满足，综合使用两个方法而构建的双重稳健估计量也没有更好的统计性状。

2. drdid 命令介绍

在本部分，我们将介绍如何使用 Sant 和 Zhao (2020) 提供的双重稳健估计量命令 drdid。需要说明的是，命令只适用于两时期 DID 场景，且面板数据回归时要求不能有缺失值。当这两个约束不满足时，可选择使用 Callaway 和 Sant (2021) 提供的命令 csdid 来识别。

* 命令安装
ssc install drdid, all replace

* 命令语法
drdid depvar [indepvars] [if] [in] [{weights}], [ivar(varname)] time (varname) treatment(varname) [options]

其中，

depvar 为被解释变量，indepvars 为解释变量和控制变量；
ivar(varname)、time (varname) 和 treatment(varname) 为 DID 设置选项。其中 ivar(varname) 设置个体标识变量，time (varname) 设置时期标识变量，treatment(varname) 为 DID 标识变量，比如 0 为控制组，1 为处理组，更灵活的设置方式可进一步翻看帮助文档；

[options] 可以设置两大类选项：

第一类不同估计方法。对于面板数据，可选的有：增进的双重稳健估计 (drimp)，这也是默认选项。此外，还有基于标准化 ipw 的双重稳健估计 (dripw)、Outcome regression 估计 (reg)、标准化 ipw 估计 (stdipw)、ipw 估计 (ipw)、调整的 ipw 估计 (ipwra)。如果要一次性输出上述所有估计量，则可以设定选项为 all；
第二类是标准误选择。默认是 robust and asymptotic standard errors。同时也可以选择 wboot，cluster 等。

3. drdid 命令示例

本文以 LaLonde (1986) 提供的数据 lalonde.dta 来展示 drdid 命令的用法。LaLonde (1986) 研究的内容是美国 1978 年就业培训计划政策是否会增加培训者的收入。数据来自两个部分，其中一部分来自 LaLonde (1986) 的实验数据，在数据集里用 experimental=1 标识，另一部分来自 CPS 项目的非实验数据，用 experimental=0 标识。

对于 experimental=1 的数据，又可以分为两类，一类是实验的处理组 (treated=1)，一个是实验对照组 (treated=0)。数据里主要变量包括：年龄 (age)、受教育年限 (educ)、是黑人 = 1 (black)、已婚 = 1 (married)、没有大学学位 = 1 (nodegree)、1974 年收入 (re74)、是西班牙人 = 1 (hisp)。

此外，个体标识为 id，时间标识为 year，同时以 experimental 为政策冲击个体指示变量，以 year 为政策前后指示变量 (注：这里的 year 取值只有 1975 和 1978 两年)。

接下来，Sant 和 Zhao (2020) 从 lalonde.dta 挑选一部分，巧妙构造一个不存在处理效应的样本。具体而言，作者选择实验数据中的对照组，以及非实验数据构建成的面板数据 (如下图红框所示)。由示意图可知，对于这样策略构建的数据，所有个体都实际上并未受到政策冲击。因而如果估计结果显著为正，则说明存在向上偏误，估计结果显著为负，则存在向下偏误。

drdid 回归命令和结果如下所示，其中 all 表示一次性输出多个估计量，包括双重稳健估计量、OR 估计量和 IPW 估计量等。

. use "https://friosavila.github.io/playingwithstata/drdid/lalonde.dta", clear
. * 输出双重稳健估计量、OR 估计量和 IPW 估计量
. drdid re age educ black married nodegree hisp re74 if treated==0 | sample==2, ///
>     ivar(id) time(year) tr(experimental) all

Doubly robust difference-in-differences estimator summary
------------------------------------------------------------------------------
             | Coefficient  Std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
ATET         |
       dripw |   -871.327    396.021    -2.20   0.028    -1647.514     -95.140
       drimp |   -901.270    393.613    -2.29   0.022    -1672.737    -129.804
         reg |  -1300.645    349.826    -3.72   0.000    -1986.291    -614.998
         ipw |  -1107.872    408.613    -2.71   0.007    -1908.738    -307.006
      stdipw |  -1021.609    397.520    -2.57   0.010    -1800.734    -242.484
      sipwra |   -908.291    393.867    -2.31   0.021    -1680.257    -136.326
------------------------------------------------------------------------------
Note: This table is provided for comparison across estimations only. 
	  You cannot use it to compare estimates across different estimators
dripw :Doubly Robust IPW
drimp :Doubly Robust Improved estimator
reg   :Outcome regression or Regression augmented estimator
ipw   :Abadie(2005) IPW estimator
stdipw:Standardized IPW estimator
sipwra:IPW and Regression adjustment estimator.

由于 drdid 命令没有给出 TWFE 估计量 $τ^{fe}$ ，我们补充如下：

. * 生成 did 变量
. gen didfe=0
. replace didfe=1 if year==1978 & experimental==1

. * TWFE 回归
. xtset id year
. xtreg re didfe age educ black married nodegree hisp re74 i.year if treated==0 | sample==2, fe r

------------------------------------------------------------------------------
             |               Robust
          re | Coefficient  std. err.      t    P>|t|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
       didfe |    867.509    330.006     2.63   0.009      220.661    1514.357
------------------------------------------------------------------------------

上述回归结果，也可以在 Sant 和 Zhao (2020) 的表 3 中看到 (如下图中红色高亮所示)。比较可知，TWFE 估计量向上偏误为 868。双重稳健和增进型双重稳健估计量分别向下偏误 871 和 901。在这一组六个回归结果中，双重稳健估计量和 TWFE 估计量均显示了较小的估计偏误和较小的标准误。

然而，本例子中 TWFE 估计量的良好性状是一种偶然。从 Sant 和 Zhao (2020) 在表 3 中其它回归结果来看 (如下所示)，对于使用 DW 样本和 Early RA 样的数据，TWFE 估计量 $τ^{fe}$ 的偏误和标准误都大于双重稳健估计量 $τ^{dr,p}$ 和 $τ_{i m p}^{d r, p}$ ，说明其在统计性状上不如双重稳健估计量。

4. 总结

对于双重差分估计，一般有三种估计思路：OR 估计、IPW 估计和 TWFE 估计。OR 估计和 IPW 估计思路则只需要条件独立性假设、平行趋势假设和共同支撑域这三个假设。TWFE 估计思路是最为常见的方式，但其额外增加了处理效应跨时期同质性、控制变量无关性这两个假设。而这两个假设，尤其是跨时期同质性假设，在实践应用中往往难以满足。这就为进一步挖掘 OR 估计和 IPW 估计的优点提供了研究价值。

进一步，OR 方法的估计量好坏依赖于对被解释变量变异原因理解的准确性，IPW 方法都估计量好坏则依赖于于倾向得分指数计算的准确性。在观察到 OR 方法和 IPW 方法估计无偏性所依赖前提并不相同这一特征的基础上，Sant 和 Zhao (2020) 综合使用 OR 和 IPW 方法，构建了双重稳健估计量。

对于双重稳健估计量，Sant 和 Zhao (2020) 证明了只要上述两个方法前提能够至少有一个满足，就可以获得更为一致和有效的估计量。也就是说，双重稳健估计可以显著提高估计结果的无偏性。

最后，还需要再度强调以下两点。第一、使用双重稳健命令 drdid 对面板数据进行估计时，控制变量必须是不随时间变化的变量。否则只能当做是混合截面来处理，或者用作者提供的另外一个命令 csdid 来处理；第二、双重稳健命令 drdid 只是适用于两期 DID 问题，对于多期 DID 问题，则同样需要使用 csdid 命令。

5. 相关推文

Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh did, m
安装最新版 lianxh 命令：
ssc install lianxh, replace

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DID偏误问题：两时期DID的双重稳健估计量(上)-drdid

1. 绪论

1.1 三种 DID 估计方法的比较

1.2 双重稳健估计的原理和优势

2. drdid 命令介绍

3. drdid 命令示例

4. 总结

5. 相关推文

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