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这篇文章展示了如何创建动画图形,以展示空间自回归(SAR)模型生成的空间溢出效应。阅读本文后,您可以创建如下的动态图形。
后文包括三个部分:首先,介绍如何估计 SAR 模型的参数;其次,解释 SAR 模型为什么可以产生空间溢出效应;最后,展示如何创建一个动态图形来说明空间溢出效应。
我想分析一下德克萨斯州各县的凶杀率与失业率的关系。我猜想一个县的凶杀率会对邻近县的凶杀率造成影响。
我想回答两个问题:
首先,考虑标准线性模型,即某一个县
SAR 模型构建了某一个县
有了这个符号,构建某一个县
其中,
将每个县
我们所使用的空间加权矩阵具有特殊的结构;每个元素要么是值
在 Stata 中,我们使用 spmatrix
命令来创建空间加权矩阵,并使用 spregress
命令来拟合截面 SAR 模型。
首先,我从 Stata 网站下载美国各县谋杀率的数据集,并创建一个仅保留德克萨斯州各县数据的子样本。
. /* Get data for Texas counties' homicide rate */
. copy http://www.stata-press.com/data/r15/homicide1990.dta ., replace
. use homicide1990
(S.Messner et al.(2000), U.S southern county homicide rates in 1990)
. keep if sname == "Texas"
(1,158 observations deleted)
. save texas, replace
file texas.dta saved
直观地,指定所有地域的地图边界的文件被称为shape文件。我们需要从 Stata 网站下载与数据集texas.dta 相匹配的shape数据集 homicide1990_shp.dta
,这个数据集记载了德克萨斯州所有县的地图边界信息。然后,我们使用spset
命令,将数据集 texas.dta 与 shape 数据集 homicide1990_shp.dta 相关联,即将其设定为空间数据。
. /* Get data for Texas counties' homicide rate */
. copy http://www.stata-press.com/data/r15/homicide1990_shp.dta, replace
. spset
Sp dataset texas.dta
data: cross sectional
spatial-unit id: _ID
coordinates: _CX, _CY (planar)
linked shapefile: homicide1990_shp.dta
然后使用 spmatrix
命令创建一个标准化的空间权重矩阵。
. /* Create a spatial contiguity matrix */
. spmatrix create contiguity W
根据上述数据和空间权重矩阵,可以估计模型参数。
. /* Estimate SAR model parameters */
. spregress hrate unemployment, dvarlag(W) gs2sls
(254 observations)
(254 observations (places) used)
(weighting matrix defines 254 places)
Spatial autoregressive model Number of obs = 254
GS2SLS estimates Wald chi2(2) = 14.23
Prob > chi2 = 0.0008
Pseudo R2 = 0.0424
------------------------------------------------------------------------------
hrate | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
hrate |
unemployment | .4584241 .152503 3.01 0.003 .1595237 .7573245
_cons | 2.720913 1.653105 1.65 0.100 -.5191143 5.960939
-------------+----------------------------------------------------------------
W |
hrate | .3414964 .1914865 1.78 0.075 -.0338103 .7168031
------------------------------------------------------------------------------
Wald test of spatial terms: chi2(1) = 3.18 Prob > chi2 = 0.0745
现在我们准备解决第二个问题,利用上文提到的 spregress
命令估计的结果计算空间溢出效应,具体可以分三步进行:
. preserve /* save data temporarily */
. /* Step 1: predict homicide rate using original data */
. predict y0
(option rform assumed; reduced-form mean)
. /* Step 2: change Dallas unemployment rate to 10%, and predict again*/
. replace unemployment = 10 if cname == "Dallas"
(1 real change made)
. predict y1
(option rform assumed; reduced-form mean)
. /* Step 3: Compute the prediction difference and map it*/
. generate double y_diff = y1 - y0
. grmap y_diff, title("Global spillover")
. restore /* return to original data */
上面的图表显示,达拉斯失业率的变化,不仅影响了达拉斯本地区的谋杀率,也影响了与达拉斯相邻的地区的谋杀率。也就是说,达拉斯的变化波及到附近的县,这种影响被称为溢出效应。
在本节中,我将说明为什么SAR模型会产生溢出效应。在此过程中,我提供了一个用于创建动画图形的效果公式。 SAR 模型的矩阵形式是
求解
给定
注意,由于
我们使用这个等式来定义,当
其中,
接下来,我们以 SAR 模型为基础,构造用于产生动图的表达式。 SAR 模型之所以被广泛使用,正是因为它们满足稳定条件。 这种稳定条件表明逆矩阵
将公式 (2) 代入公式 (1),得到
这即为生成动态图形效果的表达式。
公式 (3) 中的每一项都很直观,这在我们所展示的案例中很容易解释:
我现在描述如何生成动态图。 每个图使用公式 (3) 中每一项子集绘制变化图。 第一个图仅显示第一个项计算的变化。 第二个图仅显示从第一项到第二项计算的变化。 第三个图仅显示从第一项到第三项计算的变化,以此类推。
代码的前四个步骤执行以下操作。
步骤 5 到 20 执行类似的操作。最后,结合步骤 1 到步骤 20 中的图形,创建一个动态图形。 下面的代码展示了此过程:
1 /* get estimate of spatial lag parameter lambda */
2 local lambda = _b[W:hrate]
3
4 /* xb based on original data */
5 predict xb0, xb
6
7 /* xb based on modified data */
8 replace unemployment = 10 if cname == "Dallas"
9 predict xb1, xb
10
11 /* compute the outcome change in the first step */
12 generate dy = xb1 - xb0
13 format dy %9.2f
14
15 /* Initialize Wy, lamWy, */
16 generate Wy = dy
17 generate lamWy = dy
18
19 /* map the outcome change in step 1 */
20 grmap dy
21 graph export dy_0.png, replace
22 local input dy_0.png
23
24 /* compute the outcome change from step 2 to 11 */
25 forvalues p=1/20 {
26 spgenerate tmp = W*Wy
27 replace lamWy = `lambda'^`p'*tmp
28 replace Wy = tmp
29 replace dy = dy + lamWy
30 grmap dy
31 graph export dy_`p'.png, replace
32 local input `input' dy_`p'.png
33 drop tmp
34 }
35
36 /* convert graphs into a animated graph */
37 shell convert -delay 150 -loop 0 `input' glsp.gif
38
39 /* delete the generated pgn file */
40 shell rm -fR *.png
此代码使用由 spregress
命令估计过程中所产生的 ereturn 类的返回值及其相应的 predict命令。
spgenerate
命令计算 下面是由此代码创建的动态图形。
在这篇文章中,利用德克萨斯州案例,我讨论 SAR 模型如何解释溢出效应。我还介绍了如何将溢出效应计算为累加和,并利用累积的总和创建了一个动态图形,说明了这些溢出效应是如何在德克萨斯州的各个县蔓延的。
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