追本溯源，U型关系你用对了么？

发布时间：2020-09-03 阅读 10269

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作者：展一帆 (复旦大学)
E-Mail : simonzhanyf@163.com

编者按：这篇推文节选自如下论文，更多详情可以阅读原文。

Source: Haans, R.F.J., Pieters, C. and He, Z.‐L. (2016), Thinking about U: Theorizing and testing U‐ and inverted U‐shaped relationships in strategy research. Strategic Management Journal, 37: 1177-1195. -Link-

1. 问题背景

在经济学和管理学领域，非线性关系愈发成为学者们关注的热点，其中之一便是有关 U 型关系 的研究 (U- and inverted U-shaped relationships)。然而，看似简单的 U 型关系背后却有非常多的细节与思考。Richard et al. (2015) 回顾了 1980-2012 年在《Strategic Management Journal》(后文简称为 SMJ ) 上发表的涉及 U 型关系的 110 篇文章，发现已有文献中绝大多数存在各式各样理论机制解释 (theorizing) 和实证检验测试 (testing) 的问题。

那么正确的方式究竟是怎样的？本篇推文就循着 Richard et al. (2015) 的思路，和大家一起追本溯源，一探究竟吧。

2. 蛛丝马迹：挖掘 “U 型” 背后的理论

在上述 110 篇 SMJ 的文献研究中，有相当一部分文献（约 36% ）缺乏针对 U 型关系理论基础的深入探讨，例如仅停留于“过犹不及”（“too much of a good thing can be harmful”、“anything carried to the extreme can be harmful”）或者“夹在中间进退两难”（“stuck in the middle”）来解释他们观察到的倒 U 型或 U 型关系。然而这样的解释过于表面，并未深入挖掘其内在的微观机制（“burrow deeply into microprocesses”），而这对于理论的发掘和进一步调节效应的研究都是不利的。

我们以 $X$ 与 $Y$ 之间反 U 型关系为例，其典型的微观机制是由两个潜函数 (latent functions) 以叠加或者相乘的方式合力构成的。例如 Table 1 所示的三种主要情形：

第一种情形 比如战略管理研究中公司的业绩表现与产品开发速率的关系 (Jones,2003)，一方面收益(benefits)随着自变量线性增加，另一方面成本 (例如规模不经济、不断地品牌替换等)随自变量加速提高，导致两者之差的业绩与自变量呈现出倒 U 型关系。
第二种情形 比如 Chang and Park (2005) 研究企业在一定区域内的集聚 (agglomeration) 和企业进入概率的关系。一方面集聚可以提高合法性 (legitimacy) 和知识溢出效应 (knowledge spillover)，但收益是边际递减的；另一方面随着集聚程度的上升，竞争激烈程度却加速上升。两个潜函数的合力导致了倒 U 型关系。
第三种情形 如 Ang (2008) 研究竞争激烈程度与合作的关系，其机制是由一个正向线性的激励函数和一个负向线性的机会函数相乘导致的。对于面临相对较弱竞争强度的企业，其往往具备某种独特资源，有利于他们寻找合作机会，但他们此时合作的激励很弱，更期望维持现状，保持低竞争强度。反之，面临激烈竞争的企业更有动力去寻找合作对象，但却往往缺乏机会。两个潜函数的相乘即得到反 U 型函数关系。

因而，Richard et al. (2015) 指出深入挖掘和阐述 U 型关系背后的机制非常重要，一则是可以从理论层面加深对问题的认知，二则是为后续研究调节变量 $Z$ 如何影响该 U 型提供了理论前提。

3. 去伪存真：检验 “U 型” 的千层套路

在研究 U 型关系时，研究者通常采用如下模型，并重点关注 $β_{2}$ 是否显著：

Y = β_{0} + β_{1} X + β_{2} X^{2} + u

然而，单独一个显著的 $β_{2}$ 就足够支持 U 型关系的存在和稳健么？答案是否定的，Lind and Mehlum (2010) 提供了一个三步程序：

第一步，确保 $β_{2}$ 显著且方向和理论预期一致；
第二步，在自变量取值最小处和最大处， $Y$ 与 $X$ 关系的斜率必须足够陡峭，否则， $Y$ 与 $X$ 的真实关系可能只是 U 型的其中一半，甚至仅是对数或指数函数关系；
第三步，转折点 $- β_{1} / 2 β_{2}$ 的 95% 置信区间应该需要位于自变量取值范围以内。

在 110 篇 SMJ 文献样本中，仅有一篇文章 Fernhaberand Patel (2012) 严格遵守了上述程序，有 64% 的文章未汇报转折点信息，有 25% 的文章的转折点位置非常逼近数据取值范围的边界，意味着其可能并非是真正的完整 U 型关系。

除了 Lind and Mehlum (2010)提出的程序以外，我们还有一些稳健性检验方法可以用于验证 U 型关系，例如：

M1： 把其他变量的取值设定在均值 (或中位数) 上，绘制 $Y$ 和 $X$ 的关系图，有 42% 的样本 SMJ 文献采用了该方法，有绘制该图的文献出现转折点逼近取值边界问题的比例明显更小。
M2： 考虑加入 $X^{3}$ 等高阶项，检验究竟是 U 型关系还是 S 型关系。
M3： 以转折点左右分割样本，分段进行线性拟合，检验斜率是否与 U 型曲线所预测的相近。
M4： 非参数拟合后再进行 U 型拟合等等。

总而言之，建立 U 型关系不能仅看 $β_{2}$ 的显著性水平，还有多方面考虑和检验，才能确保 U 型关系的稳健可靠。

4. 曲径通幽：求索“U 型”的因果推断

即便通过了 Lind and Mehlum (2010)的程序以及上文所述的其他稳健性检验，也仍不能确定 $X$ 对 $Y$ 的 U 型关系是因果效应。

例如，Shaver (1998) 中举了一个例子， $X$ 是某种公司战略， $Y$ 是公司某种业绩表现，则可能存在反向因果问题， $Y$ 的增加会反向导致 $X$ 减小（业绩表现提升后，该战略实施的强度就不需要那么大了），同样会产生一个反 U 型关系。但此时 $Y$ 与 $X$ 的 U 型关系是否具备因果性明显是存疑的。

那么如何解决内生性问题？我们依然可以使用基本的 IV 估计，但此时有一个重大陷阱，即“禁忌回归”，“forbidden regression”（Angrist and Pischke, 2009; Wooldridge, 2002）：在 IV 的第二阶段回归中， $X^{2}$ 不可以使用 $\hat{X}$ （一阶段拟合值）的平方来代替，因为平方项的线性投影并不是的线性投影的平方。正确的流程是同时使用工具变量 $M$ 和 $M^{2}$ ，对 $X$ 和 $X^{2}$ 分别进行一阶段估计。

5. 柳暗花明：理解“U 型”的调节效应

当另一个变量 $Z$ 可以影响 $X$ 与 $Y$ 的 U 型关系时，即为调节效应。在 110 篇 SMJ 发表的样本文献中，有 27% 的文献涉及到了调节效应。

但是想要真正的理解调节效应，讲好背后的故事，我们还需要回到第二小节提到的潜函数 (latent functions)框架下。

总体上，对 U 型的调节效应可以分为两类，第一类是将 U 型曲线的转折点（turning point）左右移动，第二类则是使得曲线更加陡峭（或者平坦）。这两类调节效应背后的根源依然是潜函数的变动。

举一个例子转折点移动的例子，见 Table2 的第一行，即两个潜函数相减的情形（线性收益曲线减去凸的成本曲线）。假如只有线性收益曲线受到了调节标量 $Z$ 的影响，变成了：

A = a_{0} + (a_{1} + Z) X

而成本曲线保持不变：

B = b_{0} + b_{1} X + b_{2} X^{2}

那么两者合成的 U 型曲线则变为：

Y = A - B = (a_{0} - b_{0}) + (a_{1} - b_{1} + Z) X - b_{2} X^{2}

通过求极值我们可以得到转折点的位置为：

X^{*} = \frac{a_{1} - b_{1} + Z}{2 b_{2}}

很明显看出， $Z$ 的调节效应使得转折点位置发生了左右移动，但 U 型曲线的形状并未发生改变。

同理也很容易理解调节效应如何影响 U 型曲线的形状，例如当 $Z$ 只影响成本曲线的凸度而不影响线性收益曲线时，两者合成后的 U 型曲线形状即会发生改变，见 Table2 的第二行所示。

其余种类的影响还包括但不限于 Table2 所示的后两行，有兴趣的读者可以通过阅读 Richard et al. (2015) 进一步深入学习。

6. 按部就班：建立“U 型”的研究“备忘录”

除去上文提到的内容以外，Richard et al. (2015) 还详细阐述了 U 型关系因果识别、调节效应理论构建与检验等方面的思考与建议。受限于篇幅，本文简单列举作者提供的“备忘录”，供各位研究 U 型关系时自查所用：

Table 3. 理论化（theorizing）与检验（testing）U 型关系的备忘录
Source: Richard et al. (2015)

Theory:

潜在的因果机制（latent causal mechanisms）是否清晰地阐述挖掘?
潜函数是通过怎样的方式合成一个 U 型关系的？(例如相加还是相乘？)
推论建立在哪一种思想实验上？(within- or between-theorization?)
发现的是全部曲线还是仅仅一半，甚至更少？

Specification and testing:

识别中是否同时加入了 $X$ 和 $X^{2}$
理论和识别的函数是否匹配？
以下三个条件是否都满足了？
- $β_{2}$ 显著且方向和理论预期一致
- 在自变量取值最小处和最大处， $Y$ 与 $X$ 关系的斜率必须足够陡峭。
- 转折点 $- β_{1} / 2 β_{2}$ 的 95% 置信区间应该需要位于自变量取值范围以内。
半参数或非参数估计是否也同样给出一个 U 型的关系？
其他替代性识别是否能被排除？例如对数函数关系、指数函数关系、三次函数关系等。
主要的结论是否对离群值或截尾操作(winsor)很敏感？
是否很好的识别了因果型？是否避免了"forbidden regression"

Reporting:

是否汇报了转折点？
是否在 $X$ 取值范围内绘制了 $Y$ 与 $X$ 关系的图像？
是否汇报了所有变量包括 $X^{2}$ 的描述性统计？

7. 参考文献

Richard, F, J, et al. Thinking about U: Theorizing and testing U- and inverted U-shaped relationships in strategy research[J]. Strategic Management Journal, 2015. -Link-
Jones N. 2003. Competing after radical technological change: the significance of product line management strategy. Strategic Management Journal 24(13): 1265–1287.
Chang SJ, Park S. 2005. Types of firms generating network externalities and MNCs’ co-location decisions. Strategic Management Journal 26(7): 595–615.
Ang SH. 2008. Competitive intensity and collaboration: impact on firm growth across technological environments. Strategic Management Journal 29(10): 1057–1075.
Lind JT, Mehlum H. 2010. With or without U? The appropriate test for a U-shaped relationship. Oxford Bulletin of Economics and Statistics 72(1): 109–118.
Shaver JM. 1998. Accounting for endogeneity when assessing strategy performance: does entry mode choice affect FDI survival? Management Science 44(4): 571–585.
Wooldridge JM. 2002. Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data. The MIT Press: Cambridge, MA.
Angrist JD, Pischke JS. 2009. Mostly Harmless Econometrics: An Empiricist’s Companion. Princeton University Press: Princeton, NJ.

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