Stata：史上最全t-test检验-tost

发布时间：2022-08-19 阅读 3587

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编译：姜昊 (华东师范大学)
邮箱：HaoJiang0204@outlook.com

1. 理论介绍

tost 软件包提供了一套命令，包括 ttest、ttesti、prtest、presti、mcc、mcci、regress、signrank、ranksum 等。这些命令主要用于差异检验对应的两个单侧等值检验，从而解决一些配对和非配对、参数和非参数研究中的等值推断问题。

上述命令都将检验一个原假设，同时样本是从加减一些容忍度的不同总体中抽取。容忍度不仅可以用数据单位或等级单位 ( $d e l t a$ ) 来定义，也可以 (除 tostrrp 和 tostrrpi 命令外) 用测试统计的分布单位 ( $e p s i l o n$ ) 来定义。上述检验都是等值性检验，均或多或少的借鉴 Schuirmann (1987) 制定的 $t$ 或 $z$ 检验。

tost 软件包提供的所有命令都是基于 $W a l d$ 类型的检验，即样本统计数据的差异除以该差异的标准差： $t h e t a / sd (t h e t a)$ 。其中， $t h e t a$ 代表统计差异， $sd (t h e t a)$ 代表差异的标准差。等值性检验的一般检验采用以下两种形式之一，这取决于等值性差异的定义方法，即是用 $d e l t a$ 定义，还是 $e p s i l o n$ 定义的。

第一种，用 $d e l t a$ 定义：

Ho： $| t h e t a | \geq d e l t a$

将绝对值符号打开，可以转化为下面两个单侧原假设：

Ho1： $d e l t a - t h e t a \leq 0$
Ho2： $d e l t a + t h e t a \leq 0$

当区间并非对称时，原假设变为：

Ho： $t h e t a \leq d e l t a_l o w e r$ ，或者 $t h e t a \geq d e l t a_u p p e r$

将上式转化为下面两个单侧原假设：

Ho1： $d e l t a_u p p e r - t h e t a \leq 0$
Ho2： $t h e t a - d e l t a_l o w e r \leq 0$

第二种，用 $e p s i l o n$ 定义：

Ho： $| Z | \geq e p s i l o n$

将绝对值符号打开，可以转化为下面两个单侧原假设：

Ho1： $e p s i l o n - Z \leq 0$
Ho2： $e p s i l o n + Z \leq 0$

当区间并非对称时，原假设变为：

Ho： $Z \leq e p s i l o n_l o w e r$ ，或者 $Z \geq e p s i l o n_u p p e r$

将上式转化为下面两个单侧原假设：

Ho1： $e p s i l o n_u p p e r - Z \leq 0$
Ho2： $Z - e p s i l o n_l o w e r \leq 0$

2. 命令介绍

2.1 命令安装

* 命令安装
net install tost.pkg, replace

tost 包含的命令如下：

tostt：均值等价 $t$ 检验；
tostpr：比例等价 $z$ 检验；
tostsignrank：检验配对或匹配数据的分布是否等同于一个以零为中心的对称分布；
tostranksum：随机等价的双样本秩和检验；
tostmcc：二元数据中随机等价的配对 $z$ 检验；
tostregress：等价性的线性回归检验；
tostrrp：配对设计中相对风险的等价性检验。

上述命令对应的即时命令：

tostti：均值等价 $t$ 检验的即时命令，与 tostt 对应；
tostpri：比例等价 $z$ 检验的即时命令，与 tostpr 对应；
tostmcci：二元数据中随机等价的配对 $z$ 检验即时命令，与 tostmcc 对应；
tostrrpi：配对设计中相对风险的等价性检验的即时命令，与 tostrrp 对应。

关于即使命令 (Immediate Commands)，是指不依赖与内存数据集，而是依赖于直接输入的数字的一组命令，此时 Stata 类似于计算机功能，详见 help immed。

2.2 命令语法

2.2.1 tostt 命令

* 单样本均值等值 t 检验
tostt varname == # [if] [in] [, eqvtype(type) eqvlevel(#) 
    uppereqvlevel(#) alpha(#)]

* 非配对双样本均值等值 t 检验
tostt varname1 == varname2 [if] [in], unpaired [eqvtype(type) 
    eqvlevel(#) uppereqvlevel(#) unequal welch alpha(#)]

* 配对双样本均值等值 t 检验
tostt varname1 == varname2 [if] [in] [, eqvtype(type) eqvlevel(#) 
    uppereqvlevel(#) alpha(#)]

* 双组非配对均值等值 t 检验
tostt varname [if] [in], by(groupvar) [eqvtype(type) eqvlevel(#) 
    uppereqvlevel(#) unequal welch alpha(#)]

上述命令中选项的含义：

eqvtype(string)：指定等值阈值类型，包括 delta 或 epsilon 两种；
eqvlevel(#)：指定等值区间的容忍度水平；
uppereqvlevel(#)：指定对称等值区间的上限水平；
uunpaired：指定数据是非配对样本；
by(groupvar)：分组变量 (意味着样本为非配对样本)；
unequal：非配对的样本具有不平等的变异性；
alpha(#)：设定第一类错误概率水平，默认为 0.05。

2.2.2 tostpr 命令

* 单样本比例等值 z 检验
tostpr varname == # [if] [in] [, eqvtype(type) eqvlevel(#) 
    uppereqvlevel(#) alpha(#)]

* 双样本比例等值 z 检验
tostpr varname1 == varname2 [if] [in] [, eqvtype(type) 
    eqvlevel(#) yates ha uppereqvlevel(#) alpha(#)]

* 两组比例等值 z 检验
tostpr varname [if] [in] , by(groupvar) [eqvtype(type) 
    eqvlevel(#) uppereqvlevel(#) yates ha alpha(#)]

该命令选项与 tostt 命令基本一致，此处不再赘述。

2.2.3 tostsignrank 命令

* 配对符号秩检验，用于配对或匹配数据的分布，等价于对称且以零为中心的数据
tostsignrank varname = exp [if] [in] [, eqvtype(type) eqvlevel(#) 
    uppereqvlevel(#) ccontinuity alpha(#) relevance]

上述命令选项中，ccontinuity 指定数据是否需要对连续性进行修正。

3. 案例介绍

3.1 tostt 命令应用实例

3.1.1 单样本均值等值 t 检验

. sysuse auto, clear
. tostt mpg==20, eqvt(delta) eqvl(2.5) upper(3) 

One-sample t test for mean equivalence
------------------------------------------------------------------------------
Variable |     Obs        Mean    Std. err.   Std. dev.   [95% conf. interval]
---------+--------------------------------------------------------------------
     mpg |      74     21.2973    .6725511    5.785503     19.9569    22.63769
---------+--------------------------------------------------------------------
    Δu-θ |            1.702703    .6725511                .3623103    3.043095
    θ-Δl |            3.797297    .6725511                2.456905     5.13769
------------------------------------------------------------------------------
         θ = mean(mpg) - 20
        Δl = -2.5000 Δl expressed in same units as mpg
        Δu = 3.0000  Δu expressed in same units as mpg
        df = 73       using 74 - 1

Ho: θ <= Δl, or θ >= Δu:

        t1 = 2.532                   t2 = 5.646   

   Ho1: Δu-θ <= 0               Ho2: θ-Δl <= 0
   Ha1: Δu-θ > 0                Ha2: θ-Δl > 0
   Pr(T > t1) = 0.0068          Pr(T > t2) = 0.0000

根据上述检验结果可知，tostt 命令将该假设转换为两个单侧检验，并且都在 1% 的统计水平上拒绝原假设。

3.1.2 配对双样本均值等值 t 检验

. webuse fuel, clear
. tostt mpg1==mpg2, eqvt(epsilon) eqvl(3) rel

Paired t test
------------------------------------------------------------------------------
Variable |     Obs        Mean    Std. err.   Std. dev.   [95% conf. interval]
---------+--------------------------------------------------------------------
    mpg1 |      12          21    .7881701    2.730301    19.26525    22.73475
    mpg2 |      12       22.75    .9384465    3.250874    20.68449    24.81551
---------+--------------------------------------------------------------------
    diff |      12       -1.75    .7797144     2.70101    -3.46614   -.0338602
------------------------------------------------------------------------------
     mean(diff) = mean(mpg1 - mpg2)                               t =  -2.2444
 H0: mean(diff) = 0                              Degrees of freedom =       11

 Ha: mean(diff) < 0           Ha: mean(diff) != 0           Ha: mean(diff) > 0
 Pr(T < t) = 0.0232         Pr(|T| > |t|) = 0.0463          Pr(T > t) = 0.9768

Paired t test for mean equivalence
------------------------------------------------------------------------------
Variable |     Obs        Mean    Std. err.   Std. dev.   [95% conf. interval]
---------+--------------------------------------------------------------------
    mpg1 |      12          21    .7881701    2.730301    19.26525    22.73475
    mpg2 |      12       22.75    .9384465    3.250874    20.68449    24.81551
---------+--------------------------------------------------------------------
       θ |      12       -1.75    .7797144     2.70101    -3.46614   -.0338602
------------------------------------------------------------------------------
   mean(θ) = mean(mpg1 - mpg2)
         ε = 3.0000   ε expressed in units of the t distribution
        df = 11      

Ho: |T| >= ε:

        t1 = 5.244                   t2 = .7556   

    Ho1: ε-T <= 0                Ho2: T+ε <= 0
    Ha1: ε-T > 0                 Ha2: T+ε > 0
    Pr(T > t1) = 0.0001          Pr(T > t2) = 0.2329

Relevance test conclusion for α = 0.05, and ε = 3:
  Ho test for difference:  Reject
  Ho test for equivalence: Fail to reject
Conclusion from combined tests: Relevant difference

对于配对双样本检验，由于两个单侧检验结果并非一致，因此需要在 tostt 命令中增加选项 relevance，综合检验结果显示存在相对差异。

3.2 tostpr 命令应用实例

3.2.1 单样本比例等值 z 检验

. sysuse auto, clear
. tostpr foreign==.4, eqvt(delta) eqvl(.15) upper(.2) rel

One-sample test of proportion                   Number of obs      =        74
------------------------------------------------------------------------------
    Variable |       Mean   Std. err.                     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
     foreign |   .2972973   .0531331                      .1931583    .4014363
------------------------------------------------------------------------------
    p = proportion(foreign)                                       z =  -1.8034
H0: p = 0.4

     Ha: p < 0.4                 Ha: p != 0.4                   Ha: p > 0.4
 Pr(Z < z) = 0.0357         Pr(|Z| > |z|) = 0.0713          Pr(Z > z) = 0.9643

One-sample test of proportion equivalence    foreign: Number of obs =       74
------------------------------------------------------------------------------
    Variable |       Mean   Std. Err.                     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
     foreign |   .2972973   .0531331                      .1931583    .4014363
-------------+----------------------------------------------------------------
        Δu-θ |   .3027027   .0569495                      .1910838    .4143216
        θ-Δl |   .0472973   .0569495                     -.0643216    .1589162
------------------------------------------------------------------------------
         θ = prop(foreign) - .4 = -.1027027
        Δl = -0.1500 Δl expressed in same units as prop(foreign)
        Δu = 0.2000  Δu expressed in same units as prop(foreign)

Ho: θ <= Δl, or θ >= Δu:

        z1 = 5.315                   z2 = .8305   

   Ho1: Δu-θ <= 0               Ho2: θ-Δl <= 0
   Ha1: Δu-θ > 0                Ha2: θ-Δl > 0
   Pr(Z > z1) = 0.0000          Pr(Z > z2) = 0.2031

Relevance test conclusion for α = 0.05, Δl = -0.15, and Δu = 0.2:
  Ho test for difference:  Fail to reject
  Ho test for equivalence: Fail to reject
Conclusion from combined tests: Indeterminate (underpowered test)

通过上述检验可以发现，无论是绝对数量差异性检验，还是在选定的 delta 水平下，均无法拒绝原假设。

3.2.2 双样本比例等值检验

. webuse cure, clear
. tostpr cure1==cure2, eqvt(epsilon) eqvl(2.5) rel

Two-sample test of proportions                 cure1: Number of obs =       50
                                               cure2: Number of obs =       59
------------------------------------------------------------------------------
    Variable |       Mean   Std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
       cure1 |        .52   .0706541                      .3815205    .6584795
       cure2 |   .7118644   .0589618                      .5963013    .8274275
-------------+----------------------------------------------------------------
        diff |  -.1918644   .0920245                      -.372229   -.0114998
             |  under H0:   .0931155    -2.06   0.039
------------------------------------------------------------------------------
        diff = prop(cure1) - prop(cure2)                          z =  -2.0605
    H0: diff = 0

    Ha: diff < 0                 Ha: diff != 0                 Ha: diff > 0
 Pr(Z < z) = 0.0197         Pr(|Z| > |z|) = 0.0394          Pr(Z > z) = 0.9803

Two-sample test of proportion equivalence      cure1: Number of obs =       50
                                               cure2: Number of obs =       59
------------------------------------------------------------------------------
    Variable |       Mean   Std. Err.                     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
       cure1 |        .52   .0706541                      .3815205    .6584795
       cure2 |   .7118644   .0589618                      .5963013    .8274275
-------------+----------------------------------------------------------------
           θ |  -.1918644   .0931155                     -.3743675   -.0093613
------------------------------------------------------------------------------
         θ = prop(cure1) - prop(cure2) = -.19186441
         ε = 2.5000  ε expressed in units of the z distribution

Ho: |Z| >= ε:

        z1 = 4.56                    z2 = .4395   

   Ho1: ε-Z <= 0                Ho2: Z+ε <= 0
   Ha1: ε-Z > 0                 Ha2: Z+ε > 0
   Pr(Z > z1) = 0.0000          Pr(Z > z2) = 0.3301

Relevance test conclusion for α = 0.05, and ε = 2.5:
  Ho test for difference:  Reject
  Ho test for equivalence: Fail to reject
Conclusion from combined tests: Relevant difference

通过上述检验可以发现，两组样本在绝对数量上存在显著差异，但在指定的 epsilon 范围内无法拒绝原假设。

3.3 tostsignrank 命令应用实例

. webuse fuel, clear
. tostsignrank mpg1 = mpg2, eqvt(epsilon) eqvl(2.46) rel

Relevance signed-rank test
Wilcoxon signed-rank test
        Sign |      Obs   Sum ranks    Expected
-------------+---------------------------------
    Positive |        3        13.5        38.5
    Negative |        8        63.5        38.5
        Zero |        1           1           1
-------------+---------------------------------
         All |       12          78          78

Unadjusted variance      162.50
Adjustment for ties       -1.63
Adjustment for zeros      -0.25
                     ----------
Adjusted variance        160.63

H0: mpg1 = mpg2  
         z = -1.973
Prob > |z| = 0.0485
Exact prob = 0.0479

Signed-rank test for the distribution of paired or matched data being
equivalent to one that is symmetrical & centered on zero

        sign |      obs   sum ranks    expected
-------------+---------------------------------
    positive |        3        13.5        38.5
    negative |        8        63.5        38.5
        zero |        1           1           1
-------------+---------------------------------
         all |       12          78          78

unadjusted variance       162.5
adjustment for ties      -1.625
adjustment for zeros       -.25
                     ----------
adjusted variance       160.625

         ε = 2.4600   ε expressed in units of the z distribution

Ho: |Z| >= ε:

        z1 = 4.433                   z2 = .4874   

    Ho1: ε-Z <= 0                Ho2: Z+ε <= 0
    Ha1: ε-Z > 0                 Ha2: Z+ε > 0
    Pr(Z > t1) = 0.0000          Pr(Z > t2) = 0.3130

Relevance test conclusion for α = 0.05, and ε = 2.46:
  Ho test for difference:  Reject
  Ho test for equivalence: Fail to reject
Conclusion from combined tests: Relevant difference

通过上述检验可以发现，配对样本的符号秩检验在绝对数量上存在显著差异，但在指定的 epsilon 范围内无法拒绝原假设。

4. 相关推文

Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh 差异检验, m
安装最新版 lianxh 命令：
ssc install lianxh, replace

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