0.0005：估计系数太小怎么办？

发布时间：2020-11-07 阅读 15713

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作者： 刘欣妍(香港中文大学)
邮箱： liuxinyan@link.cuhk.edu.hk

1. 问题背景

在做实证研究时，我们经常会遇到这样的问题，即回归系数非常小，如 0.00000012，若以小数点后三位或四位报告结果，则系数为 0。那么系数小，是不是就代表该变量不重要？答案是否定的。一个变量的重要性与其显著性有关，与回归系数大小无关。至于回归系数过小，往往是由于数据导致。接下来，本文将为大家介绍三种处理回归系数过小的方法。

2. 方法 1：改变数据单位

具体示例：

sysuse auto.dta, clear
reg price mpg, robust noheader

------------------------------------------------------------------------------
             |               Robust
       price |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
         mpg |  -238.8943   57.47701    -4.16   0.000    -353.4727    -124.316
       _cons |   11253.06   1376.393     8.18   0.000     8509.272    13996.85
------------------------------------------------------------------------------

在上例中，我们将 price 对 mpg 进行回归，mpg 系数为 -238.8943。如果将 mpg 放大 100 倍，则估计系数和标准误对应缩小 100 倍，t 值不变。

sysuse auto.dta, clear
gen mpg2 = mpg*100
reg price mpg2, robust noheader

------------------------------------------------------------------------------
             |               Robust
       price |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        mpg2 |  -2.388943   .5747701    -4.16   0.000    -3.534727    -1.24316
       _cons |   11253.06   1376.393     8.18   0.000     8509.272    13996.85
------------------------------------------------------------------------------

可以看到，由于 $t = \frac{\hat{β}}{S e (\hat{β})}$ ，改变量纲后，系数统计推断并不会改变，但系数含义发生了变化，比如之前 mpg 每增加 1 单位，price 降低 238.894 单位，现在变为 mpg 每增加 0.01 个单位，price 降低 2.389 单位。

3. 方法 2：将变量进行标准化

具体示例：

stasysuse auto.dta, clear
center price mpg, prefix(z_) standardize
reg z_price z_mpg, robust noheaderta

------------------------------------------------------------------------------
             |               Robust
     z_price |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
       z_mpg |  -.4685967   .1127425    -4.16   0.000    -.6933446   -.2438487
       _cons |   3.24e-08   .1034053     0.00   1.000    -.2061346    .2061347
------------------------------------------------------------------------------

标准化方法有很多，在这里我们以正规化方法进行演示。并且，需要注意的是，标准化之后得到的回归系数被称作为标准化系数，解释为 mpg 每增加 1 个标准差，price 减少 0.469 个标准差。

Note: 更多标准化方法，详见「三种常用数据标准化方法」。当回归中包含交互项或多项式时，最好将相关变量进行标准化，以减轻变量间相关性。关于该问题更多介绍，详见「When Do You Need to Standardize the Variables in a Regression Model?」和「如何比较解释变量的系数相对大小？」。

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4. 方法 3：将变量进行对数转换

具体示例：

sysuse auto.dta,clear
gen log_price = ln(price)
gen log_mpg = ln(mpg)
reg log_price log_mpg, robust noheader

------------------------------------------------------------------------------
             |               Robust
   log_price |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
     log_mpg |   -.826847   .1498648    -5.52   0.000    -1.125597   -.5280969
       _cons |   11.14146   .4640616    24.01   0.000     10.21637    12.06655
------------------------------------------------------------------------------

在这里，系数解释为弹性，即 mpg 每变动 1%，price 降低 0.83%。不过，也有学者指出对数转换存在一些问题，详见「Log-transformation and its implications for data analysis」。

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5. 总结

最后，我们对以上三种方法系数解释进行总结。

改变数据单位，如自变量除以 100，则为自变量每变动 0.01 个单位，因变量变动 $β_{1}$ 个单位；
将变量标准化，如自变量标准化，则为自变量每变动 1 个标准差，因变量变动 $β_{1}$ 个单位；
将变量对数化，具体如下表：

模型	因变量	自变量	对 $β_{1}$ 的解释
水平值一水平值	$y$	$x$	$Δ y = β_{1} Δ x$
水平值一对数	$y$	$\log (x)$	$Δ y = (β_{1} / 100) % Δ x$
对数一水平值	$\log (y)$	$x$	$% Δ y = (100 β_{1}) Δ x$
对数一对数	$\log (y)$	$\log (x)$	$% Δ y = β_{1} % Δ x$

Note: 关于系数更多解释，请参考「正确姿势：回归系数的解释与评估」和「计量经济学导论-现代观点」。

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