RDD：断点回归可以加入控制变量吗？

发布时间：2021-01-18 阅读 5885
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作者：谭睿鹏 (南京大学)
邮箱：rptan@nju.edu.cn

 

 

编者按：本文摘译自以下文献，特此致谢！

Source: Calonico S, Cattaneo M D, Farrell M H, et al. Regression discontinuity designs using covariates[J]. Review of Economics and Statistics, 2019, 101(3): 442-451. -PDF-

 

 

目录

 

 

1. 引言

断点回归 (RDD) 由于其依赖的假设较弱，并可以为局部政策效应提供稳健的估计和推断，故被广泛应用于实证研究中。在断点回归中，若使用最小二乘法估计，研究者通常会加入不受政策影响的协变量，如人口统计特征；而使用非参数局部多项式法，研究者大都不考虑协变量，这使得估计量并不总是参数的一致估计。为此，Calonico 等 (2019) 将协变量纳入非参数多项式回归中，以估计局部政策效应，并对相应的统计推断进行了数理论证。

当然，本文的目的是对 Calonico 等 (2019) 方法的具体应用进行介绍。

 

2. 方法优点

Calonico 等 (2019) 论证了包括协变量以后，非参数多项式回归中估计量的一致性和大样本性质。同时，该方法也具有以下优点：

  • 允许多种形式的协变量进入待估模型，如连续型变量或非连续型变量；
  • 可以使用同样的方法选择关键解释变量和协变量的窗宽；
  • 无需假设协变量进入模型的形式，可以是参数形式，也可以是非参数形式。如果是参数形式，也不需要对函数形式进行假定。

 

3. 实例应用

接下来，将使用 Calonico 等 (2019) 的方法估计美国 “启智计划” 对儿童死亡率的影响 (Ludwig 和 Miller，2007)。“启智计划” 是美国联邦政府为贫困家庭设立的幼儿园资金项目，该政策于 1965 年向美国 300 个最贫困的县提供了援助。作为向贫困宣战的一种策略，“启智计划” 每年为 90 多万名 3 至 5 岁的贫困儿童、及其家庭提供学前教育、健康和其他方面的社会服务。

其中，实施对象的选择是根据 1960 年的美国县级贫困指数，当该指数在 59.1984 以上时，联邦政府就在该县实施 “启智计划”，反之，则不实施。这里的 59.1984 就是一个很好的断点，学者可以利用该断点设计 RDD，来估计 “启智计划” 的政策效应。

但是，影响儿童死亡率的因素还很多，除 “启智计划” 外，还应包括人口数、黑人比例，城市人口比例，3-5 岁的儿童人口数及占比、14-17 岁的人口数及占比、以及 25 岁以上的人口数及占比。因此，在估计 “启智计划” 对儿童死亡率的影响时，应该控制这些协变量。

在本节，本文将展示标准 RD 和纳入协变量后的 RD 政策效应估计量。需要用到的 Stata 命令为 rdrobust，安装代码和数据如下：

*命令安装 
ssc install rdrobust, replace // 或链接：http://fmwww.bc.edu/repec/bocode/r/

*数据地址
*https://gitee.com/arlionn/data/raw/master/data01/headstart.dta
*https://dataverse.harvard.edu/dataset.xhtml?persistentId=doi:10.7910/DVN/LPZLBF

定义全局暂元：

use headstart.dta, clear 
global y mort_age59_related_postHS  // y 为因变量 (儿童死亡率)
global x povrate60                  // x 为分配变量 (forcing variable), 美国县级 1960 年贫困指数
global z census1960_pop census1960_pctsch1417 census1960_pctsch534    ///
         census1960_pctsch25plus census1960_pop1417 census1960_pop534 ///
         census1960_pop25plus census1960_pcturban census1960_pctblack // z 为上文提到的协变量

对于 RD 的点估计和偏差估计可以有不同的窗宽，这里分别用 h 和 b 来表示，在实际操作中可以限制 h = b，也可以不加限制。在统计推断时，可以使用 RD 标准的统计推断方法，也可以使用协变量调整的 RD 统计推断方法。因此，又可以分为以下几种情形进行讨论：

情形一：对 h 和 b 间关系不加限制，选择使得未考虑协变量时，政策估计效应的 MSE 最小化方法来挑选最优窗宽，RD 标准统计推断方法如下：

rdrobust $y $x, c(59.1968)
global  h = e(h_l)
global  b = e(b_l)
global  IL =  e(ci_r_rb) - e(ci_l_rb)

其中，y 为被解释变量，x 为解释变量，c 括号中为分配变量的值，暂元 h 中存储了 RD 点估计时使用的窗宽，暂元 b 中存储了 RD 偏差估计时使用的窗宽，IL 为 95% 置信区间对应的区间长度。


Sharp RD estimates using local polynomial regression.

 Cutoff c = 59.1968| Left of c Right of c       Number of obs =       2783
-------------------+----------------------      BW type       =      mserd
     Number of obs |      2489         294      Kernel        = Triangular
Eff. Number of obs |       234         180      VCE method    =         NN
    Order est. (p) |         1           1
    Order bias (q) |         2           2
       BW est. (h) |     6.809       6.809
       BW bias (b) |    10.724      10.724
         rho (h/b) |     0.635       0.635

Outcome: mort_age59_related_postHS. Running variable: povrate60.
--------------------------------------------------------------------------
      Method |   Coef.    Std. Err.    z     P>|z|    [95% Conf. Interval]
-------------+------------------------------------------------------------
Conventional | -2.4102     1.2053   -1.9996  0.046   -4.77264     -.047753
      Robust |     -          -     -2.0340  0.042   -5.46284      -.10125
--------------------------------------------------------------------------

可以看出，此时政策效应大小为 -2.41，p 值为 0.042，h 值为 6.809，b 值为 10.724，稳健性 95% 置信区间为 [−5.46,−0.10]。

情形二：对 h 和 b 间关系不加限制，选择使得未考虑协变量时，政策估计效应的 MSE 最小化方法来挑选最优窗宽，协变量调整的 RD 统计推断方法如下：

rdrobust $y $x, c(59.1968) covs($z) h($h) b($b)

h 为情形一中计算 RD 点估计时使用的窗宽，b 为情形一计算 RD 偏差估计时使用的窗宽。h($h) 和 b($b) 这两个选项很重要，只有加了它们，才能保证情形二是在情形一的基础上进行的计算，并且使用了协变量调整的 RD 统计推断方法。

Covariate-adjusted sharp RD estimates using local polynomial regression.

 Cutoff c = 59.1968| Left of c Right of c       Number of obs =       2779
-------------------+----------------------      BW type       =     Manual
     Number of obs |      2485         294      Kernel        = Triangular
Eff. Number of obs |       234         180      VCE method    =         NN
    Order est. (p) |         1           1
    Order bias (q) |         2           2
       BW est. (h) |     6.809       6.809
       BW bias (b) |    10.724      10.724
         rho (h/b) |     0.635       0.635

Outcome: mort_age59_related_postHS. Running variable: povrate60.
--------------------------------------------------------------------------
      Method |   Coef.    Std. Err.    z     P>|z|    [95% Conf. Interval]
-------------+------------------------------------------------------------
Conventional | -2.5073     1.0973   -2.2849  0.022   -4.65808     -.356569
      Robust |     -          -     -2.3160  0.021   -5.36613     -.446789
--------------------------------------------------------------------------
Covariate-adjusted estimates. Additional covariates included: 9

此时，政策效应大小为 -2.51，p 值为 0.022，h 值为 6.809，b 值为 10.724，稳健性 95% 置信区间为 [−5.37,−0.45]。

情形三：对 h 和 b 间关系不加限制，选择使得考虑协变量时，政策估计效应的 MSE 最小化方法来挑选最优窗宽，协变量调整的 RD 统计推断方法如下：

rdrobust $y $x, c(59.1968) covs($z)


Covariate-adjusted sharp RD estimates using local polynomial regression.

 Cutoff c = 59.1968| Left of c Right of c       Number of obs =       2779
-------------------+----------------------      BW type       =      mserd
     Number of obs |      2485         294      Kernel        = Triangular
Eff. Number of obs |       240         184      VCE method    =         NN
    Order est. (p) |         1           1
    Order bias (q) |         2           2
       BW est. (h) |     6.977       6.977
       BW bias (b) |    11.636      11.636
         rho (h/b) |     0.600       0.600

Outcome: mort_age59_related_postHS. Running variable: povrate60.
--------------------------------------------------------------------------
      Method |   Coef.    Std. Err.    z     P>|z|    [95% Conf. Interval]
-------------+------------------------------------------------------------
Conventional | -2.4746     1.0888   -2.2729  0.023   -4.60858     -.340674
      Robust |     -          -     -2.2586  0.024   -5.20688     -.368638
--------------------------------------------------------------------------
Covariate-adjusted estimates. Additional covariates included: 9

此时，政策效应大小为 -2.4746，p 值为 0.023，h 值为 6.977，b 值为 11.636，稳健性 95% 置信区间为 [−5.21,−0.37]。

情形四：限制 h=b，选择使得不考虑协变量时，政策估计效应的 MSE 最小化方法来挑选最优窗宽，同时，不加入协变量，RD 标准统计推断方法如下：

rdrobust $y $x, c(59.1968) rho(1)
global h1 = e(h_l)
global b1 = e(b_l)

其中，rho 括号中写 1，表示限制 h 和 b 相同。


Sharp RD estimates using local polynomial regression.

 Cutoff c = 59.1968| Left of c Right of c       Number of obs =       2783
-------------------+----------------------      BW type       =      mserd
     Number of obs |      2489         294      Kernel        = Triangular
Eff. Number of obs |       234         180      VCE method    =         NN
    Order est. (p) |         1           1
    Order bias (q) |         2           2
       BW est. (h) |     6.809       6.809
       BW bias (b) |     6.809       6.809
         rho (h/b) |     1.000       1.000

Outcome: mort_age59_related_postHS. Running variable: povrate60.
--------------------------------------------------------------------------
      Method |   Coef.    Std. Err.    z     P>|z|    [95% Conf. Interval]
-------------+------------------------------------------------------------
Conventional | -2.4102     1.2053   -1.9996  0.046   -4.77264     -.047753
      Robust |     -          -     -2.7627  0.006   -6.41372     -1.09023
--------------------------------------------------------------------------

如果不加入协变量，但限制 h=b，政策效应大小的估计值为 -2.4102，p 值为 0.046，b 和 h 值均为 6.809，稳健性 95% 置信区间为 [−6.41,−1.09]。

情形五：限制 h=b，选择使得不考虑协变量时，政策估计效应的 MSE 最小化方法来挑选最优窗宽，协变量调整的 RD 统计推断方法如下：

rdrobust $y $x, c(59.1968) covs($z) h($h1) b($b1) rho(1)

其中，h 为情形四中计算 RD 点估计时使用的窗宽，b 为情形四计算 RD 偏差估计时使用的窗宽。h($h1) 和 b($b1) 这两个选项很重要，只有加了它们，才能保证情形五是在情形四的基础上进行的计算，并且使用了协变量调整的 RD 统计推断方法。


Covariate-adjusted sharp RD estimates using local polynomial regression.

 Cutoff c = 59.1968| Left of c Right of c       Number of obs =       2779
-------------------+----------------------      BW type       =     Manual
     Number of obs |      2485         294      Kernel        = Triangular
Eff. Number of obs |       234         180      VCE method    =         NN
    Order est. (p) |         1           1
    Order bias (q) |         2           2
       BW est. (h) |     6.809       6.809
       BW bias (b) |     6.809       6.809
         rho (h/b) |     1.000       1.000

Outcome: mort_age59_related_postHS. Running variable: povrate60.
--------------------------------------------------------------------------
      Method |   Coef.    Std. Err.    z     P>|z|    [95% Conf. Interval]
-------------+------------------------------------------------------------
Conventional | -2.5073     1.0973   -2.2849  0.022   -4.65808     -.356569
      Robust |     -          -     -3.0701  0.002   -6.63546     -1.46441
--------------------------------------------------------------------------
Covariate-adjusted estimates. Additional covariates included: 9

在限制 h=b 后，政策效应大小的估计值为 -2.5073，p 值为 0.022，b 和 h 值均为 6.809，稳健性 95% 置信区间为 [−6.64,−1.46]。

情形六：限制 h=b，选择使得考虑协变量时，政策估计效应的 MSE 最小化方法来挑选最优窗宽，协变量调整的 RD 统计推断方法如下：

rdrobust $y $x, c(59.1968) covs($z) rho(1)


Covariate-adjusted sharp RD estimates using local polynomial regression.

 Cutoff c = 59.1968| Left of c Right of c       Number of obs =       2779
-------------------+----------------------      BW type       =      mserd
     Number of obs |      2485         294      Kernel        = Triangular
Eff. Number of obs |       240         184      VCE method    =         NN
    Order est. (p) |         1           1
    Order bias (q) |         2           2
       BW est. (h) |     6.977       6.977
       BW bias (b) |     6.977       6.977
         rho (h/b) |     1.000       1.000

Outcome: mort_age59_related_postHS. Running variable: povrate60.
--------------------------------------------------------------------------
      Method |   Coef.    Std. Err.    z     P>|z|    [95% Conf. Interval]
-------------+------------------------------------------------------------
Conventional | -2.4746     1.0888   -2.2729  0.023   -4.60858     -.340674
      Robust |     -          -     -3.0182  0.003    -6.5421     -1.39074
--------------------------------------------------------------------------
Covariate-adjusted estimates. Additional covariates included: 9

此时，政策效应大小的估计值为 -2.4746，p 值为 0.023，b 和 h 值均为 6.977，稳健性 95% 置信区间为 [−6.54,−1.39]。

 

4. 参考文献

  • Calonico S, Cattaneo M D, Farrell M H, et al. Regression discontinuity designs using covariates[J]. Review of Economics and Statistics, 2019, 101(3): 442-451. -PDF-
  • Ludwig J, Miller D L. Does Head Start improve children's life chances? Evidence from a regression discontinuity design[J]. The Quarterly journal of economics, 2007, 122(1): 159-208. -PDF-

 

5. 相关推文

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  lianxh RDD, m
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