SUR：似无相关估计是个啥东东？

发布时间：2020-10-15 阅读 16408

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作者： 黄俊凯（中国人民大学财政金融学院）
E-mail： kopanswer@126.com

1. 理论回顾

「似不相关回归」简称为 SUR (Seemingly Unrelated Regressions)，顾名思义，就是对两个或多个表面上看起来没有关系的方程进行联合估计。

比如，我们要研究同一家公司中 100 名员工的个人消费行为是否满足凯恩斯的消费理论 (即「月光族」理论——当期消费仅决定于当期收入)，可以分别针对 40 名女性和 60 名男性分别执行 regress C Y，其中，C 和 Y 分别表示每个月的消费支出和可以支配收入。

女性的消费方程为：

C_{i} = α_{1} + β_{1} Y_{i} + ε_{i}

男性的消费方程为：

C_{i} = α_{2} + β_{2} Y_{i} + u_{i}

如果 $C o r r (ε_{i}, u_{i}) = 0$ ，我们分别对女性和男性样本组执行 OLS 估计即可。然而，由于这 100 个人来自于同一家公司，他们在消费习惯上或许具有一定的「同伴效应 (Peer Effect)」。比如，这家公司流行加班文化，而这个不可观测的特征就会包含在两个样本组的干扰项中，从而导致 $C o r r (ε_{i}, u_{i}) \neq 0$ 。此时，分别执行 OLS 估计就不再是有效估计了 (系数 $β_{1}$ 和 $β_{2}$ 的标准误偏高)，单若对两个方程执行联合估计 (GLS)，从而考虑二者干扰项的相关性，就可以得到更为有效地估计。

上例是一个极度简化的 SUR，旨在说明该模型的核心思想。实际应用中，女性组和男性组的消费方程可以有不同的解释变量；我们也可以针对同一个行业中的多个年龄组样本执行 SUR 估计。

1.1 方程组和系统估计

方程组有多个被解释变量，按照是否包含内生解释变量可以分为两类：

联立方程模型 (simultaneous equation models)

右端项包含被解释变量
似不相关模型 (seemingly unrelated models)

右端项不包含被解释变量

常见的方程组模型有：

一般均衡模型 (通常是联立方程模型)
居民们对各种食物的需求体系 (通常是似不相关模型)
女士们的护肤品、化妆品、鞋帽服装需求体系 (通常是似不相关模型)

女士们对护肤品、化妆品、鞋帽服装的需求包含不仅都受到传统的变量（如收入、价格、年龄、季节）的影响，也受到一些特异性变量的影响。诸如肤质影响护肤品的选购、出席的场合影响服饰的搭配、彩妆潮流主要影响化妆品需求。此外，还有一些不可观测变量（误差项）也会同时影响女士们对护肤品、化妆品和鞋帽服装的需求。一些女性更看重气质，对护肤品和服饰的要求较高；一些女性更看重个性，需要更多元化的服饰和化妆品。

因此，女性对护肤品、化妆品和鞋帽服饰的需求表面上是各成体系的，但实际上通过不可观测因素联系在一起，导致误差项相关。就不能用逐步 OLS 的方法依次计算需求，而要进行似不相关估计。如果进一步考虑化妆品-护肤品-鞋帽服饰之间的互补性，则化妆品的价格、鞋帽的款式、护肤品的效果等变量也会出现在右端项，此时需要进行联立方程估计。

系统估计的利弊：

如果多个方程之间有某种联系，对方程组进行联合估计可能提高估计的效率
如果方程组中某个方程误差较大，系统估计会将该方程的误差带入其他方程

1.2 SUR 模型

我们这里介绍标准的 SUR 模型，它最早由 Zellner (1962) 提出。

考虑一个有 $n$ 个观测值和 $m$ 个方程的线性方程组

第 $i$ 个观测值的第 $j$ 个方程：

y_{i j} = X_{i j} β_{i j} + μ_{i j}

第 $j$ 个方程：

y_{j} = X_{j} β_{j} + μ_{j}

方程组：

[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{m} \end{matrix}] = [\begin{array}{cccc} X_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & X_{2} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & X_{m} \end{array}] [\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{m} \end{matrix}] + [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ ⋮ \\ u_{m} \end{matrix}]

SUR 模型：每个观测值不同方程的误差项相关，但不同观测值的误差项无关的方程组

注：SUR 模型的每个方差都可以单独 OLS 估计，因此被称为"似不相关" (但 OLS 估计不是有效的)

1.3 SUR 模型的假设

任意一个观测值 $i$ 的任意两个方程 $j$ 和 $k$ ：

E (μ_{i j} μ_{i k} | X_{i}) = σ_{j k} \neq 0

任意一个观测值 $i$ 的方差-协方差矩阵 $Σ$ ：

\begin{aligned} Σ & = E (μ_{i} μ_{i}) \\ = [\begin{array}{cccc} σ_{1} & σ_{12} & \dots & σ_{1 m} \\ σ_{12} & σ_{2} & σ_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ σ_{1 m} & σ_{2 m} & \dots & σ_{m} \end{array}] \end{aligned}

任意方程 $j$ 和 $k$ ：

\begin{aligned} E (μ_{j} | X) & = 0 \\ E (μ_{j} μ_{j} | X) & = σ_{j} I_{n} \\ E (μ_{j} μ_{k} | X) & = σ_{j k} I_{n} \end{aligned}

方程组的方差-协方差矩阵 $Ω$ ：

\begin{aligned} Ω & = E (u u^{'} | X) = Σ \otimes I_{n} \\ = [\begin{array}{cccc} σ_{1} I_{n} & σ_{12} I_{n} & \dots & σ_{1 m} I_{n} \\ σ_{12} I_{n} & σ_{2} I_{n} & σ_{2 m} I_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ σ_{1 m} I_{n} & σ_{2 m} I_{n} & \dots & σ_{m} I_{n} \end{array}] \end{aligned}

方差-协方差矩阵 (以2个观测值2个方程为例)：

\begin{aligned} Σ & = [\begin{array}{cc} σ_{1} & σ_{12} \\ σ_{12} & σ_{2} \end{array}] \\ Ω = Σ \otimes I_{n} & = [\begin{array}{cc} σ_{1} I_{n} & σ_{12} I_{n} \\ σ_{12} I_{n} & σ_{2} I_{n} \end{array}] = [\begin{array}{cccc} σ_{1} & 0 & σ_{12} & 0 \\ 0 & σ_{1} & 0 & σ_{12} \\ σ_{12} & 0 & σ_{2} & 0 \\ 0 & σ_{12} & 0 & σ_{2} \end{array}] \end{aligned}

1.4 SUR 估计

由于满足外生性条件 $E (μ_{j} | X) = 0$ ，所以 OLS 估计是一致估计

由于不满足同方差假定，所以 OLS 估计不是最优的

已知误差项方差-协方差矩阵的形式，FGLS 估计是最优的一致估计

SUR 估计本质是 FGLS 估计，具体步骤如下：

OLS 估计，得到误差项方差-协方差矩阵 $Σ (Ω)$ 的一致估计 $\hat{Σ} (\hat{Ω})$

\hat{Σ} = \frac{1}{n} {\hat{μ}}_{o l s} {\hat{μ}}_{o l s}^{'} \hat{Ω} = \hat{Σ} \otimes I_{n}

用 $\hat{Ω}$ 替换 $Ω$ ，GLS 估计

{\hat{β}}_{S U R} = {\hat{β}}_{g l s} (\hat{Ω}) = (X^{'} {\hat{Ω}}^{- 1} X)^{- 1} X^{'} {\hat{Ω}}^{- 1} y

1.5 SUR 模型的优势、劣势以及建议

优势是对于方程组的估计，比逐方程 OLS 更有效。它可以跨方程检验系数是否联合为 $0$ ， $H : β_{j} = β_{k} = 0$ ；可以跨方程检验系数是否相等， $H : β_{j} = β_{k}$ ；可以先施加 $β_{j} = β_{k}$ 的约束，再进行 SUR 估计。
劣势在于 Zellner 的 SUR 估计方法仅限于 GLS，既不能使用包括聚类稳健标准误等调整，也不能使用二值选择模型、久期模型、面板数据模型。
因此，Zellner 的 SUR 估计方法可用性很差，但似不相关的思想启发了后来的计量经济学家，他们发展出一系列基于 SUR 模型误差项假设的，可以包容更多模型的似不相关估计方法。
如果你只需要一个最原始的 GLS 版本的 SUR 估计，不需要调整标准误，也不需要其他模型，建议你使用 sureg 命令。
如果你需要在 SUR 估计中调整标准误、使用更广泛的模型，甚至是不同模型设定组成的方程组，建议你使用 suest 命令。由于其灵活性，这也是本文重点介绍的命令。
如果你对误差项有很强的假设，比如需要它服从指数分布、威布尔分布或对数正态分布，并且方程组由一个多值选择模型和一个久期模型组成，建议你使用 sudcd 命令。
如果你使用面板数据随机效应模型，可以 help xtsur；如果你需要处理非线性方程组，可以 help nlsur。
最后，如果你不需要似不相关模型，而是需要一个联立方程模型或三阶段最小二乘模型，可以 help reg3。
本小节涉及的命令，在文末 扩展命令 小节中可以找到简单介绍。

2. `sureg` 实例

除了 Stata 的官方指引，本文的例子还结合 Ani Katchova 教授提供的实例和 UCLA 官网的实例，并为三者的结合做了删改。本文使用的数据和代码开放链接，提取码：gb5k，链接永久有效。

2.1 模型设定

我们想要知道数学和阅读的成绩如何受其他因素影响，构建如下方程组：

\begin{aligned} m a t h & = α + β_{1} \cdot f e m a l e + β_{2} \cdot p r o g r a m + β_{3} \cdot s c i e n c e + μ_{1} \\ r e a d & = α + γ_{1} \cdot f e m a l e + γ_{2} \cdot s o c i a l + μ_{2} \end{aligned}

其中 math 是数学成绩，read 是阅读成绩，female 是性别的哑变量，program 是教育项目，science 是自然科学成绩，social 是社会科学成绩。

方程 1 的被解释变量是 math，解释变量是 female，program 和 science。

方程 1 的被解释变量是 read，解释变量是 female 和 social。

方程 1 和 2 共同的解释变量是 female。

2.2 用 `reg` 实现 `sureg`

根据第1节中的估计方程，我们可以使用 reg 命令实现似不相关估计，代码如下：

use sureg.dta, clear

* 对每个方差单独回归，得到估计的残差
reg $y1 $x1
predict r_math, resid
reg $y2 $x2
predict r_read, resid

* 误差项协方差矩阵的估计
cor r_math r_read, cov
mat s = r(C)				// s: pairwise correlation matrix
mat i = I(200)				// i: identity matrix of size 200
mat v = s # i				// v: kronecker product of s and i

* x 矩阵
mkmat $x1 cons, matrix(x_$y1)
mat x_$y1 = x_$y1, J(200, 3, 0)
mkmat $x2 cons, matrix(x_$y2)
mat x_$y2 = J(200, 4, 0), x_$y2
mat x = x_$y1 \ x_$y2 

* y 向量
mkmat $y1, matrix(y_$y1)
mkmat $y2, matrix(y_$y2)
mat y = y_$y1 \ y_$y2

* 系数的估计
mat b = inv(x'*inv(v)*x)*x'*inv(v)*y
mat list b

* 与似不相关估计的比较
sureg ($y1 $x1) ($y2 $x2)

用 OLS 手动估计的结果：


               math
 female   .80477515
educate  -.53030003
science   .53380017
   cons   25.602716
               read
 female   -1.708889
 social   .54932147
  _cons   24.374153

似不相关估计的结果：


------------------------------------------------------------------------------
             |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
math         |
      female |      0.805      1.035     0.78   0.437       -1.224       2.834
     educate |     -0.530      0.743    -0.71   0.476       -1.987       0.927
     science |      0.534      0.052    10.18   0.000        0.431       0.637
       _cons |     25.603      3.494     7.33   0.000       18.755      32.450
-------------+----------------------------------------------------------------
read         |
      female |     -1.709      1.132    -1.51   0.131       -3.928       0.511
      social |      0.549      0.052    10.57   0.000        0.447       0.651
       _cons |     24.374      2.818     8.65   0.000       18.851      29.897
------------------------------------------------------------------------------

我们发现，用 OLS 手动估计的结果与似不相关估计的结果一致。

2.3 `reg` vs. `sureg`

我们用 Stata 的 sureg 命令进行 Zellner 的 SUR 估计，该命令的选项 corr 报告各方程误差项的相关系数矩阵，并对误差项之间的独立性执行布伦斯-帕甘 (Breusch–Pagan) 检验，代码如下：

use "https://stats.idre.ucla.edu/stat/stata/notes/hsb2", clear

* or

use "https://gitee.com/arlionn/data/raw/master/data01/hsb2.dta", clear


* 对方程 1 和 2 单独进行 OLS 估计
reg math female educate science
reg read female social

* 对方程 1 和 2 组成的方程组用 SUR 估计
sureg (math female educate science) (read female social), corr

OLS 估计回归结果如下：

reg math female educate science

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       200
-------------+----------------------------------   F(3, 196)       =     43.81
       Model |  7010.50752         3  2336.83584   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  10455.2875       196  53.3433035   R-squared       =    0.4014
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.3922
       Total |   17465.795       199  87.7678141   Root MSE        =    7.3037

------------------------------------------------------------------------------
        math |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
      female |      0.966      1.046     0.92   0.357       -1.097       3.028
     educate |     -0.413      0.764    -0.54   0.589       -1.919       1.094
     science |      0.598      0.054    11.13   0.000        0.492       0.703
       _cons |     21.971      3.582     6.13   0.000       14.906      29.035
------------------------------------------------------------------------------

reg read female social

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       200
-------------+----------------------------------   F(2, 197)       =     63.93
       Model |  8233.79028         2  4116.89514   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  12685.6297       197  64.3940595   R-squared       =    0.3936
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.3874
       Total |    20919.42       199  105.122714   Root MSE        =    8.0246

------------------------------------------------------------------------------
        read |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
      female |     -1.764      1.141    -1.55   0.124       -4.014       0.487
      social |      0.598      0.053    11.27   0.000        0.493       0.702
       _cons |     21.862      2.874     7.61   0.000       16.195      27.529
------------------------------------------------------------------------------

SUR 估计回归结果如下：

sureg (math female educate science) (read female social), corr

Seemingly unrelated regression
--------------------------------------------------------------------------
Equation             Obs   Parms        RMSE    "R-sq"       chi2        P
--------------------------------------------------------------------------
math                 200       3    7.256297    0.3971     111.11   0.0000
read                 200       2    7.981054    0.3910     112.68   0.0000
--------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------
             |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
math         |
      female |      0.805      1.035     0.78   0.437       -1.224       2.834
     educate |     -0.530      0.743    -0.71   0.476       -1.987       0.927
     science |      0.534      0.052    10.18   0.000        0.431       0.637
       _cons |     25.603      3.494     7.33   0.000       18.755      32.450
-------------+----------------------------------------------------------------
read         |
      female |     -1.709      1.132    -1.51   0.131       -3.928       0.511
      social |      0.549      0.052    10.57   0.000        0.447       0.651
       _cons |     24.374      2.818     8.65   0.000       18.851      29.897
------------------------------------------------------------------------------

OLS 估计和 SUR 估计的结果总结：

\begin{array}{lcccc} score & OLS & OLS & SUR & SUR \\ Math & Reading & Math & Reading \\ Female & 0.97 & - 1.76 & 0.80 & - 1.71 \\ Program & - 0.41 & - & - 0.53 & - \\ Science & {0.59}^{*} & - & {0.53}^{*} & - \\ Social & - & {0.60}^{*} & - & {0.55}^{*} \\ Constant & {21.97}^{*} & {21.86}^{*} & {25.60}^{*} & {24.37}^{*} \end{array}

本例中，OLS 估计的结果与 SUR 估计的结果定性一致，差异不大。

布伦斯-帕甘 (Breusch–Pagan) 检验的结果：

Correlation matrix of residuals:

        math    read
math  1.0000
read  0.1849  1.0000

Breusch-Pagan test of independence: chi2(1) = 6.835, Pr = 0.0089

方程 1 和 2 的误差项存在显著的相关性（chi2 值 6.385，P 值小于 0.01），但相关性并不强（相关系数仅 0.18）。

2.4 `sureg` 的检验与约束

方程 1 和 2 中 female 的系数都与 0 无显著差异，我们进一步检验两个方程中变量 female 的系数是否相等，代码如下：

test [math]female = [read]female

检验结果如下：

(1)  [math]female - [read]female = 0

             chi2(1) =    3.28
         Prob > chi2 =    0.0701

系数差异检验的 chi2 值为 3.28，P 值为 0.07，大于 0.05，无法拒绝原假设。因此，我们对方程 1 和 2 施加约束： $β_{1} = γ_{1}$ ，代码如下：

constraint 1 [math]female = [read]female
sureg (math female educate science) (read female social), constraints(1)

回归结果如下：

Seemingly unrelated regression
--------------------------------------------------------------------------
Equation             Obs   Parms        RMSE    "R-sq"       chi2        P
--------------------------------------------------------------------------
math                 200       3    7.284186    0.3924     109.08   0.0000
read                 200       2    8.013775    0.3860     109.60   0.0000
--------------------------------------------------------------------------

 ( 1)  [math]female - [read]female = 0
------------------------------------------------------------------------------
             |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
math         |
      female |     -0.315      0.833    -0.38   0.705       -1.948       1.317
     educate |     -0.548      0.747    -0.73   0.463       -2.012       0.916
     science |      0.525      0.052    10.02   0.000        0.423       0.628
       _cons |     26.686      3.454     7.73   0.000       19.917      33.455
-------------+----------------------------------------------------------------
read         |
      female |     -0.315      0.833    -0.38   0.705       -1.948       1.317
      social |      0.545      0.052    10.47   0.000        0.443       0.648
       _cons |     23.818      2.814     8.46   0.000       18.302      29.334
------------------------------------------------------------------------------

此时方程 1 和 2 中 female 的系数都相等，仍然显著不等于 0。

2.5 估计后命令

为获得完整的 sureg 估计后命令的指引，建议你 help sureg postestimation。

predict

在下面的代码中，我们用 predict 命令分别估计两个方程的被解释变量 math 和 read 的拟合值 math_hat 和 read_hat。

sureg (math female educate science) (read female social)
predict math_hat, equation(math) xb
predict read_hat, equation(read) xb
summarize math math_hat read read_hat

下表展示被解释变量 math 和 read 的拟合值 math_hat 和 read_hat 的描述性统计，可以发现真实值的均值等于拟合值的均值：

    Variable |        Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
        math |        200      52.645    9.368448         33         75
    math_hat |        200      52.645    5.330927   37.89062   64.57363
        read |        200       52.23    10.25294         28         76
    read_hat |        200       52.23    5.914405   36.94762   63.37598

在下面的代码中，我们进一步估计被解释变量的拟合值 math_hat 和方程 read_hat 之间的差异 my_diff，并与 predict, difference 的结果 diff 进行比较：

generate my_diff = math_hat - read_hat
predict diff, equation(math, read) difference
summarize diff my_diff

下表比较二者的结果：

    Variable |        Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
        diff |        200        .415    5.731093  -14.12384   21.04231
     my_diff |        200    .4150001    5.731094  -14.12384   21.04231

margins

margins 命令用于计算在因子变量的固定值处的一单位变动导致结果变量的边际变动（假设其余变量处于均值或其他取值组合处时）。边际变动可以是系数 dydx、弹性 eyex，半弹性 dyex 和 eydx，还可以是命令 predict 提供的各类拟合值，你也可以通过 expression 选项制定个性化的边际变动表达式。但在 sureg 中，margins 仅提供全部方程的线性预测（默认）、单个方程的线性预测（选项 xb）和指定两个方程的线性预测之间的差（选项 difference）。因此实际上在 sureg 的前提下，margins 只报告线性预测及其差值，不报告系数、弹性或半弹性。下面的代码是一个简单的示例：

* margins
sureg (math i.female educate science) (read i.female social)
margins female
margins female, predict(equation(math))
margins female, predict(equation(read))
margins female, predict(equation(math, read) difference)

代码运行的结果如下：

. margins female

Predictive margins                              Number of obs     =        200

1._predict   : Linear prediction, predict(xb equation(math))
2._predict   : Linear prediction, predict(xb equation(read))

---------------------------------------------------------------------------------
                |            Delta-method
                |     Margin   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
----------------+----------------------------------------------------------------
_predict#female |
           1 0  |     52.206      0.761    68.57   0.000       50.714      53.699
           1 1  |     53.011      0.695    76.26   0.000       51.649      54.374
           2 0  |     53.161      0.835    63.63   0.000       51.524      54.799
           2 1  |     51.452      0.763    67.41   0.000       49.956      52.948
---------------------------------------------------------------------------------

. margins female, predict(equation(math))

Predictive margins                              Number of obs     =        200

Expression   : Linear prediction, predict(equation(math))

------------------------------------------------------------------------------
             |            Delta-method
             |     Margin   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
      female |
          0  |     52.206      0.761    68.57   0.000       50.714      53.699
          1  |     53.011      0.695    76.26   0.000       51.649      54.374
------------------------------------------------------------------------------

. margins female, predict(equation(read))

Predictive margins                              Number of obs     =        200

Expression   : Linear prediction, predict(equation(read))

------------------------------------------------------------------------------
             |            Delta-method
             |     Margin   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
      female |
          0  |     53.161      0.835    63.63   0.000       51.524      54.799
          1  |     51.452      0.763    67.41   0.000       49.956      52.948
------------------------------------------------------------------------------

. margins female, predict(equation(math, read) difference)

Predictive margins                              Number of obs     =        200

Expression   : Fitted diff.:  math - read, predict(equation(math, read) difference)

------------------------------------------------------------------------------
             |            Delta-method
             |     Margin   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
      female |
          0  |     -0.955      1.022    -0.93   0.350       -2.958       1.048
          1  |      1.559      0.933     1.67   0.095       -0.270       3.388
------------------------------------------------------------------------------

可以清楚地看到四张表之间存在的关系，第一张表实际上是第二张表和第三张表合并后的结果，而第四张表中 female 等于 $0$ 则是第二张表中 female 等于 $0$ 时的预测值 $52.206$ 与第三张表中 female 等于 $0$ 时的预测值 $53.161$ 的差值 $- 0.955$ 。

2.6 `sureg` 的语法

基础语法

sureg (depvar1 varlist1) (depvar2 varlist2) ...  (depvarN varlistN) 
      [if] [in] [weight] [, options]

进阶语法

 sureg ([eqname1:] depvar1a [depvar1b ... =] varlist1 [, noconstant])
       ([eqname2:] depvar2a [depvar2b ... =] varlist2 [, noconstant])
       ...
       ([eqnameN:] depvarNa [depvarNb ... =] varlistN [, noconstant]) 
       [if] [in] [weight] [, options]

特别说明：当被解释变量 depvar 有多个时，不能指定方程名 eqname

一些重要的参数和选项：

*	参数
eqname                    方程
depvar                    被解释变量
varlist                   控制变量

*	约束
constraints(constraints)  应用指定的线性约束

*	自由度的调整
small                     报告小样本统计量
dfk                       使用小样本调整方法
dfk2                      使用替代的调整方法

*	最优化选项
isure                     迭代直到收敛
iterate(#)                指定最大的迭代次数
nolog					  抑制迭代过程的输出
tolerance(#)              指定数值收敛条件

此外，sureg 还可以与 bootstrap, by, fp, jackknife, rolling, and statsby 等前缀连用。

2.7 完整数据和代码

* Seemingly Unrelated Regressions (SUR) in Stata
* References
* 	- Ani Katchova (2013)
*	- http://statistics.ats.ucla.edu/stat/stata/code/sureg.htm

clear all
set more off
set cformat %4.3f
set pformat %4.3f
set sformat %4.2f

use sureg.dta, clear

global y1 math
global y2 read
global x1 female educate science
global x2 female social

********************************************************************************
*	fitting a sureg manually
********************************************************************************

* one-by-one regression to estimate residuals
reg $y1 $x1
predict r_math, resid
reg $y2 $x2
predict r_read, resid

* estimator of covariance matrix
cor r_math r_read, cov
mat s = r(C)				// s: pairwise correlation matrix
mat i = I(200)				// i: identity matrix of size 200
mat v = s # i				// v: kronecker product of s and i

* x matrix 
mkmat $x1 cons, matrix(x_$y1)
mat x_$y1 = x_$y1, J(200, 3, 0)
mkmat $x2 cons, matrix(x_$y2)
mat x_$y2 = J(200, 4, 0), x_$y2
mat x = x_$y1 \ x_$y2 

* y matrix
mkmat $y1, matrix(y_$y1)
mkmat $y2, matrix(y_$y2)
mat y = y_$y1 \ y_$y2

* beta estimator
mat b = inv(x'*inv(v)*x)*x'*inv(v)*y
mat list b

* compared with SUR model
sureg ($y1 $x1) ($y2 $x2)

********************************************************************************
*	OLS vs. SUR (reg vs. sureg)
********************************************************************************

describe $y1 $y2 $x1 $x2
summarize $y1 $y2 $x1 $x2

* OLS regressions
reg $y1 $x1
reg $y2 $x2

* SUR model
sureg ($y1 $x1) ($y2 $x2), corr

* Testing of cross-equation constraints
test [$y1]female = [$y2]female

* SUR model with cross-equation constraint
constraint 1 [$y1]$x1 = [$y2]$x1
sureg ($y1 $x1) ($y2 $x2), constraints(1) 

********************************************************************************
*	sureg postestimation 
********************************************************************************

* predict, xb
sureg ($y1 $x1) ($y2 $x2)
predict math_hat, equation(math) xb
predict read_hat, equation(read) xb
summarize math math_hat read read_hat

* predict, difference
generate my_diff = math_hat - read_hat
predict diff, equation(math, read) difference
summarize diff my_diff

* margins
sureg ($y1 i.female educate science) ($y2 i.female social)
margins female
margins female, predict(equation(math))
margins female, predict(equation(read))
margins female, predict(equation(math, read) difference)

3. 扩展命令

本文围绕 sureg 命令展开，但该命令只能用于 OLS 估计，甚至不能进行聚类稳健标准误调整。在下一篇推文中，我们将介绍一个扩展性极强的命令 suest 及其应用。

其他似不相关估计的扩展命令
- nlsur 命令用可行广义非线性最小二乘法（FGNLS）拟合非线性方程组。该命令提供了灵活的语法，你甚至可以用该命令快速编写函数计算器程序。
- xtsur 命令对似不相关的非平衡面板数据集进行单向随机效应估计。最早由 Biorn (2004) 提出。
- bireprob 命令拟合一个二值随机效应 Probit 模型，该模型考虑了随机效应误差项和异质性冲击的相关性，并最大化模拟的似然估计。该命令在使用前需要将数据声明为面板数据 xtset，并要求安装 mdraws 命令。link
- sudcd命令用于联合估计一个离散选择模型和一个久期（生存）模型。其基本原理类似于 SUR 模型，但允许使用者估计服从指数分布、威布尔分布或对数正态分布的似不相关离散选择-久期方程组。使用该命令时，你需要引用 Boehmke 2006。
- rifsureg 命令用再中心化影响函数的估计方法执行似不相关的分位数回归，这是一种重要的无条件分位数回归模型。
联立方程的扩展命令
- reg3 是三阶段最小二乘法 3SLS 的命令。3SLS 最早由 Zellner and Theil (1992) 提出，是联立方程的完全信息估计方法，虽然有偏但比 2SLS 更有效。reg3 的功能十分广泛，除了支持 3SLS，还提供支持似不相关估计的选项 sure、多元回归mvreg、支持逐方程 OLS 的选项 ols 和支持 2SLS 的选项 2sls，使用者可以方便的比较不同方法的异同。估计后命令可以参考 help reg3 postestimation。

4. 参考文献和资料

Allen McDowell, 2004, From the Help Desk: Seemingly Unrelated Regression with Unbalanced Equations, Stata Journal, 4(4): 442–448. pdf
Ani Katchova (2013). Econometrics Academy: SUR. link
Breusch, T. S., and A. R. Pagan. 1980. The Lagrange multiplier test and its applications to model specification in econometrics. Review of Economic Studies 47: 239–253. link
Greene, William H. (2005). Econometric Analysis. Fifth edition. Pearson Education.
Lloyd Blackwell, 2005, Estimation and Testing of Fixed-effect Panel-data Systems, Stata Journal, 5(2): 202–207. pdf
Weesie, J. 1999. sg121: Seemingly unrelated estimation and the cluster-adjusted sandwich estimator. Stata Technical Bulletin 52: 34–47. Reprinted in Stata Technical Bulletin Reprints, vol. 9, pp. 231–248. College Station, TX: Stata Press. pdf
What is seemingly unrelated reg. and how can I perform it in Stata? link
White, Halbert. "Maximum likelihood estimation of misspecified models." Econometrica: Journal of the Econometric Society (1982): 1-25. link
Zellner, Arnold. "An efficient method of estimating seemingly unrelated regressions and tests for aggregation bias." Journal of the American statistical Association 57.298 (1962): 348-368. link
Zellner, Arnold, and David S. Huang. "Further properties of efficient estimators for seemingly unrelated regression equations." International Economic Review 3.3 (1962): 300-313. link
Zellner, Arnold. "Estimators for seemingly unrelated regression equations: Some exact finite sample results." Journal of the American Statistical Association 58.304 (1963): 977-992. link
Firpo, Sergio, and Cristine Pinto. "Identification and estimation of distributional impacts of interventions using changes in inequality measures." Journal of Applied Econometrics 31.3 (2016): 457-486. pdf
Fitting a seemingly unrelated regression (sureg) manually. link
Rios Avila, Fernando. "Recentered influence functions in Stata: Methods for analyzing the determinants of poverty and inequality." Levy Economics Institute, Working Paper 927 (2019). pdf

致敬： Arnold Zellner 教授 (1927-2010) 对计量经济学的三大贡献：似不相关估计、三阶段最小二乘估计和贝叶斯计量经济学。

专题	嘉宾	直播/回看视频
⭐ 最新专题 ⭐		DSGE, 因果推断, 空间计量等
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SUR：似无相关估计是个啥东东？

1. 理论回顾

1.1 方程组和系统估计

1.2 SUR 模型

1.3 SUR 模型的假设

1.4 SUR 估计

1.5 SUR 模型的优势、劣势以及建议

2. `sureg` 实例

2.1 模型设定

2.2 用 `reg` 实现 `sureg`

2.3 `reg` vs. `sureg`

2.4 `sureg` 的检验与约束

2.5 估计后命令

2.6 `sureg` 的语法

2.7 完整数据和代码

3. 扩展命令

4. 参考文献和资料

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