Stata：基于大带宽的断点分位数回归稳健推断-rdqte

发布时间：2021-11-06 阅读 1859

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作者：江鑫 (安徽大学)
邮箱：jiangxin199566@foxmail.com

编者按：本文主要摘译自下文，特此致谢！
Source：Chiang H D, Hsu Y C, Sasaki Y. Robust uniform inference for quantile treatment effects in regression discontinuity designs[J]. Journal of econometrics, 2019, 211(2): 589-618. -PDF-

1. 背景介绍

实证研究人员使用了各种版本的局部 Wald 估计量。其中，最广泛使用的是断点回归设计(RDD) 的局部 Wald 估计量。最近，研究人员还在弯折回归设计 (RKD) 中使用了导数估计量的局部 Wald 比率。此外，条件累积分布函数的局部 Wald 比率及其变体用于估计分位数处理效应。在局部 Wald 估计量的所有这些变体中，研究人员在实践中经常通过可替代的数据驱动选择器选择大带宽。因此，理想的估计和推理过程需要对大带宽具有稳健性。

现有文献中提出的这些方法并未涵盖另一个重要情况，即模糊 RDD 中分位数处理效果的稳健统一检验 (Frandsen 等，2012)，尽管它在最近的应用中频繁使用。我们介绍一种新的通用稳健推理方法，并构建了偏差校正的统一置信带，特别是涵盖了模糊分位数 RDD。然而，我们没有提出一种专门适用于模糊分位数 RDD 的稳健推理方法，而是提出了一个通用框架。该框架统一适用于大多数局部 Wald 估计量的情形，包括精确 RDD、模糊 RDD，精确RKD、模糊 RKD、精确分位数 RDD、模糊分位数 RDD、精确分位数 RKD 和模糊分位数 RKD。

2. 估计方法

在这里，我们主要关注模糊分位数 RDD 的情况，下面介绍一下构建统一置信带的实用指南：

步骤 1：选择一个有限集 $y^{*} \subset y$ 结果值的网格点和有限集分位数的网格点 $T^{*} \subset [a, 1 - a]$ 。对于所有 $y \in Y^{}, d \in {0, 1}$ ，估计 ${\hat{μ}}_{1} (0^{\pm}, y, d)$ 和 ${\hat{μ}}_{2} (0^{\pm}, d)$ ；

步骤 2：对于每一个 $θ \in T^{}$ ，计算下式：

{\hat{Q}}_{Y^{d} ∣ C} (θ) = inf {y \in Y^{*} : \frac{{\hat{μ}}_{1} (0^{+}, y, d) - {\hat{μ}}_{1} (0^{-}, y, d)}{{\hat{μ}}_{2} (0^{+}, d) - {\hat{μ}}_{2} (0^{-}, d)} \geq θ}

其中， $d \in {0, 1}$ ，然后对于每个 $θ \in T^{}$ ，计算 $\hat{τ} = \hat{Q} Y^{1} ∣ C (θ) - \hat{Q} Y^{1} ∣ C (θ)$ ；

步骤 3：计算 $\hat{f} X (0)$ 和 $\hat{f} Y^{d} ∣ C (\hat{Q} Y^{d} ∣ C (θ))$ ；

步骤 4：对于每一次引导迭代 $b = 1, \dots, B$ ，生成独立的标准法 $ξ^{b} = {ξ i^{b}} {i = 1}^{n}$ 独立于数据，并且对于每个 $θ \in T^{}, d \in {0, 1}$ 计算 $\hat{v} ξ^{b}, n (θ, d, 1)$ 和 ${\hat{v}}_{ξ^{b}, n} (d, 2)$ (注意：在每次迭代中，我们使用相同的 $ξ^{b}$ 计算不同的 $θ$ 和 $d$ 值)；

步骤 5：为每一个 $θ \in T^{*}$ ，构建下式：

\begin{aligned} {\hat{G}}_{n}^{'} (θ) & = \frac{{\hat{μ}}_{2} (0^{+}, 1) - {\hat{μ}}_{2} (0^{-}, 1)}{{\hat{f}}_{Y^{1} ∣ C} ({\hat{Q}}_{Y^{1} ∣ C} (θ)) {[{\hat{μ}}_{2} (0^{+}, 1) - {\hat{μ}}_{2} (0^{-}, 1)]}^{2}} \cdot {{\hat{ν}}_{ξ, n}^{+} ({\hat{Q}}_{Y^{1} ∣ C} (θ), 1, 1) - {\hat{ν}}_{ξ, n}^{-} ({\hat{Q}}_{Y^{1} ∣ C} (θ), 1, 1)} \\ - \frac{{\hat{μ}}_{1} (0^{+}, {\hat{Q}}_{Y^{1} ∣ C} (θ), 1) - {\hat{μ}}_{1} (0^{-}, {\hat{Q}}_{Y^{1} ∣ C} (θ), 1)}{{\hat{f}}_{Y^{1} ∣ C} ({\hat{Q}}_{Y^{1} ∣ C} (θ)) {[{\hat{μ}}_{2} (0^{+}, 1) - {\hat{μ}}_{2} (0^{-}, 1)]}^{2}} \cdot {{\hat{ν}}_{ξ, n}^{+} (1, 2) - {\hat{ν}}_{ξ, n}^{-} (1, 2)} \\ - \frac{{\hat{μ}}_{2} (0^{+}, 0) - {\hat{μ}}_{2} (0^{-}, 0)}{{\hat{f}}_{Y^{0} ∣ C} ({\hat{Q}}_{Y^{0} ∣ C} (θ)) {[{\hat{μ}}_{2} (0^{+}, 0) - {\hat{μ}}_{2} (0^{-}, 0)]}^{2}} \cdot {{\hat{ν}}_{ξ, n}^{+} ({\hat{Q}}_{Y^{0} ∣ C} (θ), 0, 1) - {\hat{ν}}_{ξ, n}^{-} ({\hat{Q}}_{Y^{0} ∣ C} (θ), 0, 1)} \\ + \frac{{\hat{μ}}_{1} (0^{+}, {\hat{Q}}_{Y^{0} ∣ C} (θ), 0) - {\hat{μ}}_{1} (0^{-}, {\hat{Q}}_{Y^{0} ∣ C} (θ), 0)}{{\hat{f}}_{Y^{0} ∣ C} ({\hat{Q}}_{Y^{⊤} ∣ C} (θ)) {[{\hat{μ}}_{2} (0^{+}, 0) - {\hat{μ}}_{2} (0^{-}, 0)]}^{2}} \cdot {{\hat{ν}}_{ξ, n}^{+} (0, 2) - {\hat{ν}}_{ξ, n}^{-} (0, 2)} \end{aligned}

步骤 6：定义如下分位数：

{\hat{C}}_{n}^{B} (a, 1 - a; λ) = (1 - λ) - {max_{θ \in T^{*}} | {\hat{G}}_{n, b}^{'} (θ) |}_{b = 1}^{B}

并通过下式构造一个渐近有效的 $100 (1 - λ)$ 百分比统一置信区间 $[a, 1 - a]$ 。

[\hat{τ} (θ) \pm \frac{1}{\sqrt{n h_{n}}} {\hat{C}}_{n}^{B} (a, 1 - a; λ) : θ \in T^{*}]

3. rdqte 命令

rdqte 命令用于在断点回归设计 (RDD) 中对分位数处理效果 (QTE) 执行估计和稳健推断。rdqte 是基于 Chiang 等 (2019) 的精确和模糊断点回归设计 (RDD) 中对分位数处理效果 (QTE) 执行估计和稳健性推理。该命令包含结果变量 $y$ 和驱动变量 $x$ 。在模糊 RDD 的情况下，二元处理变量 $d$ 在选项 fuzzy (varname) 中指定。主要结果包括估计值和跨多个分位数 QTE 的统一 95% 置信区间。

除了这些主要结果之外，该命令还进行以下测试：1) 零假设 1：所有分位数的 QTE 为零 (即，统一原始处理效果)；2) 零假设 2：QTE 在所有分位数 (即同质处理效果) 中都是恒定的，而不是异质处理效果的替代方案。该方法对大带宽和未知函数形式具有稳健性。

*命令安装
cnssc install rdqte, replace
* 或
  ssc install rdqte, replace

*命令语法
rdqte y x [if] [in] [, c(real) fuzzy(varname) cover(real) ql(real) qh(real) qn(real) bw(real)]

其中，

c(real)：设置 RDD 的断点位置，默认值为 c(0) (注意：断点位置本身作为负 $x$ 观测值的一部分包含在内)；
fuzzy(varname)：设置用于模糊 RDD 中估计的处理变量，不调用此选项则默认采用精确 RDD；
cover(real)：设置统一置信带覆盖真实 QTE 的名义概率，默认值为 cover(.95)；
ql(real)：设置估计 QTE 的最低分位数，默认值为 ql(.25)；
qh(real)：设置估计 QTE 的最高分位数，默认值为 qh(.75)；
qn(real)：设置估计 QTE 的分位数点数，默认值为 qn(3)；
bw(real)：设置用于估计 QTE 的带宽，是一个非正参数，如默认值 bw(-1) 的情况，将转化为最优比率。

4. Stata 范例

在本节中，我们对模糊分位数 RDD 应用稳健统一推理方法。Gormley 等 (2005) 将 RDD 与俄克拉荷马州学前班计划的生日截止资格规则结合，发现认知发展对平均考试成绩有显着的积极影响。他们还发现，在社会经济地位较低的学生的子样本中，平均效应是积极的。后续，Frandsen 等 (2012) 通过估计的分位数处理效果提供了额外的证据，表明这些影响在分布的下端是积极的。Chiang 等 (2019) 应用构建稳健的统一置信带的方法来补充 Frandsen 等 (2012) 的发现。

数据包括 2003-2004 学年 4,710 名塔尔萨公立学校幼儿园和学前班学生的样本。此数据中使用的主要变量是出生日期 (X)、上一年参加 pre-K 计划的指标 (D*) 和 Woodcock-Johnson 子测试的分数 (Y*)：字母 -单词、拼写和应用问题。具体实现命令如下：

 rdqte score bdate, fuzzy(treat) cover(0.9) ql(0.1) qh(0.9) qn(9)

下图展示了 pre-K 程序对 Woodcock-Johnson 三个子测试分数的局部分位数处理效应估计结果。该图通过黑色曲线显示了每个分位数 $θ$ 的点估计，也显示了基于 Chiang 等 (2019) 提出的程序的 90% 统一置信区间。

与 Frandsen 等 (2012) 结果相比，Chiang 等 (2019) 的 90% 置信带比获得的 90% 逐点置信区间更宽，但相关分位数指数的统计显着性仍然存在。该项目成功地显着提高了测试分数分布的下限，特别是对于 Applied Problems 子测试，且对社会经济地位不利的儿童的平均影响更大。

5. 参考资料

Chiang H D, Hsu Y C, Sasaki Y. Robust uniform inference for quantile treatment effects in regression discontinuity designs[J]. Journal of econometrics, 2019, 211(2): 589-618. -PDF-
Gormley Jr W T, Gayer T, Phillips D, et al. The effects of universal pre-K on cognitive development[J]. Developmental psychology, 2005, 41(6): 872. -PDF-
Frandsen B R, Frölich M, Melly B. Quantile treatment effects in the regression discontinuity design[J]. Journal of Econometrics, 2012, 168(2): 382-395. -PDF-

6. 相关推文

Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh rdd, m
安装最新版 lianxh 命令：
ssc install lianxh, replace

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Stata：基于大带宽的断点分位数回归稳健推断-rdqte

1. 背景介绍

2. 估计方法

3. rdqte 命令

4. Stata 范例

5. 参考资料

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