Stata：xtbunitroot-允许结构突变的面板单位根检验

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编译： 陈滨志 (英国伯明翰大学)
邮箱： BXC855@student.bham.ac.uk

目录

编者按： Dr. Yiannis Karavias 为本推文作者的导师，经 Dr. Yiannis 授权，我们对他的文章进行翻译发布。如果对这篇文章有问题可与编者或作者本人联系。本文主要翻译自如下论文，特此致谢。
 
Chen, P., Karavias, Y., Tzavalis, E. (2021). Panel Unit Root Tests with Structural Breaks (No. 21-12). Link1, Link2

1. 导读

在这篇文章中，作者介绍了 Stata 最新推出的外部命令 xtbunitroot，该命令源自于 Karavias (2014) 的文章，该检验具有很高的灵活性：在进行平稳性检验的同时也允许 1-2 个已知时间/未知时间结构突变存在于确定性趋势中的检测。也允许模型中存在截距项、线性趋势、非正态误差、截面相关性与截面异方差。可同时应用于大 $N$ 小 $T$ 面板。

从上个世纪开始，一系列学者开始研究针对时间序列数据并允许结构突变的单位根检验。

Perron (1990) 率先在论文中讨论了结构突变可以影响单位根检验的结果并创建了允许在截距项与趋势项存在结构突变的单位根检验。该检验假设学者对结构突变时间已知，在之后的研究中，Zivot (2002) 与 Banerjee (1992) 允许结构突变时间未知由数据所决定；Lumsdaine (1997) 在前人的基础上创建了允许存在两个结构突变的单位根检验。

Karavias (2014) 检验的优势之一是检测面板数据中所存在的结构突变。 Karavias (2014) 在文章中提出了面板数据的单位根检验，并允许单个序列的截距或截距和线性趋势中的结构突变。假设所有序列的结构突变日期都是一致的，但结构突变的程度可能因序列而异。该文章中原假设与 Zivot (2002)以及 Lumsdaine (1997) 中的相同；在原假设下，假设面板是存在 单位根过程并且没有结构突变的，而在备择假设下，面板是平稳序列但是存在截距项与趋势项的结构突变的。

该检验的另一个优势是他的适用性。该检验可应用于小 $T$ 与大 $T$ 的面板中并允许1-2个已知时间/未知时间的结构突变，在未知时间的结构突变的情况下，此时结构突变的时间由数据所决定。误差项可能是非正态的，并且具有横截面异方差和相关性。最后，备择假设下的自回归系数可以是同质的或异质的。

在这篇推文中，我们将会简单介绍 Karavias (2014) 文章中的模型设定，并且使用针对该文章所创建的命令 xtbunitroot 来对联邦存款保险公司 (FDIC) 的银行资产负债表的数据集进行单位根检验与结构突变的识别。

2. 包含一个结构突变的模型设定

当面板数据中只有一个结构突变时，共存在以下两种模型的设定：

2.1 结构突变仅存在于截距项

此时的原假设和备择假设分别为：

$H_0:y_{i,t}=y_{i,t-1}+u_{i,t}$

$H_1:y_{i,t}=\phi y_{i,t-1}+(1-\phi )[a_{1,i}I(t\le b)+a_{2,i}I(t>b)]+u_{i,t}$

在这个模型设定中，$\phi$ 为自回归系数， $a_{1,i}$ 与 $a_{2,i}$ 分别为结构突变时间点 $b$ 前后的固定效应。

2.2 结构突变存在于截距项与线性趋势项

此时的原假设和备择假设分别为：

上述假设中，${\beta }_i$ 是原假设的漂移项， ${\beta }_{1,i}$ 与 ${\beta }_{2,i}$ 分别为在备择假设中结构突变时间点 $b$ 前后的趋势项系数。

3. 两个结构突变的模型设定

3.1 结构突变仅存在于截距项

此时的原假设和备择假设分别为：

在这个模型设定中，$\phi$ 为自回归系数， $a_{1,i}$， $a_{2,i}$ 与 $a_{3,i}$ 依次为结构突变时间点 $b_1$ 与 $b_2$ 前后的固定效应。

3.2 结构突变存在于截距项与线性趋势项

此时的原假设和备择假设分别为：

上述假设中，${\beta }_i$ 是原假设的漂移项， ${\beta }_{1,i}$， ${\beta }_{2,i}$ 与 ${\beta }_{3,i}$ 依次为在备择假设中结构突变时间点 $b_1$ 与 $b_2$ 前后的趋势项系数。

4. xtbunitroot 命令详解

4.1 安装

. ssc install xtuniroot, replace 
. ssc get xtbunitroot, replace
*-或 (速度快)
. ssc install cnssc, replace 
. cnssc install xtbunitroot, replace 
. cnssc get xtbunitroot, replace   //下载附带 dofile 和 数据

4.2 基本语法和选项 (Options)

该命令的基本语法如下：

xtbunitroot varname [if][in][, options]

在使用该命令之前，必须使用 xtset 命令声明面板数据中的截面变量和时间变量。其中，varname 是要测试非平稳性的变量，如果未指定 options (选项)，则默认为模型 在截距项中有一个未知日期的结构突变。

• trend 该选项指定模型的确定性趋势部分，包括截距均值和线性趋势。这二者会被常见的结构突变影响。此外，在此模型中不允许连续日期的结构中断。 正常情况下，结构突变的日期可以发生于 3 到 $T-2$ 时刻，而在具有截距项结构突变的情况下结构突变日期可以发生于 2 到 $T-1$ 时刻。
• known(#,#) 该选项指定已知日期时结构突变的位置与数量。命令中的 # 分别指定第1、2个结构突变所发生的日期，如果只有一个已知的结构突变，我们可以将该选项简化为 known(#)。 需要注意的是， # 需要填写的是排序性的时间而不是真正的日期。 比如现在有一个 $N=100$, $T=20$ 从2000-2020年的面板数据，如果结构突变发生在2019年，那么 known(#) 须填写成 known(19)。
• unknown(#,#) 该选项指定未知日期时结构突变的数量与bootstrap的数量。bootstrap的数量可以被省略为默认值100，因此可以将该选项简化为 unknown(#)。 需要注意的是， # 需要填写的是未知日期时结构突变的数量。 比如现在有一个 $N=100$, $T=20$ 从2000-2020年的面板数据，如果结构突变假设有一个，那么 unknown(#) 须填写成 unknown(2)。
• normal 该选项制定误差项为正态分布。
• csd 该选项使每个序列变为去均值的序列（原序列每个时间点减去横截面均值）。
• het 选项指定误差项为横截面异方差。如果 het 与 normal 同时使用，那么最后的结果会与仅使用 normal 一致。
• nobootstrap 选项会停止程序进行 bootstrap，但是会提供 $minZ$ 统计量与估计的结构突变日期。bootstrap 只有在未知结构突变时间时作为计算临界值与 $p$ 值需要使用。该选项只可以与误差项为正态分布的 normal 一起使用。
• 注：如果样本相对较大的话，使用 bootstrap 的计算时间可能会相对较长。

5. xtbunitroot 的 Stata 实现

单位根过程最初对宏观经济变量很重要。然而，正如 Holtz-Eakin (1988) 认为，这种动态关系可以出现在其他经济变量中，对于这些变量可能无法获得较长的时间序列。在这种情况下，可以使用数据的面板维度进行统计推断。

数据来源于联邦存款保险公司 (FDIC) 的银行资产负债表。这是一个非常流行的数据集，参见例如 Kripfganz (2021) 以及 Juodis (2021) 用于最近的一些应用。然而，虽然银行资产负债表变量的平稳性经常被假设，但它几乎从未被检验过。Karavias (2014) 首次对其中四个变量的平稳性进行检验，即资产回报率、股本回报率、总资产和非利息收入。资产回报率 (roa) 定义为税后和特殊项目后的净收入，并以平均总资产的百分比表示。股本回报率 (roe) 定义为净收入超过平均总股本，总资产 (tassets) 是年初至今总资产的平均值，非利息收入 (nii) 定义为来自银行服务的收入计息资产以外的来源，处以平均总资产。

随机样本的维度为 500 家银行从 2018 年第三季度到 2020 年第四季度的数据。因为该时间段内包括新冠疫情，所以可能导致序列中的截距和趋势的结构突变。时间维度选取较短是以便样本不会受到幸存者偏差的影响。该数据源是公开数据，可以从联邦存款保险公司 (FDIC) 网站下载 -Link-。

在下文中，我们将进行面板单位根测试，并允许上述变量中​​的结构突变。假设该样本已经足够大，使得误差项 $u_{i,t}$ 呈正态分布。误差项可以是横截面异方差，但在正态假设下，该检验对异方差是不改变的。最后，我们假设误差横截面相关性是可能由货币政策利率引起的。

我们从资产回报率开始进行检验；首先，我们假设结构突变日期已知为 2020 年第一季度，其次我们允许结构突变日期未知并根据数据确定。在后一种情况下，临界值是使用默认的 100 个bootstrap样本获取的。分析结果如下：

*==载入作者提供的数据集，
*-方法1：从作者个人主页获得 
* https://sites.google.com/site/yianniskara vias/files/xtbunitroot?authuser=0

*-方法2：在线下载
. ssc get xtbunitroot, replace
. cnssc get xtbunitroot, replace // 或

*==导入数据
. use "xtbunitroot_example",replace 

. xtset fed_rssd time //设置面板数据集

Panel variable: fed_rssd (strongly balanced)
 Time variable: time, 1 to 10
         Delta: 1 unit

. xtbunitroot roa, known(7) normal csd //假设结构突变日期已知为 2020 年第一季度，并且误差项为正态分布
Karavias and Tzavalis (2014) panel unit root test for roa
--------------------------------------------------------------------
H0: All panel time series are unit root processes
H1: Some or all of the panel time series are stationary processes
--------------------------------------------------------------------
Number of panels:                 500       Number of periods:   10
Number of breaks:                 1

Cross-section dependence:         Yes       Linear time trend:   No
Cross-section heteroskedasticity: No        Normal errors:       Ye
Result: the null is rejected                Known break date(s): 7
--------------------------------------------------------------------
                 Statistic   5% Asymtotic critical-value  p-value
--------------------------------------------------------------------
 Z-statistic     -15.3360             -1.6450             0.0000
--------------------------------------------------------------------

上面的输出表明 $Z(b)$ 统计量等于 -15.336，远小于临界值 -1.645。因此，我们可以拒绝非平稳性单位根的原假设。备择假设下的结构突变发生在 $T=7$ 时刻，对应于 2020 年第一季度。输出还会报告结果“原假设被拒绝” (在5% 显着性水平下)。当结构突变日期未知时，以下输出显示了 roa 的结果:

. xtbunitroot roa, unknown(1) normal csd  //假设结构突变日期未知并且误差项为正态分布

Karavias and Tzavalis (2014) panel unit root test for roa
----------------------------------------------------------------------
H0: All panel time series are unit root processes
H1: Some or all of the panel time series are stationary processes
----------------------------------------------------------------------
Number of panels:                 500    Number of periods:       10
Number of breaks:                 1      Bootstrap replications:  100

Cross-section dependence:         Yes    Linear time trend:       No
Cross-section heteroskedasticity: No     Normal errors:           Yes
Result: the null is rejected             Estimated break date(s): 6
----------------------------------------------------------------------
                 Statistic   5% Bootstrap critical-value     p-value
----------------------------------------------------------------------
 minZ-statistic  -25.1273             8.5212                 0.0000
----------------------------------------------------------------------

我们可以从上面的输出中看到 $minZ$ 统计量等于 -25.1273，这远小于 bootstrap 临界值 9.188，因此我们再次拒绝原假设。此外，程序还报告了 $p$ 值，这意味着在 1% 的显着性水平上拒绝原假设。结构突变日期确认为 $T=6$ ，对应于 2019 年第四季度，尽管如前文所述，该估计量可能不会是突变日期的一致估计量。

对于其余三个变量，我们对结构突变日期未知的情况进行检验。对于 tassets 和 nii，我们还将在检验中包括线性趋势。

. xtbunitroot roe, unknown(1) normal csd //假设结构突变日期未知并且误差项为正态分布
Karavias and Tzavalis (2014) panel unit root test for roe
-------------------------------------------------------------------
H0: All panel time series are unit root processes
H1: Some or all of the panel time series are stationary processes
-------------------------------------------------------------------
Number of panels:                 500  Number of periods:       10
Number of breaks:                 1    Bootstrap replications:  100

Cross-section dependence:         Yes  Linear time trend:       No
Cross-section heteroskedasticity: No   Normal errors:           Yes
Result: the null is not rejected
-------------------------------------------------------------------
                 Statistic   5% Bootstrap critical-value  p-value
-------------------------------------------------------------------
 minZ-statistic  -20.0826             -22.2273            0.0600
-------------------------------------------------------------------


. xtbunitroot tassets, unknown(1) normal csd trend //假设结构突变日期未知并且误差项为正态分布，增加线性趋势
Karavias and Tzavalis (2014) panel unit root test for tassets
---------------------------------------------------------------------
H0: All panel time series are unit root processes
H1: Some or all of the panel time series are stationary processes
---------------------------------------------------------------------
Number of panels:                 500   Number of periods:       10
Number of breaks:                 1     Bootstrap replications:  100

Cross-section dependence:         Yes   Linear time trend:       Yes
Cross-section heteroskedasticity: No    Normal errors:           Yes
Result: the null is not rejected
--------------------------------------------------------------------
                  Statistic   5% Bootstrap critical-value  p-value
--------------------------------------------------------------------
 minZ-statistic    -8.3440             -66.8850            0.5000
--------------------------------------------------------------------


. xtbunitroot nii, unknown(1) normal csd trend //假设结构突变日期未知并且误差项 为正态分布，增加线性趋势
Karavias and Tzavalis (2014) panel unit root test for nii
--------------------------------------------------------------------
H0: All panel time series are unit root processes
H1: Some or all of the panel time series are stationary processes
--------------------------------------------------------------------
Number of panels:                 500   Number of periods:       10
Number of breaks:                 1     Bootstrap replications:  100

Cross-section dependence:         Yes   Linear time trend:       Yes
Cross-section heteroskedasticity: No    Normal errors:           Yes
Result: the null is rejected            Estimated break date(s): 6
--------------------------------------------------------------------
                  Statistic   5% Bootstrap critical-value    p-value
--------------------------------------------------------------------
 minZ-statistic   -27.3143             -18.8627              0.0000
--------------------------------------------------------------------

从上面的输出结果中我们可以看到，roe 和 nii 是平稳的，而 tassets 是非平稳的。当原假设没有在 5% 的水平上被拒绝时，Stata 输出不会报告结构突变日期，但是，这个日期可以从 r(break1) 中找到。这在较小的数据集中可能很有用，因为使用者可能希望采用更高的显着性。对于 tassets，输出结果显示结构突变日期是 2019 年第一季度，但是因为 $p$ 值很高，所以我们不能拒绝原假设。

5. 参考文献

• Banerjee, A., Lumsdaine, R. L., & Stock, J. H. (1992). Recursive and sequential tests of the unit-root and trend-break hypotheses: theory and international evidence. Journal of Business & Economic Statistics, 10(3), 271-287.

• Holtz-Eakin, D., Newey, W., & Rosen, H. S. (1988). Estimating vector autoregressions with panel data. Econometrica: Journal of the econometric society, 1371-1395.

• Karavias, Y., & Tzavalis, E. (2014). Testing for unit roots in short panels allowing for a structural break. Computational Statistics & Data Analysis, 76, 391-407. -Link-

• Lumsdaine, R. L., & Papell, D. H. (1997). Multiple trend breaks and the unit-root hypothesis. Review of economics and Statistics, 79(2), 212-218.

• Perron, P. (1990). Testing for a unit root in a time series with a changing mean. Journal of Business & Economic Statistics, 8(2), 153-162.

• Zivot, E., & Andrews, D. W. K. (2002). Further evidence on the great crash, the oil-price shock, and the unit-root hypothesis. Journal of business & economic statistics, 20(1), 25-44.

6. 相关推文

Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
  lianxh 单位根 面板
安装最新版 lianxh 命令：
  ssc install lianxh, replace

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