Stata：事件研究法的稳健有效估计量-did_imputation

发布时间：2022-01-23 阅读 6458

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编者按：本文主要摘译自下文，特此致谢！
Source：Borusyak K, Jaravel X, Spiess J. Revisiting event study designs: Robust and efficient estimation[J]. arXiv preprint arXiv:2108.12419, 2021. -PDF-

1. 简介

事件研究法 (ESA) 是一种面板中的一组单元在不同时间接受处理的 DID 设计，通常用于估计处理非随机时的处理效应，并以双向固定效应的形式进行估计：

Y_{i t} = α_{i} + β_{t} + τ D_{i t} + ϵ_{i t} (1)

本文采用了两个标准的 DID 假设：未经处理的潜在结果具有平行趋势的特征，且没有预期的效果。此外还有一个辅助假设：处理效果本身遵循某种被限制了异质性的模型。本文提出了一个基于插补法的估计框架，使得在满足基本假设的前提下，该估计量为有效且稳健的。作者还提供了相应的 Stata 命令 did_imputation 来实现这一估计量。

2. 现有估计存在的问题

考虑在一个有 $i$ 个个体， $t$ 期的面板中，对每个个体都有一个事件开始时点 $E_{i}$ ，这个时点之后的所有时期该个体都接受了处置 $D_{i t}$ 且一直不变： $D_{i t} = 1 [K_{i t} \geq 0]$ ， $K_{i t} = t - E_{i}$ 是接受处理的相对时间，且允许 “从未处理组” 的存在，即 $E_{i} = \infty$ 。处理组 $i t \in Ω_{1}$ 的处理效应： $τ_{i t} = E [Y_{i t} - Y_{i t} (0)]$ 。

本文的目标估计量是：

τ_{ω} = \sum_{i t \in Ω_{1}} w_{i t} τ_{i t} = w_{1}^{'} τ

其中权重则根据感兴趣的变量而不同。研究者也许感兴趣 ATT，则此时 $w_{i t} = 1 / N_{i t}$ 且 $i t \in Ω_{1}$ ， $Ω_{1}$ 代表接受处理的集合。在 $E S A$ 中，通常感兴趣的估计量为 $w_{i t} = 1 [K_{i t} = h] / | Ω_{1, h} |$ 且 $Ω_{1, h} = {i t : K_{i t} = h}$ 。为了识别 $τ_{w}$ ，本文考虑了 3 个假设：

A1 (平行趋势)：存在非随机的 $α_{i}$ 和 $β_{t}$ 使得 $E [Y_{i t} (0)] = α_{i} + β_{t}$ 对于所有 $i t \in Ω$ 都满足；

A2 (无事前期望效应)：对所有 $i t \in Ω_{0}$ ， $Y_{i t} = Y_{i t} (0)$ ；

关于因果效应的辅助性假设 A3 和其等价假设 A3'，后者假设了一个处理效应的参数模型：

A3 (限制的因果效应)：对于已知的满秩 $M \times N_{1}$ 矩阵 B， $B τ = 0$ ；

A3' (因果效应模型)： $τ = Γ θ$ ， $θ$ 为 $(N_{1} - M) \times 1$ 未知参数，而 $Γ$ 是一个已知的 $N_{1} \times (N_{1} - M)$ 矩阵。

在实际中，A3 通常较难被满足，因此会造成估计偏误。具体来说，在常见的动态交错 DID 模型中：

Y_{i t} = {\tilde{α}}_{i} + {\tilde{β}}_{t} + \sum_{h = - 1, h \neq - 1}^{b - 1} τ_{h} 1 [K_{i t} = h] + τ_{b +} 1 [K_{i t} \geq b] + {\tilde{ϵ}}_{i t} (2)

其中 ${\tilde{α}}_{i}$ 和 ${\tilde{β}}_{t}$ 为双向固定效应， $a \geq 0$ 和 $b \geq 0$ 分别为包含的领先和滞后期期数。在该设定中，假设 1 成立，而假设 2 则允许在处理之前的 a 期存在期望效应。同时，假设 3 要求处理效应只根据 h 而不同，不随个体和期数而变化。 $τ_{h}$ 的 OLS 系数被解释为 h 的平均因果效应，并未设定特别的权重。当 a=b=0 时，动态模型变为静态：

Y_{i t} = {\tilde{α}}_{i} + {\tilde{β}}_{t} + τ^{s t a t i c} D_{i t} + {\tilde{ϵ}}_{i t} (3)

此时 A3 变得更加严格，其要求所有处理效应都一样。实际中，这些严格的假设通常难以满足，这会导致 OLS 估计产生问题。首先，当 “从未处理组” 不存在时， ${τ_{h}}_{h \neq - 1}$ 路径的系数无法使用点估计得出。

其次，A3 会导致静态 TWFE 估计量无法获得异质性处理效应的合理权重，尤其是在对长期因果效应的估计中，其关键权重甚至可能为负数。在动态模型中，OLS 估计量能估计出一部分 $τ_{h}$ 的系数，但对于较长的 h，仅在 A1 和 A2 下无法估计出平均处理效应。除非 A3 先天满足，否则得出的 OLS 估计量不可信，这会导致 “虚假识别” 问题 (spurious identification)。

3. 基于插补的估计法

首先，A1 可以被放松为 A1'：(1) 允许个体固定效应和一些与处理无关的协变量交互；(2) 允许时变变量的存在。令 $ϵ_{i t} = Y_{i t} - E [Y_{i t}]$ ，则此时在改良版 A1，以及 A2 和 A3 下：

Y_{i t} = A_{i t}^{^{'}} λ_{i} + X_{i t}^{'} δ + D_{i t} Γ_{i t}^{'} θ + ϵ_{i t} (4)

3.1 有效性

在满足 A1-A3 和额外的同方差假设下，可通过：先估计 (4) 得到 $\hat{θ}$ ，再估计出处理效应的向量 $\hat{τ} = Γ \hat{θ}$ ，最后得到目标估计 ${\hat{τ}}_{w}^{*} = w_{1}^{'} \hat{τ}$ 。仅满足 A1-A3 的条件下，该估计量就是无偏的。

在未限制异质处理效应的特殊情形下， ${\hat{τ}}_{w}^{*}$ 具有 “插补” 型表达式：即用未处理的观测值 $i t \in Ω_{0}$ 去估计 $Y_{i t} (0)$ 模型，然后将其外推至经过处理的个体 $i t \in Ω_{1}$ 来获得 $Y_{i t} (0)$ ，任意权重都使得该估计量是有效的。

该 “插补” 形式不仅比 (4) 中的 OLS 估计量容易计算，还更自然地将平行趋势假设与无期望效应联系起来。事实上，任何 $τ_{w}$ 的线性无偏估计量都可以被表示为插补形式，但其用于插补 $Y_{i t} (0)$ 的方法可能不再有效。

3.2 渐进性与置信区间

本节中作者将同方差假定放松为聚类标准误，并证明了当权重向量满足一些条件时，可以确保估计量的一致性、渐进正态且可得到合理的置信区间。首先，在权重 v 满足赫芬达尔条件时：

| | v | |_{H}^{2} = \sum_{i} (\sum_{t} | v_{i t} |)^{2} \to 0

可以证明 ${\hat{τ}}_{w} = \sum_{i t \in Ω} v_{i t} Y_{i t}$ 具有一致性。加上权重的高阶矩条件平衡性与极限下界假设，可以证明其渐进正态性。具体的证明可以参见作者的原文及附录。

3.3 平行趋势检验

通常有两个方法用于检验平行趋势。传统上，可以估计包含滞后期与领先期的动态模型，之后检验领先期的系数是否为 0。新方法则假设，对于所有最终受处理的个体，在 k 期之前处理就已发生，之后估计这一 “处理” 发生之后 $h = 0, 1, 2. . . k - 1$ 期的平均处理效应。

本文的插补法可使用第二种方法检验。然而，这两种方法都有缺陷：由于传统的检验法用全部样本 (包括处理的观测)，因此对违反隐含假设 3——每个阶段接受处理的个体的处理效应都是同质的——十分敏感。新检验法则未对估计，检验和精准确定估计对象之间做出区分，因此导致了一定程度的功效丧失。作者提出了检验假设 1 的新方法：

为 $Y_{i t} (0)$ 选择一个比 A1' 更为丰富的模型：
$Y_{i t} (0) = A_{i t}^{'} λ_{i} + X_{i t}^{'} δ + W_{i t}^{'} γ + {\tilde{ϵ}}_{i t}$
仅对未受处理的个体 $i t \in Ω_{0}$ 使用 OLS 从而估计 $γ$ ；
运用 F 检验测验 $γ = 0$ 。

作者证明了这一检验的优势：若通过检验，则对于 $τ_{w}^{*}$ 的推断在不违反 A1'、A2 以及同方差假定下仍为渐进合理的。

4. Stata 范例

*命令安装
cnssc install did_imputation, replace

did_imputation 的基本使用方法为：

*命令语法
did_imputation Y i t Ei [if] [in] [estimation weights] [, options]

其中 Y 为结果变量，i 是观测的唯一识别符，t 为时期，Ei 为个体接受处理的时间 (缺失值则代表从未处理组)。我们首先生成一个具有 300 个个体，观察期 15 的面板：

. clear all
. timer clear
. set seed 10
. global T = 15
. global I = 300
. set obs `=$I*$T'
. gen i = int((_n-1)/$T)+1                                       
. gen t = mod((_n-1),$T)+1                                       
. tsset i t

接下来为个体随机生成首次接受处理的时期 ( $E i >= 10$ ):

· gen Ei = ceil(runiform()*7)+$T -6 if t==1	
· bys i (t): replace Ei = Ei[1]
· gen K = t-Ei 						
· gen D = K>=0 & Ei!=.

其中 $K$ 为经过处理后的相对时间， $D$ 为处理哑变量。然后我们可以基于平行趋势与异质性处理效应而产生结果变量 $Y$ ：

· gen tau = cond(D==1, (t-12.5), 0) 		
· gen eps = rnormal()							
· gen Y = i + 3*t + tau*D + eps

最后我们使用命令 did_imputation 估计处理效应，并使用 event_plot 命令进行绘图：

· did_imputation Y i t Ei, allhorizons pretrend(5)

                                              Number of obs    =     4,500
------------------------------------------------------------------------------
           Y |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        tau0 |   .0854326   .0797319     1.07   0.284     -.070839    .2417042
        tau1 |   .6695374   .0837474     7.99   0.000     .5053955    .8336792
        tau2 |   1.083881   .1012331    10.71   0.000     .8854674    1.282294
        tau3 |   1.604685   .1332701    12.04   0.000      1.34348    1.865889
        tau4 |   1.918663   .1531139    12.53   0.000     1.618565     2.21876
        tau5 |   2.651424   .2432302    10.90   0.000     2.174701    3.128146
        pre1 |  -.0890417   .1243881    -0.72   0.474    -.3328379    .1547546
        pre2 |  -.0223983   .1062934    -0.21   0.833    -.2307295    .1859329
        pre3 |  -.0667799   .1004296    -0.66   0.506    -.2636183    .1300586
        pre4 |  -.0144644    .087886    -0.16   0.869    -.1867178    .1577889
        pre5 |  -.0334828   .0714538    -0.47   0.639    -.1735297    .1065641
------------------------------------------------------------------------------

可以看出，该数据集满足平行趋势假设，而处理效应也是异质的。我们还可以使用 event_plot 命令将不同时期的处理效应的系数都画出来，使得处理效应的变化更加直观：

. event_plot, default_look graph_opt(xtitle("Periods since the event") xlabel(-5(1)5) ///
>     ytitle("Average causal effect") title("Borusyak et al. (2021) imputation estimator"))

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Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh 事件研究, m
安装最新版 lianxh 命令：
ssc install lianxh, replace

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Stata：事件研究法的稳健有效估计量-did_imputation

1. 简介

2. 现有估计存在的问题

3. 基于插补的估计法

3.1 有效性

3.2 渐进性与置信区间

3.3 平行趋势检验

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