Stata：双变量联合核密度函数图-kdens2

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作者：吴俊樊 (中山大学)
邮箱：wujf35@mail2.sysu.edu.cn

目录

1. 背景介绍

1.1 多维核密度估计

多维核密度估计 (Multivariate kernel density estimation) 是多维随机变量的核密度估计。给定一组独立同分布的样本 $\mathbf{x}=\{{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\dots {\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}\}$，${\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}$ 都是 $d$ 维的向量，设其联合概率密度函数为 $f$，多维核密度函数如下：

其中 $K(\mathbf{x})$ 为多维核函数 (非负、积分为 1，符合联合概率密度性质)，$\mathbf{H}$ 为 $d\ast d$ 的对称且正定矩阵。

1.2 多维核函数

多维核函数是定义在多维空间上的核函数，主要分为乘积核和放射核。设 $d$ 维随机变量 $\mathbf{u}=\{u_1,u_2\dots u_d,{\}}^{\mathrm{T}}$，则：

• 乘积核

• 放射核

在实际应用中我们经常使用多维高斯乘积核。以其二维乘积核为例，我们使用 Stata 命令 twoway contour 绘制其三维等高线图：

. clear
. set obs 625
. gen x = (mod((_n-mod(_n-1,25)-1)/25,25)-12)/12
. gen y = (mod(_n-1,25)-12)/12
. gen z = normalden(x,0,2)*normalden(y,0,2)  //二维乘积核
. twoway contour z x y, level(15)

1.3 双变量联合核密度函数图

在多维核密度估计后，超过两维的多维核密度函数图无法进行绘制。对于二维核密度函数图即双变量联合核密度函数图，我们可以 Stata 命令 kdens2 进行绘制。

2. 命令介绍

kdens2 命令使用高斯核进行二维核密度估计，并使用 twoway contour 或 twoway contourline 命令绘制三维的双变量联合核密度函数图。

* 命令安装
net install kdens2.pkg, replace

* 命令语法
kdens2 varnameY varnameX [if exp] [in range] [, options]

其中，options 如下：

• xwidth：变量 X 的带宽，默认为最优带宽；
• ywidth：变量 Y 的带宽，默认为最优带宽；
• n：估计使用的样本点数，默认为 min(N, 50)；
• saving：同时保存图片和数据；
• nodraw：不显示图片；
• color：将绘图命令从 twoway contourline 变为 twoway contour，即加入颜色分布。

同时 twoway contourline 和 twoway contour 中的相关选项也都可以使用：

• levels：设定组数；
• ccuts：设定起始值、结束值和组间距；
• ccolors：设定不同区域的颜色；
• scolor：设定起始颜色；
• ecolor：设定结束颜色。

3. Stata 实例

首先我们调用 Kleiber 和 Zeileis (2008) 的 Grunfeld.dta 数据集。接下来我们对数据进行简单处理，并设置一副白色的背景风格，以便于绘图：

. webuse grunfeld, clear       //调用数据
. /*
> 数据集为面板数据, 包括了企业截面和时间上的投资、市值等特征
> invest: 企业的投资额; mvalue: 企业的市值
> */
. gen linv = log(invest)
. label var linv "Log[Investment]"
. gen lmkt = log(mvalue)
. label var lmkt "Log[Mkt value]" 
. net install schemepack.pkg, replace //安装绘图模板 
. set scheme white_tableau            //设置绘图模板

我们可以通过 kdens2 绘制双变量联合核密度函数图，并通过 level 选项设定组数：

· kdens2 linv lmkt, levels(10)

通过使用 color 选项，我们可以加入颜色分布：

· kdens2 linv lmkt, levels(10) color

通过使用 ccuts、scolor、ecolor 选项，我们可以手动设定起始值、结束值、组间距和区域的颜色：

. kdens2 linv lmkt, color ccuts(0(.04).2) scolor(yellow) ecolo

4. 结语

kdens2 命令的出现填补了 Stata 中双变量联合核密度函数图绘制的空白，可以帮助我们直观地分析双变量的联合密度分布。但由于命令默认使用高斯乘积核，存在一定的局限性。

5. 参考资料

• Baum C. KDENS2: Stata module to estimate bivariate kernel density[J]. 2012. -Link-
• Stata manual: graph twoway contour -Link-
• Multivariate kernel density estimation -Link-
• 多维核密度估计 -Link-

6. 相关推文

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