Stata：一般化的因果中介分析

发布时间：2022-08-29 阅读 2655

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作者：曹昊煜 (兰州大学)
邮箱：caohy19@lzu.edu.cn

编者按：本文主要参考自以下内容，特此致谢！

Imai K, Keele L, Tingley D. A general approach to causal mediation analysis[J]. Psychological methods, 2010, 15(4): 309. -PDF-
Hicks R, Tingley D. Causal mediation analysis[J]. The Stata Journal, 2011, 11(4): 605-619. -PDF-

1. 引言

因果效应的识别是社会科学研究的关键。但是以随机试验为黄金标准的因果推断只能提供一个因果效应的 “黑箱”，也就是说试验方法只能说明干预是否导致了因果关系，而不能说明如何导致了结果变量的变化。因此，机制分析在研究干预和结果变量的路径中扮演了重要的角色。

在传统的社会科学研究中，因果机制分析主要依赖于线性结构方程模型 (Linear Structural Equation Models，LSEM)，由此可能引发三个方面的问题：

缺少因果中介效应的明确定义；
缺少关键的识别假定；
难以向非线性模型拓展。

本文将介绍一种因果中介效应的一般方法，该方法明确提出了因果中介效应的定义、识别、估计和敏感性分析，并且可以广泛应用于线性和非线性模型、参数和非参数模型、连续和离散中介变量，以及多种类型的结果变量。

2. 因果中介分析的统计框架

本小节将使用反事实框架介绍因果中介分析的模型框架。与以往模型相比，该模型清晰地定义了因果中介效应，并且对参数模型具有最少的条件，以及对不同的统计模型具有统一的假设。

2.1 反事实框架

在反事实框架中，因果效应定义为潜在结果的差。令 $T_{i}$ 代表二元干预变量。令 $Y_{i} (t)$ 代表潜在结果，例如 $Y_{i} (1)$ 表示个体 $i$ 受到干预的结果变量，尽管每个个体有两个潜在结果，但是我们只能观测到其中之一。令 $Y_{i}$ 为实际观测值，那么对于每个个体有 $Y_{i} = Y_{i} (T_{i})$ 。

在这种设定下，个体的因果效应表示为 $Y_{i} (1) - Y_{i} (0)$ 。由于二者只有一个可以观测，所以即使是随机试验也不能得到个体的因果效应。我们通常关心的是平均因果效应 (Average Treatment Effect，ATE)，即 $E (Y_{i} (1) - Y_{i} (0))$ 。如果再施加独立假定 $(Y_{i} (1), Y_{i} (0)) ⊥ T_{i}$ ，那么：

\begin{aligned} E (Y_{i} (1) - Y_{i} (0)) & = E (Y_{i} (1) | T_{i} = 1) - E (Y_{i} (0) | T_{i} = 0) \\ = E (Y_{i} | T_{i} = 1) - E (Y_{i} | T_{i} = 0) \end{aligned}

因果效应的估计可以简化为组间均值差异。除此之外，还需要假定个体之间不存在相互作用，这一点可以通过研究设计来解决，例如可以限制受到干预的个体不能来自同一个家庭。

2.2 定义因果中介效应

令 $M_{i}$ 表示可观测的中介变量。由于 $M_{i}$ 也会受到干预的影响，中介变量同样存在两个潜在结果 $M_{i} (1)$ 和 $M_{i} (0)$ ，记为 $M_{i} (T_{i})$ 。接着将潜在结果定义为干预变量和中介变量的函数，即 $Y_{i} (t, m)$ 。在研究中，可观测的结果变量为 $Y_{i} = Y_{i} (T_{i}, M_{i} (T_{i}))$ 。

在个体间不存在相互作用的条件下，因果中介效应可以写为：

δ_{i} (t) = Y_{i} = Y_{i} (t, M_{i} (1)) - Y_{i} = Y_{i} (t, M_{i} (0)) t = 0, 1

可以看出，因果中介效应体现了干预变量通过中介变量对结果变量的间接影响。其含义是当保持干预状态不变时，如果中介从控制条件 $M_{i} (0)$ 转换为干预条件 $M_{i} (1)$ ，结果变量会发生什么样的变化。以 $δ (1)$ 为例，其含义为 $Y_{i} (1, M_{i} (1))$ 与 $Y_{i} (1, M_{i} (0))$ 的差值，前者表示干预组的结果变量，后者表示当干预组的个体具有控制组的中介变量特征时的结果变量。

同理，可以定义直接效应：

ζ_{i} (t) = Y_{i} (1, M_{i} (t)) - Y (0, M_{i} (t)) t = 0, 1

将直接效应和间接效应相加可以得到总效应：

τ_{i} = Y_{i} (1, M_{i} (1)) - Y_{i} (0, M_{i} (0)) = \frac{1}{2} \sum_{t = 0}^{1} {δ_{i} (t) + ζ_{i} (t)}

由于潜在结果无法在个体层面直接观测，我们仍然关心的是平均因果中介效应、平均直接效应和平均总效应：

\bar{δ} (t) = E (Y_{i} (t, M_{i} (1)) - Y_{i} (t, M_{i} (0))) t = 0, 1

\bar{ζ} (t) = E (Y_{i} (1, M_{i} (t)) - Y_{i} (0, M_{i} (t))) t = 0, 1

\bar{τ} (t) = E (Y_{i} (1, M_{i} (1)) - Y_{i} (0, M_{i} (0))) = \frac{1}{2} \sum_{t = 0}^{1} {{\bar{δ}}_{i} (t) + {\bar{ζ}}_{i} (t)}

在某些情况下平均总效应可能非常小，但这并不意味着平均因果中介效应也很小，其原因可能是中介效应和直接效应异号。

2.3 顺序可忽略性假定

在因果中介分析中，推断主要依赖的假定是顺序可忽略性假定 (Sequential Ignorability Assumption)。令 $X_{i}$ 表是一系列干预前的混杂因子，其取值范围是 $χ$ 。引入假定：

{Y_{i} (t^{'}, m), M_{i} (t)} ⊥ T_{i} | X_{i} = x_{i}

Y_{i} (t^{'}, m) ⊥ M_{i} (t) | T_{i}, X_{i} = x_{i}

该假定称为顺序可忽略性假定。首先，给定可观测的混杂因素取值，干预状态是可以忽略的。其次，假定说明当干预状况和混杂因素给定时，中介因素是可忽略的。这两个假定在实证分析中都是无法直接检验的，因此需要借助敏感性分析。

2.4 非参数识别

在没有任何分布或函数假定时，使用非参数估计可以得到平均因果中介效应的一致估计。使用非参数方法有三个方面的原因：

第一，使得构建广义模型成为可能；
第二，可以在更弱的假定下估计因果中介效应；
第三，揭示了顺序可忽略性假定不依赖于特定模型的关键特征。

非参数识别定理：当顺序可忽略性假定成立时，以下条件分布是可识别的。该定理的含义在于，当顺序可忽略性假定成立时，潜在结果的分布可以被表示为观测数据的函数。在 LSEM 中，这些条件分布全部被设定为线性形式，而在本文的方法中，可以将之推广到其他非线性情形。

f (Y_{i} (t, M_{i} (t^{'})) | X_{i} = x_{i}) = \int_{M} f (Y_{i} | M_{i} = m, T_{i} = t, X_{i} = x) d F_{M_{i}} (m | T_{i} = t^{'}, X_{i} = x)

3. 线性结构方程模型情形

3.1 参数乘积的因果解释

在讨论一般模型之前，我们先来看一下潜在结果框架在特例 LSEM 中的应用。考虑如下的线性模型：

Y_{i} = α_{1} + β_{1} T_{i} + ξ_{1} X_{i} + ε_{i 1}

M_{i} = α_{2} + β_{2} T_{i} + ξ_{2} X_{i} + ε_{i 2}

Y_{i} = α_{3} + β_{3} T_{i} + γ M_{i} + ξ_{3} X_{i} + ε_{i 3}

在使用 OLS 估计之后，参数乘积 ${\hat{β}}_{2} \hat{γ}$ 即为中介效应。可以证明，当顺序可忽略性假定、无交互作用假定和线性模型假定成立时，该估计量是一个因果中介效应的有效估计。LSEM 实际上是本文方法的特例，使用潜在结果符号替代 LSEM 中的变量：

Y_{i} (T_{i}, M_{i} (T_{i})) = α_{1} + β_{1} T_{i} + ξ_{1} X_{i} + ε_{i 1} (T_{i}, M_{i} (T_{i}))

M_{i} (T_{i}) = α_{2} + β_{2} T_{i} + ξ_{2} X_{i} + ε_{i 2} (T_{i})

Y_{i} (T_{i}, M_{i} (T_{i})) = α_{3} + β_{3} T_{i} + γ M_{i} + ξ_{3} X_{i} + ε_{i 3} (T_{i}, M_{i} (T_{i}))

当顺序可忽略性假定成立时，平均中介因果效应为 $\bar{δ} (t) = β_{2} γ$ ，平均直接效应为 $\bar{ζ} (t) = β_{3}$ 。也就是说，相对于 LSEM，本文的方法使用了更少的假定。

3.2 放松无交互效应假定

无交互效应假定意味着 $\bar{δ} (1) = \bar{δ} (0)$ ，即干预变量和中介变量间不存在交互关系，平均直接效应和总效应也满足同样的等式。放松该假定可以将 LSEM 中的最后一个方程替换为：

Y_{i} = α_{3} + β_{3} T_{i} + γ M_{i} + κ T_{i} M_{i} + ξ_{3} X_{i}

此时中介关系依赖于干预状态，而因果中介效应、直接效应和总效应都会发生变化：

\bar{δ} (t) = β_{2} (γ + κ t)

\bar{ζ} (t) = β_{3} + κ {α_{2} + β_{2} t + ξ_{2} E (X_{i})}

\bar{τ} (t) = β_{2} γ + β_{3} + κ {α_{2} + β_{2} + ξ_{2} E (X_{i})}

其中， $t = 1, 2$ ，一致估计量可以通过 OLS 估计系数，并使用样本均值替换 $E (X_{i})$ 得到。

3.3 与工具变量的区别

现有研究中，工具变量也是研究因果中介效应的主要方法，而该方法依赖的是另外一系列假定：

可忽略性假定： ${Y_{i} (t^{'}, m), M_{i} (t)} ⊥ T_{i} | X_{i} = x$
单调性： $M_{i} (1) \geq M_{i} (0)$
无直接效应(排他性假定)： $Y_{i} (1, m) = Y_{i} (0, m)$

最后一个假定将直接效应约束为 0，也就说工具变量方法先验地排除了其他可能的因果中介，但这在社会科学的研究中通常是难以满足的。

4. 敏感性分析

正如前文所说，仅有随机分配是无法识别因果中介效应的，因此顺序可忽略性假定至关重要。由于该假定是不可直接验证的，所以需要使用敏感性分析来说明假定的合理性。敏感性分析主要基于 LSEM 中干扰项之间的相关性，即 $Cov (ε_{i 2}, ε_{i 3}) = ρ$ 。如果存在同时影响中介和结果变量的遗漏变量，那么干扰项间的相关性会上升。当顺序可忽略性假定成立时 $ρ = 0$ ，而非零的 $ρ$ 意味着背离假设。

我们可以将因果中介效应写为 $ρ$ 的函数。如果对 $ρ = 0$ 的微小背离会导致因果中介效应估计的大幅度改变，那么结果可能对顺序可忽略性假定很敏感。因果中介效应和 $ρ$ 的关系基于以下定理：考虑 LSEM 框架下的估计，如果顺序可忽略性的第二个关系不成立，即结果变量和中介变量之间存在相关性，并且有 $Cov (ε_{i 2}, ε_{i 3}) = ρ$ ，则平均因果中介效应为：

\bar{δ} (t) = \frac{β_{2} σ_{1 t}}{σ_{2 t}} {\tilde{ρ} - ρ \sqrt{(1 - {\tilde{ρ}}^{2}) / (1 - ρ^{2})}}

其中， $σ_{j t}^{2} = Var (σ_{j t} | T_{i} = t)$ ， $\tilde{ρ} = Corr (ε_{i 1}, ε_{i 2} | T_{i} = t)$ 。

该结果建立了因果中介效应与干扰项相关性之间的关联。我们在敏感性分析中需要考虑的是，当 $ρ$ 取值为多少时，因果中介效应会消失。以下图为例：

该结果是放松无交互效应后的敏感性分析，即 $\bar{δ} (0) \neq \bar{δ} (1)$ 。在左图中，当 $ρ = - 0.165$ 时，因果中介效应 $\bar{δ} (0) = 0$ ，当 $ρ = - 0.245$ 时， $\bar{δ} (1) = 0$ 。从置信区间上看，大约 $ρ = - 0.09$ 时， $\bar{δ} (0)$ 的区间估计包含了 0，而 $\bar{δ} (1)$ 包含 0 时，大约 $ρ = - 0.06$ 。没有确定的准则来说明结果是否是不稳健的，但如果另一项研究中 $\bar{δ} (0) = 0$ 的条件是 $ρ = 0.48$ ，则说明上图中的示例对 $ρ$ 更加敏感。

5. 推广到非线性模型

从 LSEM 框架向非线性模型的推广并非是简单地函数形式变化。例如当结果变量是离散形式时，Logistic 模型中的因果中介效应不再是参数的乘积形式。本文的方法适用于线性与非线性关系、参数与非参数模型、连续和离散中介和各类结果变量。

5.1 估计算法

我们观测到的一般是 $Y_{i} (T_{i}, M_{i} (T_{i}))$ ，而推断的目标是反事实结果 $Y_{i} (T_{i}, M_{i} (1 - T_{i}))$ 。以下定理说明了可以通过蒙特卡洛模拟来得到潜在结果变量 $Y_{i} (t, M_{i} (t^{'}))$ ，约束为 $X_{i} = x$ 。

为此，我们首先从建立的中介模型 $f (M_{i} | T_{i} = 1, X_{i} = x)$ 中抽样 $M_{i} (t^{'})$ ，给定中介特征，从结果变量模型 $f (Y_{i} | T_{i} = t, M_{i} (t^{'}))$ 抽取 $Y_{i} (t, M (t^{'}))$ 。前文的非参数识别定理保证了这一过程不依赖于统计模型，当我们得到了潜在结果的模拟后，就可以计算任意函数。

我们先考察参数模型中的估计算法，适用于中介或结果方程为 Probit 或 Logit 模型的情形：

Step1：使用观测到的结果和中介变量拟合模型；
Step2：从抽样分布中模拟模型参数；
Step3：重复以下三个步骤：
- 模拟中介的潜在值；
- 给定中介的潜在值之后模拟结果变量；
- 计算因果中介效应。
Step4：计算统计量，例如点估计或区间估计。

该步骤可以用于任何参数模型，并且模拟表明每一步中重复抽样 1000 次就会得到稳定的结果。在非参数或者半参数模型中，可以使用 bootstrap 方法来生成估计结果：

Step1：对每一个自抽样样本，重复以下四个步骤：
- 使用观测到的结果和中介变量拟合模型；
- 模拟中介的潜在值；
- 给定中介的潜在值之后模拟结果变量；
- 计算因果中介效应。
Step2：计算统计量，例如点估计或区间估计。

5.2 五种典型的非线性模型

5.2.1 分位数中介效应

到目前为止，该方法的主要应用是平均因果中介效应。但在研究中，有时关注的是结果变量的分布特征，此时需要估计的是分位数因果中介效应。实现这一目标的方式是将 LSEM 中的第三个方程变为分位数方程，注意参数乘积并不是我们所需要的估计结果，而是需要应用非参数算法。下图为中介效应和直接效应的分位数估计示例：

5.2.2 非参数与半参数回归

在 LSEM 中，平均因果中介效应的估计依赖于一系列线性假定，当我们希望放松这一假定时，需要使用非参数或者半参数模型，这两种方式允许我们在更宽松的假定下从数据中考察真实的关系。考虑以下的广义可加模型 (Generalized Additive Model，GAM)：

Y_{i} = α_{3} + β_{3} T_{i} + s (M_{i}) + ξ X_{i} + ε_{i 3}

其中， $s (\cdot)$ 是一个光滑的非线性函数，使用非参数方法估计，在 LSEM 中， $s (\cdot)$ 被假定为线性形式。同样可以放松无交互的假定，将模型扩展为以下形式：

Y_{i} = α_{3} + β_{3} T_{i} + s_{0} (M_{i}) (1 - T_{i}) + s_{1} (M_{i}) T_{i} + ξ X_{i} + ε_{i 3}

在非参数或者半参数模型中，相乘系数同样不是因果中介效应，使用非参数算法可以得到正确的估计。

5.2.3 离散中介与结果变量

如果中介变量是离散的，那么中介变量方程需要使用 Probit/Logit 模型，如果中介变量是多分类的，还需要使用 Order Probit 模型，尽管这些模型与线性模型非常类似，但是 LSEM 框架却不能直接应用。另一种情形下中介变量是连续的，而结果变量是离散的。首先需要定义此时的因果中介效应，再进行估计。没有协变量的模型设定为：

M_{i} = α_{2} + β_{2} T_{i} + ε_{2 i}

Y_{i} = 1 {Y_{i}^{*} > 0} i f Y_{i}^{*} = α_{3} + β_{3} T_{i} + γ M_{i} + ε_{3 i}

两个方程中的干扰项是独立同分布的，并且具有零均值和同方差性，即 $Var (ε_{2 i}) = σ_{2}^{2}$ 和 $Var (ε_{3 i}) = σ_{3}^{2}$ 。 $Y_{i}^{*}$ 是潜变量，当潜变量大于 0 时， $Y_{i}$ 的观测值去 1，此时结果变量方程可以使用 Probit/Logit 模型。

在 Logit 模型中，平均因果中介效应和平均总效应的形式为：

\bar{δ} (t) = H (α_{3} + β_{3} t + γ (α_{2} + β_{2})) - H (α_{3} + β_{3} t + γ α_{2})

\bar{τ} = H (α_{3} + β_{3} + γ (α_{2} + β_{2})) - H (a l p h a_{3} + γ α_{2})

其中， $H (\cdot)$ 是 $γ ε_{2 i} + ε_{3 i}$ 的分布函数。在 Probit 模型中，平均因果中介效应和平均总效应的形式为：

\bar{δ} (t) = Φ (\frac{α_{3} + β_{3} t + γ (α_{2} + β_{2})}{\sqrt{σ_{2}^{2} γ^{2} + 1}}) - Φ (\frac{α_{3} + β_{3} t + γ α_{2}}{\sqrt{σ_{2}^{2} γ^{2} + 1}})

令 $α_{1} = (α_{3} + γ α_{2}) / \sqrt{σ_{2}^{2} γ^{2} + 1}$ 和 $(γ β_{2} + β_{3}) / \sqrt{σ_{2}^{2} γ^{2} + 1}$ ，则：

\bar{τ} = Φ (α_{1} + β_{1}) - Φ (α_{1})

其中， $Φ (\cdot)$ 为标准正态分布的累积分布函数。通过模拟可知，与 Freedman 等 (1992) 和 MacKinnon 等 (2007) 两种估计离散结果变量的方式相比，本文的估计结果具有更好的统计性质。

在一些研究中，我们关注的是中介效应在总效应中的份额，使用如下方式计算：

v = \frac{{\bar{δ} (0) + \bar{δ} (1)} / 2}{τ}

可以看出，仅当分子和分母的符号相同时，该指标是有意义的。因此可以采取另一种计算方式：

\tilde{v} = \frac{γ β_{2}}{γ β_{2} + β_{3}}

5.2.4 连续处理变量

本文的方法也很容易推广到连续处理变量的情形，仅仅是符号表达会复杂化。此时个体的因果中介效应可以定义为：

δ_{i} (t, t_{1}, t_{0}) = Y_{i} (t, M (t_{1})) - Y_{i} (t, M (t_{0}))

当 $t$ 是离散变量时，该等式就与本文最初的定义相同，其期望形式 $E (δ_{i} (t, t_{1}, t_{0}))$ 即为平均因果中介效应。由于 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 是特定的取值，因此可以选择 $t_{0} = 0$ 为基准。基于此，可以使用一个更好的方式刻画 $t_{1}$ 与 0 之间的平均因果中介效应估计 $\int {\bar{δ}}_{i} (t, t_{1}, t_{0}) d F_{T_{i}} (t)$ 。

6. Stata 范例

在 Stata 中，我们可以使用 medeff 和 medsens 命令进行因果中介效应估计和敏感性分析。与理论部分相同，模型设定如下：