Stata-JPE论文重现：资本深化与非平衡经济增长

发布时间：2021-10-16 阅读 2492

Stata连享会主页 || 视频 || 推文 || 知乎 || Bilibili 站

温馨提示： 定期清理浏览器缓存，可以获得最佳浏览体验。

New！ lianxh 命令发布了：
随时搜索推文、Stata 资源。安装：
. ssc install lianxh
详情参见帮助文件 (有惊喜)：
. help lianxh
连享会新命令：cnssc, ihelp, rdbalance, gitee, installpkg

✌ 课程详情： https://gitee.com/lianxh/Course

⛳ 课程主页： https://gitee.com/lianxh/Course

⛳ Stata 系列推文：

全部 | Stata入门 | Stata教程 | Stata资源 | Stata命令
计量专题 | 论文写作 | 数据分享 | 专题课程
结果输出 | Stata绘图 | 数据处理 | Stata程序
回归分析 | 面板数据 | 交乘项-调节 | IV-GMM
内生性-因果推断 | 倍分法DID | 断点回归RDD | PSM-Matching | 合成控制法
Probit-Logit | 时间序列 | 空间计量 | 分位数回归 | 生存分析 | SFA-DEA
文本分析-爬虫 | Python-R-Matlab | 机器学习
Markdown | 工具软件 | 其它

☝ PDF下载 - 推文合集

作者： 陈文武 (湖南大学)
邮箱：wenwuchen@hnu.edu.cn

原文信息：

Acemoglu D, Guerrieri V, 2008. Capital Deepening and Nonbalanced Economic Growth[J]. Journal of Political Economy, 116(3): 467–498.

说明：
[1] 文章所有命题和定理的具体数学证明过程请见原文。本文目的在于阐述清楚文章的理论机制和方法，故不展示具体的数学证明过程。
[2] ⭕ 文章实证分析和数值分析部分的代码下载链接：https://economics.mit.edu/files/5052

1. 引言

传统经济增长模型的构建都力求与“卡尔多事实（Kaldor facts）”保持一致，即增长率、资本产出份额、资本收入份额以及利率在长期中都为保持不变的常数（Kaldor 1961; Denison 1974; Homer and Sylla 1991; Barro and Sala-i-Martin 2004）。然而，在平衡增长的背后，经济的产业结构无时不在发生重要变化（Kuznets 1957, 1973; Chenery 1960; Kongsamut, Rebelo and Xie, 2001）。

因此，最近一些文献构建了能够同时解释“卡尔多事实”与经济产业结构变化的经济增长模型（Matsuyama, 1992; Echevarria, 1997; Laitner, 2000; Caselli and Coleman, 2001; Kongsamut, Rebelo and Xie, 2001; Gollin, Parente, and Rogerson, 2002）。

这些文献主要强调了导致非平衡增长的需求方面的原因。具体的，不同商品之间的边际替代率随着经济增长而变化，从而直接导致经济中各部门的非平衡增长。然而，导致非平衡增长的供给方面的原因未得到充分关注。Baumol(1967)指出，供给方面不同部门生产率增长差异是导致经济非平衡增长的重要原因。

为了理清 Baumol(1967)所指出的供给方面因素导致非平衡增长的理论机制，作者构建了一个由劳动密集型和资本密集型两部门构成的增长模型。

直觉上，如果资本-劳动比率的增加使得资本密集型部门的产出增加得更多，资本深化的过程自然会导致非平衡经济增长。为了理清这一经济机制，作者构建了一个包括资本密集型部门和劳动密集型部门的两部门动态一般均衡。

在模型中，资本密集型部门和劳动密集型部门的生产都用 Cobb-Douglas 生产函数描述，最终产品生产以本密集型部门和劳动密集型部门的产出作为投入，并用常要素替代弹性生产函数描述。模型分析表明，模型经济均衡时在部门水平表现出非平衡增长，但在长期中与卡尔多事实保持一致。已有经验文献一般认为，在现实情形中，部门间要素替代弹性小于 1。此时，资本密集型部门相对于劳动密集型部门的产出增长得更快，但与此同时，资本密集型部门产出价格相对于其产出增长，下降幅度更大，从而导致其价格加权的产出价值相对于劳动密集型部门增长反而更慢。最后，本文模型分析还表明，资本和劳动会从产出增长更快的部门流动到其他部门。

图 1 显示了过年 60 年美国资本密集型部门与劳动密集型部门在产出、价格加权产出价值和劳动力投入三个方面的相对比例的辩护。图中产出比例、价格加权产出价值比例和劳动力投入比例的变化趋势与本文理论模型结论一致，即资本密集型部门的产出增长得更快，但劳动密集型部门的价格加权产出价值产出价值和劳动力投入增长得更快。

图1 1948-2005年美国资本密集型部门与劳动密集型部门的产出、价值和劳动投入比例

最后，在对本文模型参数校准的基础上，进行数值模拟分析。本文模型数值模拟产生的资本密集型部门相对增长率时间路径与美国经济过去 60 年的经验数据一致。例如，本文模型产生的资本密集型行业相对产出的增长，使得劳动密集型部门的相对就业从 1/6 增长到 1/3，这与美国 1948 年至 2004 年数据的变化相一致。数值模拟还表明，经济向渐近均衡配置收敛的过程非常缓慢，在转移路径上，资本收入份额和利率水平几乎恒定，这与卡尔多事实一致。

2. 非平衡增长模型

本节构建一个包含外生技术进步的两部门模型。

2.1 居户偏好与生产

代表性居户偏好为：

\int_{0}^{\infty} \exp (- (ρ - n) t) \frac{\tilde{c} (t)^{1 - θ} - 1}{1 - θ} (1)

其中 $\tilde{c} (t)$ 表示 $t$ 期人均消费， $ρ$ 表示时间偏好率， $θ \geq 0$ 表示跨期消费替代弹性的倒数（或相对风险厌恶系数）。劳动无弹性地供给，并等于人口规模 $L (t)$ ，人口增长率为 $n \in [0, ρ]$ ，因此有：

L (t) = \exp (n t) L (0) (2)

最终产品竞争性地生产，以部门 1 和部门 2 的产出作为投入，采用常要素替代生产函数：

Y (t) = F [Y_{1} (t, Y_{2} (t))] = [γ Y_{1} (t)^{(ε - 1) / ε} + (1 - γ) Y_{2} (t)^{(ε - 1) / ε}]^{ε / (ε - 1)} (3)

其中 $ε \in [0, \infty)]$ 表示替代弹性，参数 $γ \in (0, 1)$ 。部门 1 和部门 2 的生产都使用资本和劳动投入。资本折旧率为 $δ \geq 0$ 。

经济总资源约束为：

\dot{K} (t) + δ K (t) + C (t) \leq Y (t) (4)

其中 $C (t) \equiv \tilde{c} (t) L (t)$ 表示总消费，投资包括新增加的资本 $\dot{K} (t)$ 和折旧 $δ K (t)$ 。

部门 1 和部门 2 的产出都竞争性地生产，生产函数为：

Y_{1} (t) = M_{1} (t) L_{1} (t)^{α_{1}} K_{1} (t)^{1 - α_{1}} Y_{2} (t) = M_{2} (t) L_{2} (t)^{α_{2}} K_{2} (t)^{1 - α_{2}} (5)

其中 $K_{1}$ ， $L_{1}$ ， $K_{2}$ 和 $L_{2}$ 分别表示部门 1 和部门 2 的资本投入、劳动投入。

如果 $α_{1} = α_{2}$ ，则最终产生生产函数为标准的 Cobb-Douglas 生产函数形式。本文关注 $α_{1} \neq α_{2}$ 的情形。不失一般性，我们做出以下假设。

假设 1 部门 1 是劳动密集型部门，部门 2 是资本密集型部门，即：

Δ = α_{1} - α_{2} > 0

部门 1 和部门 2 的技术进步都外生，技术进步率分别为：

\frac{\dot{M_{1}} (t)}{M_{1} (t)} = m_{1} > 0, \frac{\dot{M_{2}} (t)}{M_{2} (t)} = m_{2} > 0 (6)

资本市场出清条件：

K_{1} (t) + K_{2} (t) \leq K (t) (7)

其中 $K$ 表示总资本存量。

劳动力市场出清条件：

L_{1} (t) + L_{2} (t) \leq L (t) (8)

其中 $L$ 表示总劳动。

2.2 竞争均衡与社会规划问题

令 $R$ 表示资本租金率， $ω$ 表示工资率， $r$ 表示利率。此外，令 $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 分别表示 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 的价格。将最终产品价格标准化为 1，因此有：

1 \equiv P (t) = [γ^{ε} p_{1} (t)^{1 - ε} + (1 - γ)^{ε} p_{2} (t)^{1 - ε}]^{1 / (1 - ε)} (9)

竞争均衡定义为要素投入和中间产品价格的时间路径 $[r (t), ω (t), p_{1} (t), p_{2} (t)]_{t \geq 0}$ ；劳动和资本配置 $[L_{1} (t), L_{2} (t), K_{1} (t), K (2)]_{t \geq 0}$ 使得企业实现利润最大化，资本市场和劳动市场出清；消费和投资决策 $[c (t), \dot{K} (t)]_{t \geq 0}$ 使得代表性居户实现效用最大化。

由于市场是完全的和竞争性的，由第二福利定理可知，竞争均衡与社会规划均衡等价。因此，我们可以通过求解社会规划问题来刻画竞争均衡。社会规划（Social Planner, SP）问题为：

\begin{matrix} (SP) & max \int_{0}^{\infty} \exp [- (ρ - n) t] \frac{\tilde{c} (t)^{1 - θ} - 1}{1 - θ} d t \end{matrix}

受到（2）、（6）、（7）、（8）式的约束，并受到以下资源约束：

\dot{K} (t) + δ K (t) + \tilde{c} (t) L (t) \leq Y (t) = F [M_{1} (t) L_{1} (t)^{α_{1}} K_{1} (t)^{1 - α_{1}}, M_{2} (t) L_{2} (t)^{α_{2}} K_{2} (t)^{1 - α_{2}}] (10)

给定初始值 $K (0) > 0$ ， $L (0) > 0$ ， $M_{1} (0) > 0$ ， $M_{2} (0) > 0$ 。

求解上述动态最优化问题，约束式乘子则为相应的竞争性价格。例如，给定（9）式最终产品标准化价格，这相当于约束式（10）的乘子被标准化为 1，而约束式（7）和（8）的乘子则分别给出了资本租金率 $R (t) = r (t) + δ$ 和劳动工资率 $ω (t)$ 。由此可知中间产品价格为：

p_{1} (t) = γ [\frac{Y_{1} (t)}{Y (t)}]^{- 1 / ε}, p_{2} (t) = (1 - γ) [\frac{Y_{2} (t)}{Y (t)}]^{- 1 / ε} (11)

2.3 静态均衡

社会规划者问题的求解可分为两步。第一，在给定状态变量 $K (t)$ ， $L (t)$ ， $M_{1} (t)$ 和 $M_{2} (t)$ 的条件下，求解要素配置 $L_{1} (t)$ ， $L_{2} (t)$ ， $K_{1} (t)$ ， $K_{2} (t)$ 使得最终产品产出 $Y (t) = F [Y_{1} (t), Y_{2} (t)]$ 最大化。第二，在最优要素配置的基础上，求解 $K (t)$ 和 $\tilde{c} (t)$ ，使得目标函数最大化。这两步分别对应静态最优配置（静态均衡）和动态最优配置（动态均衡）。本节求解静态均衡，下一节求解动态均衡。

首先定义给定资本存量时的产出最大值函数为：

Φ (K (t), t) = max_{L_{1} (t), L_{2} (t), K_{1} (t), K_{2} (t)} F [Y_{1} (t), Y_{2} (t)] (12)

约束条件为（5）、（6）、（7）、（8）式，以及给定 $K (t) > 0$ ， $L (t) > 0$ ， $M_{1} (t) > 0$ 和 $M_{2} (t) > 0$ 。显然，上述最优化问题的一阶条件为部门 1 和部门 2 的资本、劳动边际产出分别相等，即：

γ α_{1} [\frac{Y (t)}{Y_{1} (t)}]^{1 / ε} \frac{Y_{1} (t)}{L_{1} (t)} = (1 - γ) α_{2} [\frac{Y (t)}{Y_{2} (t)}]^{1 / ε} \frac{Y_{2} (t)}{L_{2} (t)} (13)

γ (1 - α_{1}) [\frac{Y (t)}{Y_{1} (t)}]^{1 / ε} \frac{Y_{1} (t)}{K_{1} (t)} = (1 - γ) (1 - α_{2}) [\frac{Y (t)}{Y_{2} (t)}]^{1 / ε} \frac{Y_{2} (t)}{K_{2} (t)} (14)

由于上述静态最优化问题的关键决策是确定资本、劳动在两个部门的投入占比，我们定义劳动密集型部门（部门 1）的资本投入占比和劳动投入占比分别为：

κ (t) \equiv \frac{K_{1} (t)}{K (t)}, λ (t) \equiv \frac{L_{1} (t)}{L (t)}

显然，我们有 $1 - κ (t) \equiv K_{2} / K (t)$ ， $λ (t) \equiv L_{2} (t) / L (t)$ 。将上式代入（13）、（14）式，得到：

κ (t) = {1 + (\frac{1 - α_{2}}{1 - α_{1}}) (\frac{1 - γ}{γ}) [\frac{Y_{1} (t)}{Y_{2} (t)}]}^{- 1} (15)

以及：

λ (t) = {1 + (\frac{1 - α_{2}}{1 - α_{1}}) (\frac{α_{2}}{α_{1}}) [\frac{1 - κ (t)}{κ (t)}]}^{- 1} (16)

（16）式表明，在任意时期 $t$ ，部门 1（劳动密集型部门）的劳动投入占比 $λ (t)$ 关于资本投入占比 $κ (t)$ 严格递增。下面命题 1 给出了劳动密集型部门的资本投入占比如何随着资本积累和技术进步而变化。

命题 1 在竞争均衡中，有：

\begin{aligned} \frac{d \ln κ (t)}{d \ln K (t)} & = - \frac{d \ln κ (t)}{d \ln L (t)} \\ = \frac{(1 - ε) Δ [1 - κ (t)]}{1 + (1 - ε) Δ [κ (t) - λ (t)]} > 0 \Leftrightarrow Δ (1 - ε) > 0 (17) \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{d \ln κ (t)}{d \ln M_{2} (t)} & = - \frac{d \ln κ (t)}{d \ln M_{1} (t)} \\ = \frac{(1 - ε) [1 - κ (t)]}{1 + (1 - ε) Δ [κ (t) - λ (t)]} > 0 \Leftrightarrow ε < 1 (18) \end{aligned}

（17）式表明，当 $ε < 1$ 时，劳动密集型部门的资本投入占比随着资本深化而增加；当 $ε > 1$ 时，劳动密集型部门的资本投入占比随着资本深化而减少。该结论的经济直觉是，注意到如果 $K$ 增加， $κ$ 保持不变，则资本密集型部门和劳动密集型部门的资本投入等比例的增加，那么资本密集型部门的产出增加得更多。再由（11）式表示的中间产品价格可知，当 $ε < 1$ 时，资本密集型部门产出价格降低幅度大于其产出增加增加幅度，从而资本密集型部门的资本边际收益小于劳动密集型部门资本边际收益，进而导致更多的资本流入到劳动密集型部门。当 $ε > 1$ ，其经济直觉类似。上述命题的重要含义是，只要 $ε \neq 1$ ，且存在资本深化（即 $K / L$ 随时间递增），则经济增长是非平衡的，资本密集型部门和劳动密集型部门的资本投入增加是不等比例的。

（18）式表明，如果替代弹性 $ε < 1$ ，则劳动密集型部门的技术进步导致该部门资本投入占比降低。该结论的经济直觉与上一个结论类似：当 $ε < 1$ ，劳动密集型部门的技术进步导致其产量提高，同时导致劳动密集型部门产品价格下降得更多，进而使得资本投入从劳动密集型部门流动至资本密集型部门（当 $ε > 1$ 时，经济直觉类似）。

代入（16）式，即可将命题 1 关于 $κ$ 的结论应用于 $λ$ 。具体的，我们有 $d \ln λ (t) / d \ln K (t) = - d \ln λ (t) / d \ln L (t) > 0$ ， $Δ (1 - ε) > 0$ 。

均衡要素价格 $R$ 和 $ω$ 分别与约束式（7）和（8）的乘子相对应，因而有：

ω (t) = γ α_{1} [\frac{Y (t)}{Y_{1} (t)}]^{1 / ε} \frac{Y_{1} (t)}{L_{1} (t)} (19)

R (t) = Φ_{K} (K (t), t) = γ (1 - α_{1}) [\frac{Y (t)}{Y_{1} (t)}]^{1 / ε} \frac{Y_{1} (t)}{K_{1} (t)} (20)

其中 $Φ_{K} (K (t), t)$ 表示最大值产出函数 $Φ_{(} K (t), t)$ 关于资本 $K$ 的倒数。与往常一样，均衡要素价格等于由（10）式得到的最大值产出函数的边际产出。为了获得对经济机制的直觉，接下来我们分析状态变量 $L$ 、 $K$ 、 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ 对均衡要素价格的影响。用（19）式除以（20）式，得到相对要素价格：

\frac{ω (t)}{R (t)} = \frac{α_{1}}{1 - α_{1}} \frac{κ (t) K (t)}{λ (t) L (t)} (21)

以及资本收入份额：

σ_{K} (t) \equiv \frac{R (t) K (t)}{Y (t)} = γ (1 - α_{1}) [\frac{Y (t)}{Y_{1} (t)}]^{(1 - ε) / ε} κ (t)^{- 1} (22)

由此可得以下命题。

命题 2 在竞争均衡中有：

\frac{d \ln [ω (t) / R (t)]}{d \ln K (t)} = - \frac{d \ln [ω (t) / R (t)]}{d \ln L (t)} = \frac{1}{1 + (1 - ε) Δ [κ (t) - λ (t)]} > 0

\begin{aligned} \frac{d \ln [ω (t) / R (t)]}{d \ln M_{2} (t)} & = - \frac{d \ln [ω (t) / R (t)]}{d \ln M_{1} (t)} \\ = - \frac{(1 - ε) [κ (t) - λ (t)]}{1 + (1 - ε) Δ [κ (t) - λ (t)]} < 0 \\ \Leftrightarrow Δ (1 - ε) > 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{d \ln σ_{K} (t)}{d \ln K (t)} & = - \frac{(1 - ε) Δ^{2} [1 - κ (t)] κ (t)}{[1 - α_{1} + Δ κ (t)] {1 + (1 - ε) Δ [κ (t) - λ (t)]}} < 0 \\ \Leftrightarrow ε < 1 (23) \end{aligned}

以及：

\begin{aligned} \frac{d \ln σ_{K} (t)}{d \ln M_{2} (t)} & = - \frac{d \ln σ_{K} (t)}{d \ln M_{1} (t)} \\ = \frac{Δ (1 - ε) [1 - κ (t)] κ (t)}{[1 - α_{1} + Δ κ (t)] {1 + (1 - ε) Δ [κ (t) - λ (t)]}} < 0 \\ \Leftrightarrow Δ (1 - ε) > 0 (24) \end{aligned}

命题 2 中最重要的结论是（23）式，其将资本存量对资本收入份额的影响与部门替代弹性 $ε$ 联系起来。（23）式表明，资本收入份额与资本存量之�