Stata：使用历史工具变量评估长期效应-esteta

发布时间：2023-06-08 阅读 928

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作者: 黄晨晨 (厦门大学)
邮箱: chens_huang@163.com

编者按：本文主要摘译自下文，特此致谢！
Source：Casey, G., & Klemp, M. (2021). Historical instruments and contemporary endogenous regressors. Journal of Development Economics, 149, 102586. -Link- -PDF- -Replication1- -Replication2-

1. 简介

在经济学研究中，内生性问题一直是一个重要的挑战。越来越多的研究使用历史工具变量来解决内生性问题。在连享会推文 IV在哪里？奇思妙想的工具变量中也列举了通过历史因素寻找工具变量的例子。

但是，当工具变量的影响和内生变量的测量之间存在时间差距时，传统的 IV 回归并不能得到参数的一致估计。为此，Gregory Casey 和 Marc Klemp 提出了一个简单框架来估计内生变量的长期影响，并且以 Acemoglu et al. (2001，PDF) 的研究为例检验这种偏差校正方法的效果。

下面，本文将详细介绍 Casey and Klemp (2021) 提出的方法，以及对应的 Stata 实操。

2. 理论基础

2.1 问题缘起

下图中展示了作者的基本思路。其中， $X$ 代表内生解释变量，并且是时变的。 $Y_{C}$ 代表因变量。作者用下标 $H$ 代表历史时期，即工具变量最开始对 $X$ 产生影响的时期。用下标 $C$ 代表当前时期，即 $Y_{C}$ 被测算的时期。假设 $Z_{H}$ 是 $X_{H}$ 的有效工具变量，但是 $X_{H}$ 未被观测。

作者认为，这张图的第一行 (忽略 $A_{C}$ ) 在大多数情况下提供了一幅不完整的潜在动态图。原因如下：

如果有充足的理由认为在当前时期 $X_{C}$ 会影响 $Y_{C}$ ，那么，通常在历史时期 $X_{H}$ 也会影响 $Y_{H}$ 。如果 $Y$ 存在持久性，或者 $X_{H}$ 影响 $Y_{H}$ 的因素具有持久性，那么 $X_{H}$ 对 $Y_{C}$ 的因果影响将不是由 $X_{C}$ 介导的。这一动态过程是复杂的，在图中用 $A_{C}$ 来表示。在大部分应用中，不太可能观测到 $A_{C}$ 的所有成分，因此，假设 $A_{C}$ 是未被观测的。

2.2 工具变量回归的解释

为了说明问题，作者以 Acemoglu et al. (2001) 为例进行实验。在 Acemoglu et al. (2001) 的研究中， $Z_{H}$ 是殖民者死亡率， $Y_{C}$ 是人均 GDP， $X$ 是制度。 $A_{C}$ 可以是物质资本、人力资本、技术或文化。数据生成过程如下：

X_{H, i} = ψ Z_{H, i} + ε_{X_{H}, i} (1)

X_{C, i} = δ X_{H, i} + ε_{X_{C}, i} (2)

A_{C, i} = γ X_{H, i} + ε_{A, i} (3)

Y_{C, i} = β_{1} X_{C, i} + β_{2} A_{C, i} + ε_{Y, i} (4)

在标准微观经济学设置中使用工具变量来估计 $X$ 的同期因果效应， $\frac{\partial Y_{C}}{\partial X_{C}} = β_{1}$ 。假设使用 $Z_{H, i}$ 作为 $X_{C, i}$ 的工具变量，需要估计的模型如下：

Y_{C, i} = b_{0} + b_{1} X_{C, i} + {\tilde{ε}}_{i} (5)

考虑前文提出的框架，则 ${\tilde{ε}}_{i} = β_{2} A_{C, i} + ε_{Y, i}$ 。由于反向因果关系或遗漏变量， $Cov (X_{C}, \tilde{ε}) \neq 0$ ，因此需要使用工具变量。在这里需要特别注意 $A_{C}$ ，这是一种特殊的遗漏变量。很显然，当前的模型不能一致地估计 $β_{1}$ ，原因如下：

Cov (Z_{H}, A_{C}) \neq 0 \Rightarrow Cov (Z_{H}, {\tilde{ε}}_{Y}) \neq 0

虽然这显然是一个计量经济学问题，但尚不清楚 $β_{1}$ 是否始终是我们感兴趣的真实参数。在研究中，学者们通常认为公式 (5) 提供了有关历史因素对当代结果的长期影响的信息。因此， $X$ 的长期因果效应 ( $η \equiv \frac{\partial Y_{C}}{\partial X_{H}}$ ) 往往是一个关键参数，可以写出以下方程：

Y_{C, i} = (δ β_{1} + β_{2} γ) X_{H, i} + μ_{i} (6)

其中， $μ_{i} = ε_{Y, i} + β_{1} ε_{X_{C, i}} + β_{2} ε_{A, i}$ ，所以 $η = δ β_{1} + β_{2} γ$ 。我们关注的另一个重要参数是 $\frac{\partial X_{C}}{\partial X_{H}} = δ$ ，该参数衡量 $X$ 的历史变化的持久性。如果 $δ$ >1，意味着内生变量在受到冲击后偏离其原始路径。如果 $δ < 1$ ，意味着内生变量收敛回到原来的路径，冲击消失。

在讨论工具 $Z_{H}$ 的有效性时，文献集中在它外生地改变 $X_{H}$ 这一事实上。因此，我们提出第一个假设：

Cov (Z_{H}, ε_{Y}) = Cov (Z_{H}, ε_{X_{C}}) = Cov (Z_{H}, ε_{A}) = 0 (7)

在假设下，以 $Z_{H}$ 为工具变量对公式 (5) 进行估计，得到：

\begin{aligned} plim {\hat{b}}_{1}^{I V} & = \frac{Cov (Y_{C}, Z_{H})}{Cov (X_{C}, Z_{H})} \\ = \frac{β_{1} Cov (X_{C}, Z_{H}) + β_{2} Cov (A_{C}, Z_{H})}{Cov (X_{C}, Z_{H})} \\ = β_{1} + \frac{β_{2} γ}{δ} = \frac{η}{δ} \end{aligned} (8)

2.3 长期效应估计

在本节中，我们将展示当未观察到 $X_{H}$ 时如何估计 $η$ 。为了估计 $δ$ ，我们在两个中间时间点使用 $X$ 的度量。因此，作者对 2.2 部分的框架进行扩展，使它允许两个以上的时期：

X_{t, i} = κ_{X_{t}} + δ X_{t - 1, i} + ε_{X_{t}, i}, \forall t = 1 \dots C, t \neq H (9)

X_{H, i} = κ_{X_{H}} + δ X_{H - 1, i} + ψ Z_{H, i} + ε_{X_{H}, i} (10)

A_{C, i} = κ_{A} + γ X_{H, i} + ε_{A, i} (11)

Y_{C, i} = κ_{Y} + β_{1} X_{C, i} + β_{2} A_{C, i} + ε_{Y, i} (12)

同时，作者提出第二个假设：

Cov (Z_{H}, ε_{Y_{C}}) = Cov (Z_{H}, ε_{A_{C}}) = Cov (Z_{H}, ε_{X_{t}}) = 0 \forall t (13)

这种方法要求在两个不同的时间点观测 $X$ 。作者将这些时间段标记为 $T$ 和 $T - Q$ 。根据假设，我们没有观察到 $X_{H}$ ，这意味着 $T - Q > H$ 。现在，我们解决了 $X_{T}$ 和 $X_{T - Q}$ 的值之间的关系，我们将使用它来估计持久性的程度， $\frac{\partial X_{C}}{\partial X_{H}}$ 。要做到这一点，我们在 (9) 的基础上得到：

X_{T, i} = κ_{X_{T}} + δ X_{T - 1, i} + ε_{X_{T}, i} = {\tilde{κ}}_{X} + δ^{Q} X_{T - Q, i} + {\tilde{ε}}_{X, i} (14)

其中， ${\tilde{κ}}_{X} = \sum_{k = 0}^{Q - 1} δ^{k} κ_{X_{T - k}}$ 是一个常数， ${\tilde{ε}}_{X, i} = \sum_{k = 0}^{Q - 1} δ^{k} ε_{X_{T - k}, i}$ 是一个特定于观测的误差项。

现在考虑 IV 回归方程：

X_{T, i} = a_{0} + a_{1} X_{T - Q, i} + a_{2, i} (15)

$Z_{H}$ 是 $X_{T - Q}$ 的工具变量。根据 (14)，估计得出：

plim {\hat{a}}_{1} = δ^{Q} (17)

这是在 $Q$ 个时期内的持久性的总程度。接下来，我们转向 $X$ 和 $Y$ 之间的关系。得到方程如下：

Y_{C, i} = {\tilde{β}}_{0} + (β_{1} δ^{C - H} + β_{2} γ) X_{H, i} + {\tilde{ϵ}}_{i} (18)

其中， ${\tilde{β}}_{0} = κ_{X_{C}} + β_{1} \sum_{k = 0}^{C - H - 1} δ^{k} κ_{X_{T - k}} + β_{2} κ_{A}$ ， ${\tilde{ϵ}}_{i} = β_{1} \sum_{k = 0}^{Q - 1} δ^{k} ε_{X_{T - k}, i} + ε_{X_{C}, i} + β_{2} ε_{A, i}$ 。 $η \equiv \frac{\partial Y_{C}}{\partial X_{H}} = β_{1} δ^{C - H} + β_{2} γ$ 。接下来考虑传统的IV回归，

Y_{C, i} = b_{0} + b_{1} X_{C, i} + b_{2, i} (19)

与我们在第 2.1 节中的结果类似，我们可以得到：

plim {\hat{b}}_{1} = \frac{β_{1} δ^{C - H} + β_{2} γ}{δ^{C - H}} = \frac{η}{δ^{C - H}} (20)

为了计算 $η$ ，简单地将 (17) 和 (20) 结合，得到：

η = (plim {\hat{b}}_{1}) {(plim {\hat{a}}_{1})}^{\frac{C - H}{Q}} (21)

3. Stata 实操

3.1 esteta 命令介绍

esteta 命令安装：

ssc install esteta, replace

esteta 命令语法：

esteta y x2 x1 [if exp] 
   instruments(varlist) 
   t_y(real) t_x2(real) t_x1(real) 
   t_eta(real) [, controls(varlist)]

其中，

instruments(varlist)：排除在外的历史工具变量列表；
t_y(varlist)：因变量 y 的时间段 (例如，年)；
t_x2(varlist)：当代内生变量的后期度量 (x2) 的时间段 (例如，年)；
t_x1(varlist)：当代内生变量的前期度量 (x1) 的时间段 (例如，年)；
t_eta(varlist)：历史工具变量影响的时间段 (例如，年)；
controls(varlist)：控制变量。

3.2 esteta 命令实操

在此以 Acemoglu et al. (2001) 为例，展示 esteta 命令的使用，本部分所用的代码和数据由 Marc Klemp 提供。Acemoglu et al. (2001) 研究的是制度对经济发展的影响。其中，

内生解释变量制度 avgexconst1960s 用 Polity5 dataset 中的 Constraints on the Executive 衡量；
因变量 loggdp1990s 是 20 世纪 90 年代人均 GDP 自然对数的平均值，测算时间是 1995 年；
工具变量 logem4_capped 是殖民者死亡率；
wb_* 和 labslat 是控制变量。

首先，使用 ivreg2 进行传统 2SLS 估计：

. lxhget replication_ck_2021.zip, replace
. unzipfile replication_ck_2021.zip, replace
. use ./replication_ck_2021/sample, clear 
. ivreg2 loggdp1990s (avgexconst1960s=logem4_capped) wb_* labslat, r

Warning - collinearities detected
Vars dropped:       wb_eca wb_ssa
IV (2SLS) estimation
--------------------
Estimates efficient for homoskedasticity only
Statistics robust to heteroskedasticity
                                       Number of obs =      56
                                       F(  7,    48) =   46.80
                                       Prob > F      =  0.0000
Total (centered) SS   =  57.36099115   Centered R2   =  0.4027
Total (uncentered) SS =  4161.478487   Uncentered R2 =  0.9918
Residual SS           =  34.25940976   Root MSE      =   .7822
--------------------------------------------------------------
                |           Robust                            
    loggdp1990s |  Coeff      S.E.    z    P>|z|     [95% CI]
----------------+---------------------------------------------
avgexconst1960s |  0.433     0.135   3.20  0.001   0.167 0.698
         wb_eap |  1.269     0.354   3.59  0.000   0.576 1.962
         wb_eca |  0.000 (omitted)                             
         wb_lac |  1.069     0.207   5.17  0.000   0.664 1.474
        wb_mena |  1.751     0.405   4.32  0.000   0.957 2.546
         wb_nam |  1.354     0.441   3.07  0.002   0.490 2.218
         wb_sas | -0.492     0.554  -0.89  0.375  -1.578 0.594
         wb_ssa |  0.000 (omitted)                             
        labslat | -0.109     0.172  -0.64  0.525  -0.446 0.228
          _cons |  6.579     0.582  11.30  0.000   5.438 7.721
--------------------------------------------------------------

接下来考虑内生变量持久性：

. ivreg2 avgexconst1960s (cons00=logem4_capped) wb_* labslat, r

Warning - collinearities detected
Vars dropped:       wb_eca wb_ssa
IV (2SLS) estimation
--------------------
Estimates efficient for homoskedasticity only
Statistics robust to heteroskedasticity
                                      Number of obs =      56
                                      F(  7,    48) =   51.99
                                      Prob > F      =  0.0000
Total (centered) SS   = 207.4161495   Centered R2   =  0.1909
Total (uncentered) SS = 937.6831268   Uncentered R2 =  0.8210
Residual SS           = 167.8298014   Root MSE      =   1.731
-------------------------------------------------------------
             |            Robust                             
avgexc~1960s |  Coeff       S.E.     z   P>|z|     [95% CI]  
-------------+-----------------------------------------------
     cons00a |  0.693      0.452   1.53  0.125  -0.193  1.579
      wb_eap |  0.265      1.074   0.25  0.805  -1.840  2.370
      wb_eca |  0.000  (omitted)                             
      wb_lac | -0.147      0.936  -0.16  0.875  -1.981  1.688
     wb_mena | -1.777      0.913  -1.95  0.052  -3.566  0.013
      wb_nam |  0.503      2.570   0.20  0.845  -4.534  5.541
      wb_sas |  2.620      1.155   2.27  0.023   0.356  4.884
      wb_ssa |  0.000  (omitted)                             
     labslat | -0.251      0.277  -0.90  0.366  -0.794  0.292
       _cons |  2.618      0.492   5.33  0.000   1.654  3.581
-------------------------------------------------------------

接着，利用 test 对持久度进行 Wald Test：

.  test cons00 == 1

 (1)  cons00a = 1
           chi2(  1) =    0.46
         Prob > chi2 =    0.4964

最后，通过 esteta 计算长期效应：

. esteta loggdp1990s  avgexconst1960s  cons00,  ///
    t_y(1995) t_x2(1965) t_x1(1900) t_eta(1800) ///
    instruments(logem4_capped)                  ///
    controls(wb_* labslat)

-----------------------------------------------
    | Coeff   S.E.    z   P>|z|     [95% CI]   
----+------------------------------------------
eta | 0.144  0.279  0.51  0.607  -0.403   0.691
-----------------------------------------------

结果展示在表 1 的第三列。我们可以发现估计的长期系数 (0.144) 仅为传统 IV 估计 (0.433) 的三分之一，结果表明传统的 IV 回归高估了长期效应。之所以会出现这种情况，是因为制度不够持久 ( $δ < 1$ )。因此，考虑内生解释变量的持久性对于估计长期效应很重要。

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Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh 工具变量, m
安装最新版 lianxh 命令：
ssc install lianxh, replace

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Stata：使用历史工具变量评估长期效应-esteta

1. 简介

2. 理论基础

2.1 问题缘起

2.2 工具变量回归的解释

2.3 长期效应估计

3. Stata 实操

3.1 esteta 命令介绍

3.2 esteta 命令实操

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