Stata：普通年金现值系数表

发布时间：2020-10-09 阅读 2986

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作者：连玉君 (中山大学)
E-Mail: arlionn@163.com

1. 普通年金现值

普通年金现值是以计算期期末为基准，在给定投资报酬率下按照货币时间价值计算出的未来一段期间内每年或每月收取或给付的年金现金流的折现值之和。类似普通年金终值，计算普通年金现值时，同样要考虑到现金流是期初年金还是期末年金。

设每年的收付金额为 $A$ ，利率为 $i$ ，期数为 $n$ ，则年金的现值为：

\begin{aligned} P (A, i, n) & = \frac{A}{1 + i} + \frac{A}{(1 + i)^{2}} + \dots + \frac{A}{(1 + i)^{n}} \\ = A \times [\frac{1}{1 + i} + \frac{1}{(1 + i)^{2}} + \dots + \frac{1}{(1 + i)^{n}}] \\ = A \times \sum_{t = 1}^{n} \frac{1}{(1 + i)^{t}} (1) \end{aligned}

两边同时乘以 $(1 + i)$ 得

\begin{aligned} P (A, i, n) \times (1 + i) & = A + \frac{A}{1 + i} + \frac{A}{(1 + i)^{2}} + \dots + \frac{A}{(1 + i)^{n - 1}} \\ = A \times \sum_{t = 0}^{n - 1} \frac{1}{(1 + i)^{t}} (2) \end{aligned}

式 (1) 减去式 (2) 得：

P (A, i, n) \times i = A - \frac{A}{(1 + i)^{n}} = A \times [1 - \frac{1}{(1 + i)^{n}}]

由此可得年金的现值公式为：

P (A, i, n) = A \times \frac{1}{i} [1 - \frac{1}{(1 + i)^{n}}] (3)

例如：某公司租用某设备，每年年末需要支付租金 100 元，年利率为 10%，问 5 年内应支付的租金总额的现值是多少?

P = 100 \times \frac{1 - (1 + 10 %)^{- 5}}{10 %} = 100 \times (P / A, 10 %, 5) \times 3.791 = 379.1

2. 年金现值系数

如果年金的期数 $n$ 很多，用上述方法计算现值显然相当繁琐。由于每年支付额相等，折算现值的系数又是有规律的，所以，可找出简便的计算方法。

在 (3) 式中，我们通常把 $(1 / i) [1 - 1 / (1 + i)^{n}]$ 称为「年金系数」，记为 ${ADF}_{i, n}$ 或 ${PVIFA}_{i, n}$ ，或 $(P / A, i, n)$ ，即：

{ADF}_{i, n} = \frac{1}{i} [1 - \frac{1}{(1 + i)^{n}}]

在网上很容易查到「年金现值系数表」，如年金现值系数(P/A,i,n)表，年金现值系数表。

其实，我们可以用 Stata 快速生成私人定制版本的「年金现值系数表」，参数的选取可以非常灵活。

简单范例： 王叔想现在存入一笔钱，准备在以后三年中每年年末得到 10000 元，如果利率为 $6 %$ , 现在应存入多少钱?

在本例中, 根据「年金现值系数」公式可得,

P / A = (P / A, 0.06, 3) = \frac{1}{0.06} - \frac{1}{0.06 \times (1 + 0.06)^{3}} = 2.673

相应的 Stata 代码如下：

*  PVA = A*[1-1/(1+`i')^n]
*    A = PVA * 1/[1-1/(1+`i')^n]

. local i=0.06

. local n=3

. dis (1-1/(1+`i')^`n')/`i'
2.6730119

因此，王叔需要现在存入 $P = A \times (P / A) = 10000 \times 2.673 = 26, 730 元$ 。

3. 年金现值系数表及 Stata 实现

上述计算过程可以简化为「查表」，我们可以自己定义一个矩阵，以便存储年金现值系数表，进而使用循环语句计算出完整的「年金现值系数表」。

mat a = J(30,10,.)
forvalues n=1/30{
  forvalues i=0.01(0.01)0.1{
    local L = `i'*100
    mat a[`n',`L'] = (1-1/(1+`i')^`n')/`i'
  }
}

mat list a, format(%6.4f)

结果

                                           r
-------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Yr    0.01     0.02     0.03     0.04     0.05     0.06     0.07     0.08     0.09    0.010
--------------------------------------------------------------------------------------------
 1   0.9901   0.9804   0.9709   0.9615   0.9524   0.9434   0.9346   0.9259   0.9174   0.9091
 2   1.9704   1.9416   1.9135   1.8861   1.8594   1.8334   1.8080   1.7833   1.7591   1.7355
 3   2.9410   2.8839   2.8286   2.7751   2.7232   2.6730   2.6243   2.5771   2.5313   2.4869
 4   3.9020   3.8077   3.7171   3.6299   3.5460   3.4651   3.3872   3.3121   3.2397   3.1699
 5   4.8534   4.7135   4.5797   4.4518   4.3295   4.2124   4.1002   3.9927   3.8897   3.7908
 6   5.7955   5.6014   5.4172   5.2421   5.0757   4.9173   4.7665   4.6229   4.4859   4.3553
 7   6.7282   6.4720   6.2303   6.0021   5.7864   5.5824   5.3893   5.2064   5.0330   4.8684
 8   7.6517   7.3255   7.0197   6.7327   6.4632   6.2098   5.9713   5.7466   5.5348   5.3349
 9   8.5660   8.1622   7.7861   7.4353   7.1078   6.8017   6.5152   6.2469   5.9952   5.7590
10   9.4713   8.9826   8.5302   8.1109   7.7217   7.3601   7.0236   6.7101   6.4177   6.1446
11  10.3676   9.7868   9.2526   8.7605   8.3064   7.8869   7.4987   7.1390   6.8052   6.4951
12  11.2551  10.5753   9.9540   9.3851   8.8633   8.3838   7.9427   7.5361   7.1607   6.8137
13  12.1337  11.3484  10.6350   9.9856   9.3936   8.8527   8.3577   7.9038   7.4869   7.1034
14  13.0037  12.1062  11.2961  10.5631   9.8986   9.2950   8.7455   8.2442   7.7862   7.3667
15  13.8651  12.8493  11.9379  11.1184  10.3797   9.7122   9.1079   8.5595   8.0607   7.6061
16  14.7179  13.5777  12.5611  11.6523  10.8378  10.1059   9.4466   8.8514   8.3126   7.8237
17  15.5623  14.2919  13.1661  12.1657  11.2741  10.4773   9.7632   9.1216   8.5436   8.0216
18  16.3983  14.9920  13.7535  12.6593  11.6896  10.8276  10.0591   9.3719   8.7556   8.2014
19  17.2260  15.6785  14.3238  13.1339  12.0853  11.1581  10.3356   9.6036   8.9501   8.3649
20  18.0456  16.3514  14.8775  13.5903  12.4622  11.4699  10.5940   9.8181   9.1285   8.5136
21  18.8570  17.0112  15.4150  14.0292  12.8212  11.7641  10.8355  10.0168   9.2922   8.6487
22  19.6604  17.6580  15.9369  14.4511  13.1630  12.0416  11.0612  10.2007   9.4424   8.7715
23  20.4558  18.2922  16.4436  14.8568  13.4886  12.3034  11.2722  10.3711   9.5802   8.8832
24  21.2434  18.9139  16.9355  15.2470  13.7986  12.5504  11.4693  10.5288   9.7066   8.9847
25  22.0232  19.5235  17.4131  15.6221  14.0939  12.7834  11.6536  10.6748   9.8226   9.0770
26  22.7952  20.1210  17.8768  15.9828  14.3752  13.0032  11.8258  10.8100   9.9290   9.1609
27  23.5596  20.7069  18.3270  16.3296  14.6430  13.2105  11.9867  10.9352  10.0266   9.2372
28  24.3164  21.2813  18.7641  16.6631  14.8981  13.4062  12.1371  11.0511  10.1161   9.3066
29  25.0658  21.8444  19.1885  16.9837  15.1411  13.5907  12.2777  11.1584  10.1983   9.3696
30  25.8077  22.3965  19.6004  17.2920  15.3725  13.7648  12.4090  11.2578  10.2737   9.4269
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