Stata：允许时间效应序列相关的面板二维聚类标准误-xtregtwo

发布时间：2023-03-22 阅读 514

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作者：朱婉仪 (中山大学)
邮箱：zhuwy8@mail2.sysu.edu.cn

编者按：本文主要参考自下文，特此致谢！
Source：Chiang H D, Hansen B E, Sasaki Y. Standard errors for two-way clustering with serially correlated time effects[J]. arXiv preprint arXiv:2201.11304, 2022. -PDF-

1. 研究背景

在大多数应用中，时间效应 $γ_{t}$ 是缺省的宏观经济因素的代理变量，因此不太可能独立同分布或者具有截断的序列依赖性。事实上，大多数宏观经济变量都有未被截断的自相关函数。

双向依赖面板的一个常见模型是 $U_{i} t = f (α_{i}, γ_{t}, ϵ_{i} t)$ ，其中 $α_{i}$ 是固定效应， $γ_{t}$ 是时间效应， $ϵ_{i} t$ 是异质效应。通常将 $γ_{t}$ 视为遗漏的宏观经济变量，如商业周期的状态。由于它们不太可能是连续独立的，因此我们可以将 $γ_{t}$ 视为一个序列相关的时间序列过程。

现行的标准误只能对二维聚类稳健。比如，Cameron 等 (2011) 提出的双向聚类标准差允许传统的双向依赖，但不允许由时间效应序列相关引起的依赖性。Thompson (2011) 允许 $γ_{t}$ (时间效应) 序列相关到一个已知的固定滞后数 ( $m$ )，但因为序列依赖结构并非先验信息所以实际实施困难。而这篇文章提出了一种对二维聚类及时间效应中任意序列依赖性都稳健的标准误。

Chiang 等 (2022) 提出了下面这个例子以说明部分时间效应存在序列依赖性。考虑一个标准市场价值方程中涉及的两个变量：log(tobin'sQ) 和 log(R&D资产存量)，过去许多学者在研究中将前者对后者回归，以研究其关系。该文章使用 1981-2001 年 727 家公司组成的面板数据 (来自 Bloom 等 (2013)) 来分别估计他们的时间效应。

下图是对 log(R&D资产存量) (左) 和 log(tobin’sQ) (右) 估计的共同时间效应。垂直线表示 95% 的置信区间。

log(R&D资产存量) (左) 和 log(tobin’sQ) (右) 的共同时间效应序列的自相关性如下图所示。

可见两个变量的自相关性在多个滞后期都很强。这意味着这些序列的时间效应 $γ_{t}$ 具有实质性的序列依赖，不能用有限 $m$ 阶依赖很好地描述。进一步地，这意味着 Cameron 等 (2011) 和 Thompson (2011) 假设的依赖性结构是不正确的，需要修改以允许任意顺序的序列相关性。

2. 方法介绍

令 $(Y_{i t}, X_{i t}^{'}) (i = 1, . . . N, t = 1, . . . T)$ 为一组面板数据观察值，对于满足 $E [X_{i t} U_{i t}] = 0$ 的线性回归方程：

Y_{i t} = X_{i t}^{'} β + U_{i t}

易推出其最小二乘估计量 $\hat{β}$ ：

\hat{β} = {(\sum_{i = 1}^{N} \sum_{t = 1}^{T} X_{i t} X_{i t}^{'})}^{- 1} (\sum_{i = 1}^{N} \sum_{t = 1}^{T} X_{i t} Y_{i t})

我们感兴趣的是最小二乘估计量 $\hat{β}$ 的方差。将 $\sum_{t = 1}^{T} \sum_{i = 1}^{N} X_{i t} U_{i t}$ 分别分解为公司加和、时间加和、交叉和，即公司加和：

R_{i} = \sum_{t = 1}^{T} X_{i t} U_{i t}

时间加和：

S_{t} = \sum_{i = 1}^{N} X_{i t} U_{i t}

交叉和：

G_{m} = \sum_{t = 1}^{T - m} S_{t} S_{t + m}^{,}

H_{m} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{t = 1}^{T - m} X_{i t} U_{i t} X_{i, t + m}^{,} U_{i, t + m}

则运用简单的线性代数知识可得到如下分解：

V_{N T} = v a r (\hat{β}) = {\hat{Q}}^{- 1} Ω_{N T} {\hat{Q}}^{- 1}

其中，

\hat{Q} = \frac{1}{N T} \sum_{i = 1}^{N} \sum_{t = 1}^{T} X_{i t} X_{i t}^{'}

\begin{aligned} Ω_{N T} & = \frac{1}{(N T)^{2}} (\sum_{i = 1}^{N} E [R_{i} {R_{i}}^{'}] + \sum_{t = 1}^{T} E [S_{t} {S_{t}}^{'}] - \sum_{i = 1}^{N} \sum_{t = 1}^{T} E [X_{i t} {X_{i t}}^{'} U_{i t}^{2}] \\ + \frac{1}{(N T)^{2}} \sum_{m = 1}^{T - 1} E (G_{m} + G_{m}^{'} - H_{m} - H_{m}^{'}) \end{aligned}

序列相关的时间效应 $γ_{t}$ 表明方差分解中的“跨公司自相关” $G m$ ，在潜在的任何滞后期 $m$ 处都是非零的 $\hat{β}$ 协方差矩阵的估计量， $V_{N T}$ 的一般形式可以写为：

{\hat{V}}_{N T} = {\hat{Q}}^{- 1} {\hat{Ω}}_{N T} {\hat{Q}}^{- 1}

在时间序列 $γ_{t}$ 严格平稳和弱相依 (意味着自相关函数趋于 0) 的条件下，可以采用较小的滞后期 $m$ ，这促使我们对 $Ω_{N T}$ 采取如下估计：

\begin{aligned} {\hat{Ω}}_{N T} & = \frac{1}{(N T)^{2}} (\sum_{i = 1}^{N} \hat{R_{i}} {\hat{R_{i}}}^{,} + \sum_{t = 1}^{T} \hat{S_{t}} {\hat{S_{t}}}^{,} - \sum_{i = 1}^{N} \sum_{t = 1}^{T} \hat{X_{i t}} {\hat{X_{i t}}}^{,} {\hat{U}}_{i t}^{2}) \\ + \frac{1}{(N T)^{2}} \sum_{m = 1}^{M} ω (m, M) (\hat{G_{m}} + {\hat{G_{m}}}^{,} - \hat{H_{m}} - {\hat{H_{m}}}^{,}) \end{aligned}

其中， $ω (m, M)$ 是一个权重函数。此处的 $ω (m, M)$ 选取了 Newey 和 West (1987) 提出的三角权重函数 $w (m, M) = 1 - m / (M + 1)$ ，它保证了 $\hat{β}$ 方差估计量非负，且使 ${\hat{Ω}}_{N T}$ 更倾向于为非负数。

$M$ 通常被称为滞后截断参数， $M$ 的值越大， ${\hat{Ω}}_{N T}$ 的偏差越小，但精度越低。原则上，当误差 $U_{i t}$ 高度自相关的时候应当使用较大的 $M$ 值，然而序列自相关的程度往往是未知的，因此需要基于经验选择 M。Chiang 等人采用了 Andrews (1991) 提出的一种基于最小化方差估计量的渐近均方误差的数据驱动的 $M$ 的选择方法。

令 $X_{j i t}$ 为 $X_{i t}$ 的第 $j$ 个元素，令 $S_{j t} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i j t} {\hat{U}}_{i t}$ 。用最小二乘法拟合 AR(1) 方程： $S_{j t} = \hat{ρ_{j}} S_{j, t - 1} + {\hat{e}}_{j t}$ 。对于三角权重函数，使用 Andrews 的方法可以计算出 $M$ 的估计量如下：

\hat{M} = 1.8171 \cdot (\frac{\sum_{j = 1}^{k} \frac{{\hat{ρ}}_{j}^{2}}{(1 - {\hat{ρ_{j}}}^{2})}}{\sum_{j = 1}^{k} \frac{{\hat{ρ}}_{j}^{4}}{(1 - {\hat{ρ_{j}}}^{4})}}) T^{1 / 3}

这样，我们求出了 $\hat{β}$ 的方差估计量。

综上，作者提出的该方差估计量同时考虑了二维聚类和时间效应的自相关性，是对 Cameron 等 (2011)，Thompson (2011) 以及 Newey 和 West (1987) 提出的估计量的一般化。

3. 命令介绍

3.1 理论部分

xtregtwo 命令基于 Chiang 等 (2022) 的研究，对线性面板回归模型进行估计，其标准误对双向聚类和共同时间效应中未截断的序列相关具有稳健性。该命令报告普通最小二乘法估计值、稳健标准误、Z 值、P 值和置信区间。如果使用 fe 选项，该命令将运行固定效应估计。

3.2 语法结构

* 命令安装
ssc install xtregtwo, replace

* 基本语法
xtregtwo depvar [indepvars] [if] [in] [, noconstant fe]

其中，depvar 为因变量，[indepvars] 是一系列自变量，[if] 表示条件，[in] 表示范围，[,noconstant] 表示不含常数项进行回归，[,fe] 表示在回归中包含固定效应。

4. Stata 实例

考虑 Fama-French 三因子模型：

R_{i t} - R_{f t} = β_{1} (R_{M t} - R_{f t}) + β_{2} S M B_{t} + β_{3} H M L_{t} + e_{i t}

其中， $R_{i t}$ 是在月份 $t$ 的投资组合总回报/股票 $i$ ， $R_{f t}$ 是 $t$ 月的无风险回报率， $R_{M t}$ 是总市场投资组合回报， $S M B_{t}$ 是公司大小的溢价 (小 − 大) ， $H M L_{t}$ 是公司价值溢价 (高 − 低) ， $β = (β 1, β 2, β 3)^{'}$ 是因子系数。同样以 Fama-French 三因子模型为例：

. net get xtregtwo.pkg, replace // 下载范例数据
. use "fama_french.dta", clear
. xtset i t
. xtregtwo return mkt smb hml, fe
------------------------------------------------------------------------------
             | Coefficient  Std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
         mkt |      0.959      0.058    16.49   0.000        0.845       1.073
         smb |      0.076      0.053     1.44   0.149       -0.027       0.179
         hml |      0.358      0.079     4.51   0.000        0.202       0.514
------------------------------------------------------------------------------
Reference: Chiang, H.D., B.E. Hansen, and Y. Sasaki (2022) Standard Errors for
Two-Way Clustering with Serially Correlated Time Effects. Working Paper.

上面显示的输出结果显示了标准 Fama-French 三因素回归的固定效应估计，具有新的标准误，且对公司聚类、按月聚类和未观察到的宏观经济效应的序列相关性都很稳健。

5. 相关推文

Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh 标准误, m
安装最新版 lianxh 命令：
ssc install lianxh, replace

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Stata：允许时间效应序列相关的面板二维聚类标准误-xtregtwo

1. 研究背景

2. 方法介绍

3. 命令介绍

3.1 理论部分

3.2 语法结构

4. Stata 实例

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