倍分法：交错DID与Stata操作

发布时间：2021-08-03 阅读 8154

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作者： 胡文涛 (中国人民大学)
邮箱： hwtxwhr@163.com

编者按：本文主要摘译自下文，特此致谢！
Source：Gardner, John. 2021. A primer on staggered DD. Working Paper. -PDF-

1. 背景介绍

本篇推文是对交错 (staggered) 情形下的 DID 和 Event Studies 做一个入门性介绍。交错指的是对于在一个 (准) 实验研究样本中的个体接受处理时间不一致，而这种情形的存在会对传统的 DID 系数估计和原本直观的处理 (政策) 效果的解释产生影响。已经有不少文献对此进行了讨论 (Borusyak and Jaravel, 2017; Athey and Imbens, 2018; Goodman-Bacon, 2018; de Chaisemartin and D’Haultfoeuille, 2020; Imai andKim, 2020; Sun and Abraham, 2020)。作为入门，在这篇文章里，我们对于一些关键结果提供了直觉和简化的推导，并提供了这种交错情形下 (即处理时间、处理个体存在异质性) 如何对平均处理效应 (ATT) 的一种简单估计方法。

2. 对经典 DID 模型一个回顾

首先，考虑一个最简单的 DID 模型，只有两期 (事前、事后)、两组 (处理组、对照组)，并且满足平行趋势假设，我们可以用下列式子进行表示：

E (Y_{i t} | P o s t_{i t}, T r e a t_{i t}) = γ P o s t_{i t} + λ T r e a t_{i t} + β P o s t_{i t} \times T r e a t_{i t}

其中， $i$ 表示的是个体， $t$ 表示的时间 (一般指的是年， $Y_{i t}$ 是观察到的结果变量， $Y_{0 i t}$ 表示未接受处理时的潜在结果，反之 $Y_{1 i t}$ 表示接受处理后的潜在结果。

β = E (Y_{1 i t} - Y_{0 i t} | P o s t_{i t} = 1, T r e a t_{i t} = 1)

系数 $β$ 表示平均的处理效应，可以通过以下回归估计 $β$ ：

Y_{i t} = γ P o s t_{i t} + λ T r e a t_{i t} + β P o s t_{i t} \times T r e a t_{i t} + ε_{i t}

更常见的情形是，将 $P o s t_{i t}$ 与 $T r e a t_{i t}$ 用时间和个体固定效应表示，具体如下：

Y_{i t} = λ_{i} + γ_{t} + β D_{i t} + ε_{i t} (1)

此外，另一种常见的做法是将上式改为事件法表达式，具体来说就是将 $D_{i t}$ 变为 $D_{p i t}$ ，如下：

Y_{i t} = λ_{i} + γ_{t} + \sum_{p = 1}^{P} β_{r} D_{p i t} + ε_{i t} (2)

与式 (1) 相比，式 (2) 可以用于计算具体每一期的政策效果，获得政策实施的动态效应。同时，这也可以用来检验事前的平行趋势是否满足。

3. 交错情形下的双重差分

一个研究样本中的处理组接受处理时间不一致，呈现出多个队列，用 $c = 1, . . ., C$ 表示，同时处理组与对照组满足平行趋势，我们可以用特定队列事件研究回归 (cohort-specific event-study regression) 来表示这种情况：

Y_{i t} = λ_{i} + γ_{g} + \sum_{c = 1}^{C} \sum_{p = 1}^{P_{c}} β_{c p} D_{c p i t} + ε_{i t} (3)

其中， $P_{c}$ 指的是队列 $c$ 最长持续时间； $D_{c p i t}$ 是一个指示变量，表示一个观察值是否属于队列 $c$ 同时在 $p$ 期接受处理； $β_{c p}$ 表示对于队列 $c$ 来说 $p$ 期的平均处理效应。

如果平均的处理效应不依赖于队列和队列接受处理的持续时间，那么我们可以将 $\sum_{c = 1}^{C} \sum_{p = 1}^{P_{c}} β_{c p} D_{c p i t}$ 替换为 $β D_{i t}$ ，这样就回到了传统的 DID。但是，这里面有一个担心就是，平均处理效应会受处理队列以及接受处理时间长度的影响。正如前文所提到，已经有一些列文章讨论了这个问题。

对于这个问题，一个简单理解方式的是把 $\sum_{c = 1}^{C} \sum_{p = 1}^{P_{c}} β_{c p} D_{c p i t}$ 视为传统双重差分回归中存在的遗漏变量。那么式 (1) 所估计出来的系数，既包括式 (3) 中真实的系数，也包含遗漏变量在既有回归变量 (处理状态、个体和时间指示变量) 上的总体线性投影。因为遗漏变量是个求和， $β_{c p} D_{c p i t}$ 也是对已有回归变量投影的求和。 $D_{i t}$ 真实系数为 0 (被其他回归项吸收了)， $D_{i t}$ 总体的回归系数真正识别的是 $\sum_{c = 1}^{C} \sum_{p = 1}^{P_{c}} w_{c p} β_{c p}$ 。 $w_{c p}$ 是 $D_{c p i t}$ 对处理变量 $D_{i t}$ 、个体、时间效应进行整体回归的系数。

简单来说，我们通过式 (1) 回归所得到的 $β$ 本质上是多个 DID (子样本， $β_{c p}$ ) 加权平均，其权重取决于子样本规模、处理组与控制组规模、以及子样本处理时点的函数。这些权重加起来为 1，但是更为重要的一点是，有些权重可以为负，这些负的权重的存在会使得 DID 系数很难得到解释。

$w_{c p}$ 是 $D_{c p i t}$ 对处理变量 $D_{i t}$ 、个体、时间效应进行整体回归的系数，根据 FWL 定理，我们同样可以先把 $D_{i t}$ 对个体和时间效应进行回归得到残差，然后将 $D_{c p i t}$ 与所获得的残差进行回归来得到 $w_{c p}$ 。基于双向内部转化 (aka double-demeaned)，这个回归可以表达为以下式子：

D_{c p i t} = w_{c p} {[D_{i t} - P (D_{i t} = 1 | i)] - [P (D_{i t} = 1 | t) - P (D_{i t} = 1)]} + e_{i t}

对于早期的队列来说， $P (D_{i t} = 1 | i)$ 会很大，但后面时期 (随着更多的个体接受处理)， $P (D_{i t} = 1 | t) - P (D_{i t} = 1)$ 同样会很大。因此，DID 会赋予早期或者末期更少甚至负的权重。实际上，处于中期 (如两次政策实施时点之间) 的处理组会被赋予更高的权重。这在 Goodman-Bacon (2018) 和 de Chaisemartin and D’Haltfouille (2020) 有更加详尽的解释。

对于这样一种结果，至少有两种直觉上的解释，一是将前后接受处理的队列进行比较，事实上它们都是处理组而不是对照组，特别是当这种处理效应会随着时间和组别发生变化时，这样估计出来的系数就会对正实的效果产生误导。此外，因为 DID 假设不变的 ATT，它会把部分异质性效应归因于个体和时间处理效应。对于那些被处理期数更长以及在某个时期内处理个体数更多，就会吸收更多的处理效应。

4. 事件法研究

Sun and Abraham (2020) 的研究展示了这一现象同样可以应用于事件研究回归。类似地，我们用线性投影来理解这一问题。假设方程 (3) 是正确的，但是我们用方程 (2) 进行估计， $D_{p i t}$ 前的系数识别了遗漏的 $β_{c p} D_{c p i t}$ 在 $D_{p i t}$ 、事件和个体固定效应上投影的和，可以用下式表示：

\sum_{c = 1}^{C} \sum_{p = 1}^{P_{c}} w_{c q | p} β_{c p}

$w_{c q | p}$ 是 $D_{p i t}$ 前的系数，来自于 $D_{c p i t}$ 对所有的 $D_{q i t}$ ，以及个体、时间效应进行回归。

因此，当持续时间-个体处理效应在不同队列里具有异质性时，原有事件法回归识别的是实际上是所有队列 $\times$ 时间-个体平均处理效应的一个加权平均。权重具有以下性质：

\sum_{p = 1}^{P_{c}} w_{c q | p} = 1 ， \sum_{c = 1}^{C} w_{c q | p \neq q} = 0

正如Sun and Abraham (2020) 所指出的那样，一个重要的后果就是即使满足平行趋势，treatment-adoption 前的系数也不为 0。

5. 处理方法与 Stata 实操

一个简单处理交错和异质性 ATTs 的方法就是去估计方程 (3)，这样就可以分离每一个队列和处理持续时间。这也可以估计几个 cohort $\times$ duration 的平均处理效应。一个明显方法就是估计下式：

\sum_{c = 1}^{C} \sum_{p = 1}^{P_{c}} β_{c p} P (D_{c p i t} = 1 | D_{i t} = 1)

这是总体的平均处理效应 (涵盖所有观察到的处理队列和持续时间)。其他的一些加权平均处理效应同样也可以报告出来，这里不赘述。

用 Stata 处理这个十分方便，下面是具体的 Stata 操作：

*交错 DID 模型
xtreg y i.year ibn.dur#ibn.cohort#c.d, fe vce(cluster id)

上述命令可以估计本文提到的式 (3)。其中，

y：表示结果变量；
i.year：为时间固定效应；
dur：为处理持续时间长度的分类变量 (categorical variable)
cohort：为处理队列的分类变量，
d：表示处理状态 (随时间而变化 time-varying) 的虚拟变量，
ibn.dur#ibn.cohort#c.d：控制因处理时间长短、处理队列异质性而导致的趋势变化；
fe：控制个体固定效应；
vce(cluster id)：表示标准误聚类到个体。

然后利用 margins 命令可以计算出 d 的平均边际效应，通过 subpop 选项可以选取子样本。关于 margins 详细介绍，见 help margins。

margins, dydx(d) subpop(if d==1)

当然，相似的命令也可以被用于事件研究回归，下面将以 Jeffrey Wooldridge 模型为例介绍。

*文件地址1：https://www.jianguoyun.com/p/Dfp2soIQlNCuCRjh_vcD
*文件地址2：https://gitee.com/arlionn/data/tree/master/data01/staggered_did

clear all
set more off

// --------------------------------------------------------
// Estimating the ATT with margins
// --------------------------------------------------------

// data from wooldridge  
use staggered_6, clear   //调入数据

// cohort = final treatment duration
egen cohort = sum(w), by(id)  //生成队列变量

// current treatment duration duration 
bysort id: gen dur = sum(w)   //生成dur分类变量

xtset id year

// cohort*duration specification and ATT
*xtreg命令
xtreg logy i.year ibn.dur#ibn.cohort#c.w, fe
margins, dydx(w) subpop(if w==1)

*或者areg命令
areg logy i.year ibn.dur#ibn.cohort#c.w, absorb(id) //areg 命令
margins, dydx(w) subpop(if w==1) 

// duration-specific effects (event study)
margins, dydx(w) subpop(if dur==1)
margins, dydx(w) subpop(if dur==2)
margins, dydx(w) subpop(if dur==3)

*可以具体算每一个持续期的边际效应

// --------------------------------------------------------
// 通过手动加总来说明
// --------------------------------------------------------

// 生成权重
local sum=0
forvalues c=1/3 {
  forvalues p=1/3 {
			gen cp_`c'`p'=(cohort==`c' & dur==`p')
			gen dcp_`c'`p'=(cohort==`c' & dur==`p' & w)
			sum cp_`c'`p' if w
			local cp_`c'`p'=`r(mean)'
			local sum = `sum' + `r(mean)'
			di `terms'
	}
}
di `sum'

// 跑回归
areg logy i.year dcp_*, absorb(id)

// 加重效应
local terms
forvalues c=1/3 {
  forvalues p=1/3 {
			local terms `terms' + `cp_`c'`p''*_b[dcp_`c'`p']
			//di `terms'
	}
}

lincom `terms'

6. 参考文献

Baker A, Larcker D F, Wang C C Y. How Much Should We Trust Staggered Difference-In-Differences Estimates?[J]. Available at SSRN 3794018, 2021. -PDF-
De Chaisemartin C, d'Haultfoeuille X. Two-way fixed effects estimators with heterogeneous treatment effects[J]. American Economic Review, 2020, 110(9): 2964-96. -PDF-
Smith M J, Maringe C, Rachet B, et al. Tutorial: Introduction to computational causal inference using reproducible Stata, R and Python code[J]. arXiv preprint arXiv:2012.09920, 2020. -PDF-
Sun L, Abraham S. Estimating dynamic treatment effects in event studies with heterogeneous treatment effects[J]. Journal of Econometrics, 2020. -PDF-
Wooldridge. 2021. Two-way fixed effects, the two-way Mundlak regression,and event study estimators. Working Paper. -PDF-

7. 相关推文

Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh 多时点多期边际, m
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倍分法：交错DID与Stata操作

1. 背景介绍

2. 对经典 DID 模型一个回顾

3. 交错情形下的双重差分

4. 事件法研究

5. 处理方法与 Stata 实操

6. 参考文献

7. 相关推文

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