Stata：RDD与RKD的最优模型选择-pzms

发布时间：2022-10-08 阅读 1236

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作者：高净鹤 (东北财经大学)
邮箱：jh.gaook@gmail.com

编者按：本文主要参考自下文，特此致谢！
Source：Kettlewell N, Siminski P. Optimal model selection in RDD and related settings using placebo zones[J]. Life Course Centre Working Paper, 2020 (21). -PDF-

1. 简介

断点回归 (RDD) 和拐点回归 (RKD) 是实证经济学中重要的工具。然而，估计方法的变化是多维度的，如带宽、函数形式、核密度、协变量等，并且在阈值两侧也可以不一致，这使得研究中在实证中通常要面临许多潜在估计方案的选择。在特定的应用情境下，估计值可能会因研究人员的选择而存在较大差异。虽然在模型选择过程中存在各种指导准则，但这些准则通常只针对其中一个维度。

本文提出了一种用于 RDD、RKD 和相关 IV 估计模型选择的新方法。该方法允许产生带宽、多项式和任何其他选择参数的最佳组合。同时，这种方法还可以告知模型类别的选择 (例如 RDD 与 cohort-IV) ，以及任何其他选择，包括协变量、核密度或其他权重等。

2. 理论背景

参考精确 RDD 模型，考虑一个随机样本 $(Y_{i} (0), Y_{i} (1), X_{i})$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ，其中 $Y_{i} (0)$ 和 $Y_{i} (1)$ 分别为接受和未接受处理的潜在产出。处理 $(T)$ 由超过 $X = 0$ 这一阈值的驱动变量所决定，即 $T_{i} = 1 (X_{i} \geq 0)$ 。因此观察到的样本 $(Y_{i}, X_{i})$ 满足 $Y_{i} = (1 - T_{i}) Y_{i} (0) + T_{i} Y_{i} (1)$ 。

感兴趣的参数是在阈值处的平均处理效应 $τ = E [Y_{i} (1) - Y_{i} (0) | X_{i} = 0]$ 。 $τ$ 的候选估计方式有很多，在一些充分的条件下，本文的模型选择方法最终收敛于 $τ$ 的所有估计方式中具有最低 $M S E (\hat{τ})$ 的估计方式，那么该方法是渐进最优的。随着安慰剂区重复次数 $m$ 趋于无穷大，连续安慰剂阈值之间的距离保持不变。

为了建立渐进最优性，就要证明对于每一种候选估计方式，阈值估计的 $M S E$ 与每个相关安慰剂估计的 $M S E$ 相同，即要证明：

M S E (\hat{τ}) = M S E (\hat{τ_{k}}), f o r a l l | k | > b (1)

其中，其中 $X = k$ 是每个安慰剂阈值的位置， $b$ 是用于此估计方式的带宽。对于每个候选估计方式，我们观察每个 $k$ 的 $\hat{τ_{k}}$ 。因为 $τ_{k} = 0$ ，所以 $M S E (\hat{τ_{k}}) = E (\hat{τ_{k}})$ 。如果等式 (1) 成立，那么 $E (\hat{τ_{k}}) E (^{τ} k)$ 与 $k$ 无关，且 $E (\hat{τ_{k}}) = M S E (\hat{τ})$ 。

本文在以下假设条件下证明等式 (1) 成立：

$X$ 是均匀分布的；
$Y_{i} (0)$ 和 $Y_{i} (1)$ 同方差；
$Y_{i} (0)$ 和 $Y_{i} (1)$ 关于 $X$ 的条件期望是连续的、平滑的，并且四阶导数为零；
平均处理效应关于 $X$ 的二阶导数为零。

考虑一组局部线性候选估计方式，每个估计量具有独特的对称带宽 $(b)$ 。 $\hat{τ_{b}}$ 表示带宽为 $b$ 的局部线性估计的处理效应。估计的处理效应是 $\hat{τ_{b}} = \hat{α_{2 b}} - \hat{α_{1 b}}$ 。其中 $\hat{α_{2 b}}$ 和 $\hat{α_{1 b}}$ 可以使用阈值两侧的两个独立线性回归来估计。为简单起见，去掉下标 $i$ ，这些回归方程为：

y = α_{1} + β_{1} x + ε, - b < x < 0 (2)

y = α_{2} + β_{2} x + ε, 0 < x < b (3)

类似地，定义 $\hat{τ_{b k}}$ 为在安慰剂阈值 $X = K$ (真正的断点为零) 处的断点估计，使用的是与上述相同的局部线性估计和带宽。 $\hat{τ_{k b}} = \hat{α_{k 2 b}} - \hat{α_{k 1 b}}$ ，其中 $\hat{α_{k 2 b}}$ 和 $\hat{α_{k 1 b}}$ 是来自以下回归的估计：

y = α_{k 1} + β_{1} (x - k) + ε, (k - b) < x < k (4)

y = α_{k 2} + β_{2} (x - k) + ε, k < x < (k + b) (5)

任意估计方式的处理效应的 $M S E$ 为：

M S E (\hat{τ}) = E (\hat{τ} - τ)^{2} = V a r (\hat{τ}) + B i a s (\hat{τ})^{2} (6)

对于每一个局部线性回归， $M S E (\hat{τ_{b}})$ 是两个回归 (式 2 和式 3) 的方差及估计量偏差的函数：

\begin{aligned} M S E (\hat{τ_{b}}) & = E (\hat{α_{2 b}} - \hat{α_{1 b}} - τ)^{2} \\ = V a r (\hat{α_{1 b}}) + V a r (\hat{α_{2 b}}) + B i a s (\hat{τ_{b}})^{2} (7) \end{aligned}

假设 (3) 和 (4) 意味着真正的 DGP，采用以下形式：

y = α + (τ + ϑ x) 1 (x > 0) + θ_{1} x + θ_{2} x^{2} + θ_{3} x^{3} + ε (8)

换句话说，这些假设意味着 CEF 可以是全局立方的，在阈值处有潜在的断点 $(τ)$ 和拐点 $(ϑ)$ 。在 CEF 条件下， $θ_{2} x^{2}$ 和 $θ_{3} x^{3}$ 是式 (2) 和 (3) 中线性回归的省略变量，而 $α_{1} = α$ 和 $α_{2} = α + τ$ 。因此使用线性模型估计 $α_{1}$ 和 $a α_{2}$ 是有偏差的。使用遗漏变量偏差公式：

E ({\hat{α}}_{1 b}) = α + {\hat{δ}}_{L 1 b} + {\hat{δ}}_{L 2 b} (9)

其中， ${\hat{δ}}_{L 1 b}$ 是 $θ_{2} x^{2}$ 对 $x$ 估计的常数项：

θ_{2} x^{2} = δ_{1} + π_{1} x + ϵ_{1}, - b < x < 0 (10)

${\hat{δ}}_{L 2 b}$ 是 $θ_{3} 2 x^{3}$ 对 $x$ 估计的常数项：

θ_{3} x^{3} = δ_{2} + π_{2} x + ϵ_{2} 0 < x < b (11)

同样，

E ({\hat{α}}_{2 b}) = (α + τ) + {\hat{δ}}_{R 1} + {\hat{δ}}_{R 2} (12)

因此，

E (\hat{τ_{b}}) = E ({\hat{α}}_{2 b}) - E ({\hat{α}}_{1 b}) = (α + τ) + {\hat{δ}}_{R 1} + {\hat{δ}}_{R 2} - (α + {\hat{δ}}_{L 1} + {\hat{δ}}_{L 2}) (13)

然而， ${\hat{δ}}_{R 1 b} = {\hat{δ}}_{L 1 b}$ ， ${\hat{δ}}_{R 2 b} = - {\hat{δ}}_{L 2 b}$ ，因此

E (\hat{τ_{b}}) = τ + 2 {\hat{δ}}_{L 2 b} (14)

$B i a s (\hat{τ_{b}}) = 2 {\hat{δ}}_{L 2 b}$ 。接下来证明 $B i a s (\hat{τ_{b}}) = B i a s (\hat{τ_{k b}})$ ，对于 $| k | > b$ 。替换 $x_{k} = x - k$ ，式 (4) 和 (5) 等价于：

y = α_{k 1} + β_{1} x_{k} + ε, - b < x_{k} < 0 (15)

y = α_{k 2} + β_{2} x_{k} + ε, 0 < x_{k} < b (16)

式 (8) 中的 DGP 可以表示为：

\begin{aligned} y & = α + τ + (θ_{1} + ϑ) (x_{k} + k) + θ_{2} (x + k)^{2} \\ + θ_{3} (x_{k} + k)^{3} + ε, i f k > b (17) \end{aligned}

\begin{aligned} y & = α + θ_{1} (x_{k} + k) + θ_{2} (x + k)^{2} \\ + θ_{3} (x_{k} + k)^{3} + ε, i f k > b (18) \end{aligned}

展开式 (17) 并且合并同类项：

y = π_{0} + π_{1} x_{k} + π_{2} x_{k}^{2} + θ_{3} x_{k}^{3} + ε (19)

其中， $π_{0} = α + τ + k θ_{1} + k^{2} θ_{2} + k^{3} θ_{3}$ ， $π_{1} = θ_{1} + ϑ + 2 k θ_{2} + 3 k^{2} θ_{3}$ ， $π_{2} = θ_{2} + 3 k θ_{3}$ 。式 (18) 也可以做类似的展开。式 (15)、(16)、(19) 分别等价于式 (2)、(3)、(8)。

如上所示，RDD 估计值的偏差仅与真实 DGP 的 CEF 三阶导数成正比。式 (19) 中的三阶导数 $(6 θ_{3})$ 与式 (9) 中的相同，因此对于 $| k | > b ， B i a s (\hat{τ_{k b}}) = B i a s (\hat{τ_{b}})$ 。

在给定假设 (1) 和 (2) 的情况下，很容易证明 $V a r (\hat{τ_{k b}}) = V a r (\hat{τ_{b}})$ 。因此， $M S E (\hat{τ_{k b}}) = M S E (\hat{τ_{b}})$ ，在假设 (1)-(4) 下，本文的方法满足渐进最优性。

3. Stata 实操

3.1 命令介绍

命令安装：

net des pzms 
net install pzms.pkg, replace 
net get pzms.pkg,     replace    // 范例数据

命令语法

pzms depvar runvar [if] [in], maxbw(real) [options]

其中，maxbw(real) 用于估计的最大带宽。options 包括：

c(#)：处理效应的断点值，默认为零。
minbw(#)：用于估计的最小带宽，未指定时被设置为 0.1*maxbw。
pzrange(# #)：安慰剂区的范围，在用 maxbw 中指定的值划分该范围时，必须在其内部包括 c(#)。默认值是驱动变量的全部范围。
p(#)：估计时要考虑的多项式阶数，默认为 1，即线性候选模型；当指定为 2 时，将同时考虑线性和二次项。
deriv(#)：指定候选模型的导数阶数，精确 RDD 默认是 0，精确 RKD 默认为 1。
pzstenum(#)：要执行的安慰剂区迭代的次数，为最大迭代次数。如果还指定了 pzstepsize，则不能使用pzstepnum。如果 pzstepnum 和 pzstepsize 都没有指定，则默认值为 50。
pzstepsize(#)：连续安慰剂阈值之间的距离，如果还指定了 pzstepnum，则不能使用 pzstepsize。
bwstepnum(#)：最大带宽 maxbw 和最小带宽 minbw 之间的带宽数。如果没有指定 bwstepnum 或 bwstepsize，则默认为 20。
bwstepsize(#)：考虑的候选估计之间的带宽增加 (以驱动变量为单位)。
nolog：不显示迭代计数。
vce(string)：指定标准误的类型。可以使用任何可用于 Stata 命令回归的 vce。默认是同方差标准误差。
covs(varlist)：指定要包含在候选模型中的协变量。如果选择了这个选项，将为每一级多项式 p(#)、有和没有协变量都估计一个模型。例如，如果指定 p(2)，将有四个模型进行比较，即无协变量的线性模型、有协变量的线性模型、无协变量的二次模型和有协变量的二次模型。
kernel(string)：核密度类型。支持均匀核密度 uniform 和三角核密度 triangular。默认为 uniform。
weight(varname)：指定分析权重。除 mcustom# 中指定的模型外，该权重将应用于考虑的每个模型。
collapse(string)：实现算法之前在驱动变量的水平上折叠数据。如果指定了 collapse(weight)，则估算值将根据折叠箱对应的观测数进行加权。如果不希望在数据折叠时对观测频率使用权重，则使用 collapse(noweight)。当驱动变量是离散的，并且有许多观测值或安慰剂区迭代时，折叠选项可以大大提高速度，而不会影响估计。
bwlfix(#)：在阈值左侧固定带宽长度。当受数据限制，如左侧带宽较短，右侧带宽较长时，或者研究非对称带宽，通常使用该选项。
bwrfix(#)：在阈值右侧固定带宽长度。
donut(# #)：生成一个核密度图，描述最优模型的安慰剂估计的分布。该图使用 Stata 的 kdensity 命令和默认设置。
pzplot：删除指定范围内的观测值。第一个 # 指定在该值内的驱动变量的观察值将被删除。第二个 # 指定在这个驱动变量的值中，在临界值右边的观察值将被删除。
mcustom#(# #, mcustom_options)：自定义特性候选集模型。通过使用 mcustom1()，mcustom2() 等，可以指定多达 10 个自定义模型。mcustom 中的第一个参数是处理阈值左侧的多项式阶数，第二个参数是右侧的多项式阶数。例如，如果想估计一个左边是线性的，右边是二次的模型，可以指定 mcustom(1 2)。mcustom_options 包括：
- covs(varlist)：指定要包含在自定义模型中的协变量。
- kernel(kernal type)：在自定义模型中核密度类型。支持均匀和三角。默认为 uniform。
- weight(varname)：在自定义模型中指定分析权重。

3.2 命令应用

虽然该方法可用于在一系列维度上变化的候选估计之间进行选择，但它的主要用途是帮助 RDD 估计选择带宽和多项式阶数。

. * 使用默认设置进行模型选择和估计
. use pzms_example_data.dta, clear
. pzms y x, maxbw(0.99)

Estimated Treatment Effect Using Optimal Model   Observations:        1330
                                                 Threshold:              0
                                                 vce:                        
---------------------------------------------------------------------------
  Inference method |   Coef.  Std. Err.  t     P>|t|   [95% Conf. Interval]
-------------------+-------------------------------------------------------
     Homoscedastic |  .29204   .01644  17.768  0.0000  0.2598      0.3243
   KS rand. infer. |  .29204     .013  22.466  0.0000  0.2611      0.3230
---------------------------------------------------------------------------

. * 二阶多项式和聚类标准误
. pzms y x, maxbw(0.99) p(2) vce(cluster x)

Estimated Treatment Effect Using Optimal Model    Observations:       1330
                                                  Threshold:             0
                                                  vce:           cluster x
---------------------------------------------------------------------------
  Inference method |   Coef.  Std. Err.  t     P>|t|   [95% Conf. Interval]
-------------------+-------------------------------------------------------
            Robust |  .29204   .01587    18.4  0.0000  0.2606       0.3234
   KS rand. infer. |  .29204     .013  22.466  0.0000  0.2611       0.3230
---------------------------------------------------------------------------

. * 增加带宽数和安慰剂阈值的距离
. pzms y x, maxbw(0.99) p(2) vce(cluster x) bwstepnum(25) pzstepsize(0.02)

Estimated Treatment Effect Using Optimal Model    Observations:       1310
                                                  Threshold:             0
                                                  vce:           cluster x
---------------------------------------------------------------------------
  Inference method |   Coef. Std. Err.  t     P>|t|   [95% Conf. Interval]
-------------------+-------------------------------------------------------
            Robust |  .29196  .01614  18.089  0.0000  0.2600      0.3239
   KS rand. infer. |  .29196  .01235  23.645  0.0000  0.2653      0.3186
---------------------------------------------------------------------------

. * 考虑一个具有三角核的自定义线性函数模型，并利用最优模型绘制安慰剂估计
. pzms y x, maxbw(0.99) p(2) vce(cluster x) bwstepnum(25)       ///
>     pzstepsize(0.02) mcustom(1 1, kernel(triangular)) pzplot

Estimated Treatment Effect Using Optimal Model    Observations:       1610
                                                  Threshold:             0
                                                  vce:           cluster x
---------------------------------------------------------------------------
  Inference method |   Coef.  Std. Err.  t     P>|t|   [95% Conf. Interval]
-------------------+-------------------------------------------------------
            Robust |  .29787   .01592  18.712  0.0000  0.2664      0.3293
   KS rand. infer. |  .29787    .0122   24.41  0.0000  0.2721      0.3236
---------------------------------------------------------------------------

4. 注意事项

本文的方法不应被视为能毫无问题地自动选择客观最佳模型。接下来将讨论一些复杂情况和使用该方法的建议。

4.1 在模糊 RDD 和 RKD 上的应用

对于模糊 RDD 和 RKD 这些依赖于第一阶段设计的模型来说，在安慰剂区内可能不存在处理变量和驱动变量之间的第一阶段关系。在这样的模型中，一种可行的做法是，使用本文的方法为简化形式的断点 (或拐点) 选择一个估计模型，即阈值范围内结果变量的断点 (或拐点)。

4.2 如何为安慰剂区检验设定最大的带宽？

本文的方法必须为估计模型选择最大带宽，当不存在自然约束时，建议在选择最大带宽之前对数据进行检查。对于给定的模型类型，一个关键的考虑因素是处理效应估计值和带宽之间的关系。当选择某一个带宽时，处理效应发生明显变化，可以选择该带宽作为最大带宽。

4.3 允许异质性的处理效应

对不同类别的模型进行比较是困难的，因为不同类别的模型通常估计不同的参数。例如，模糊 RDD 模型估计 LATE，而 RKD 估计 MTE，本文的方法可用于比较这些模型的表现。因此使用该方法时应考虑潜在处理效应异质性的影响。考虑到将处理效应异质性施加到安慰剂区的情况，在 Kettlewell 和 Siminski (2020) 中，作者演示了如何解决这个问题。

5. 相关推文

Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh 断点, m
安装最新版 lianxh 命令：
ssc install lianxh, replace

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Stata：RDD与RKD的最优模型选择-pzms

1. 简介

2. 理论背景

3. Stata 实操

3.1 命令介绍

3.2 命令应用

4. 注意事项

4.1 在模糊 RDD 和 RKD 上的应用

4.2 如何为安慰剂区检验设定最大的带宽？

4.3 允许异质性的处理效应

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