Stata：面板分位数模型估计及内生性初探

发布时间：2021-01-06 阅读 7403

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作者： 武翰涛 (普林斯顿大学)
Email: ht_wu@foxmail.com

1. 引言

在前叙推文中，我们介绍了 Stata 的分位数回归应用。分位数回归估计作为一种模型估计方法，能够较为准确描述解释变量 $Ｘ$ 对于被解释变量 $Ｙ$ 的变化范围以及条件分布形状的影响。其中，分位数回归方程可以定义为:

Q_{i t} (τ_{j} | x_{i t}) = x_{i t} β (τ_{j})

其中， $Q_{i t} (τ_{i} | x_{i t})$ 表示被解释变量的第 $t a u_{j}$ 个条件分位数， $β (τ_{j})$ 表示解释变量在第 $t a u_{j}$ 个分位数下的回归系数估计，其中 $τ \in (0, 1)$ 。若要得到 $β (τ_{j})$ 的参数估计，需要求解加权绝对残差和最小化问题，即：

min \sum_{j = 1}^{J} \sum_{i = 1}^{N} \sum_{i = 1}^{T} w_{j} ρ_{τ j} [y_{i i} - x_{i t} β (τ_{j})]

随着面板数据的广泛使用，面板分位数回归也随之出现。结合分位数回归与面板数据，采用分位数回归的方法对面板数据变量的参数进行估计，不仅能够更好的控制个体的异质性，以缓解遗漏变量导致的内生性问题；还够分析在特定的分位数处自变量对因变量的边际效应，使我们得以从多个维度进行分析。

接下来我们将介绍面板分位数回归模型的两种形式，并主要展示固定效应面板分位数回归模型的估计。

2. 面板分位数回归模型

类似于通常面板数据的处理，分位数回归同样可以通过固定效应、随机效应分别进行估计。

2.1 随机效应模型

随机效应面板分位数回归模型的形式如下所示：

Q_{y_{i t}}^{(τ)} (τ | x_{i t}) = α_{i} + x_{i t}^{T} β_{τ} + u_{i j} i, j = 1, 2, \dots, N, t = 1, 2, \dots, T

上式中， $x_{i t}$ 和 $y_{i t}$ 分别表示第 $i$ 截面在第 $t$ 时期解释变量、被解释变量的观测值， $α_{i}$ 表示不可观测的个体固定效应， $u_{i j}$ 为误差项。

2.2 固定效应模型

进一步地，控制个体效应的固定效应模型的设定形式如下:

Q_{y_{i t}}^{(τ)} (τ | x_{i t}) = α_{i} + x_{i t}^{T} β_{τ} i = 1, 2, \dots, N, t = 1, 2, \dots, T

接下来，本文将对固定效应面板分位数回归模型的估计过程进行进一步分析。

2.3 固定效应模型估计

当横截面单元数达到无穷大时，每个横截面单位的观测数是固定的，估计量将不一致。Koenker ( 2004)借鉴高斯随机效应估计运用到固定效应的惩罚最小二乘中的基本思想，将其进一步拓展到分位数回归中，参数估计方法如下:

(\hat{β} (τ_{k}, λ), {α_{i} (λ)}_{i = 1}^{n}) = argmin \sum_{k = 1}^{K} \sum_{l = 1}^{T} \sum_{i = 1}^{N} w_{k} ρ_{τ_{k}} (y_{i t} - α_{i} - x_{i t}^{T} β_{τ_{k}}) + λ \sum_{i = 1}^{N} | α_{i} |

其中， $w_{k}$ 是第 $τ_{k}$ 分位数的权重， $τ_{k}$ 表示第 $k$ 个分位数对固定效应的贡献。 $ρ_{τ k} (u) = u (τ_{k} - I (u < 0))$ 是损失函数， $I (u < 0)$ 表示示性函数， $λ$ 是惩罚因子，当 $λ < 0$ ，惩罚项消失，为固定效应模型；当 $λ \to \infty$ ，固定效应消失，为混合回归模型。考虑主观性对权重赋值的影响，通常的做法是，定义权重 $w_{k} = 1 / k$ ，即对所有指标赋相同的权重，从而降低主观性带来的影响。

3. Stata 范例

我们可以使用 qregpd 命令来实现面板分位数回归模型，这里我们利用系统自带数据库进行范例演示。

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//下载外部命令. ssc install qregpd. ssc install moremata. ssc install amcmc
//下载系统自带数据. webuse nlswork.dta, clear

接下来考察该面板数据下，聘期 (tenure) 和是否加入工会 (union) 这两个变量与对数工资的关系：

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. qregpd ln_wage tenure union, id(idcode) fix(year)Nelder-Mead optimizationinitial:       f(p) = -298.32357rescale:       f(p) = -1.2889814Iteration 0:   f(p) = -1.2889814Iteration 1:   f(p) = -1.2889814……Iteration 22:  f(p) = -.00164654Iteration 23:  f(p) = -.00164654

Quantile Regression for Panel Data (QRPD)     Number of obs:             19010     Number of groups:           4134     Min obs per group:             1     Max obs per group:            12----------------------------------------------------------------------- ln_wage |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|  [95% Conf. Interval]---------+-------------------------------------------------------------  tenure |   .0207086   .0018158    11.40   0.000  .0171497    .0242676   union |   .0922885   .0122959     7.51   0.000   .068189     .116388-----------------------------------------------------------------------No excluded instruments - standard QRPD estimation.

估计结果表明，在 1% 显著性水平上，tenure 与 union 与对数工资正相关。

进一步地，考虑到 tenure 可能存在内生性，因此我们使用工具变量法处理内生变量，并利用马尔科夫链蒙特卡洛方法 (MCMC) 估计结果。

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. qregpd ln_wage tenure union, id(idcode) fix(year)  ///         optimize(mcmc) noisy draws(1000) burn(100)  ///         arate(.5) instruments(ttl_exp wks_work union)
Adaptive MCMC optimization...........................................   50: f(x) = -123.527581...........................................  100: f(x) = -120.682312..............................................  950: f(x) = -120.251358........................................... 1000: f(x) = -118.942834

Quantile Regression for Panel Data (QRPD)Number of obs:             19010Number of groups:           4134Min obs per group:             1Max obs per group:            12

ln_wage      Coef.   Std. Err.      z    P>z       [95% Conf. Interval]-----------------------------------------------------------------------tenure    .0312079   .0005661    55.13   0.000     .0300984    .0323175union     .0807607   .0065461    12.34   0.000     .0679305    .0935908
Excluded instruments: ttl_exp wks_work

MCMC diagonstics:Mean acceptance rate:      0.192Total draws:                1000Burn-in draws:               100Draws retained:              900Value of objective function:Mean:            -119.0795Min:             -125.4123Max:             -117.0153MCMC notes:*Point estimates correspond to mean of draws.*Standard errors are derived from variance of draws.

利用 ttl_exp、wks_work 两个工具变量重新估计，解决 tenure 内生性后，可以发现 tenure 对工资的正向影响有所增加，且同样在 1% 水平上显著。

4. 参考资料

「Source：Koenker, Quantile regression for longitudinal data」

Powell, David. 2015. Quantile Regression with Nonadditive Fixed Effects. RAND Labor and Population Working Paper. -Link-，内附 PDF 原文和代码。
Powell, David. 2016. Quantile Treatment Effects in the Presence of Covariates. RAND Labor and Population Working Paper. -Link-
Powell, David. 2014b. Did the Economic Stimulus Payments of 2008 Reduce Labor Supply? Evidence from Quantile Panel Data Estimation. RAND Labor and Population Working Paper 710-3. -Link-

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Note：产生如下推文列表的命令为：
lianxh 分位数, m
安装最新版 lianxh 命令：
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Stata：面板分位数模型估计及内生性初探

1. 引言

2. 面板分位数回归模型

2.1 随机效应模型

2.2 固定效应模型

2.3 固定效应模型估计

3. Stata 范例

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