IV专题- 内生性检验与过度识别检验

发布时间：2022-06-16 阅读 4908

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作者：杨柳 (西北大学)
E-Mail: philoyl@163.com

1. 方程的识别问题

当有足够有效的工具变量时，方程中的参数可以被识别，在这样的情况下，使用 2SLS 法将得到唯一的估计结果。在计量经济分析中，当方程中的参数被识别时，我们就说方程是被识别的。在 IV 估计式中：

\begin{aligned} {\hat{β}}_{2 S L S} & = {({\hat{X}}^{'} X)}^{- 1} \hat{X^{'}} y \\ = {X^{'} Z {(Z^{'} Z)}^{- 1} Z^{'} X}^{- 1} {X^{'} Z {(Z^{'} Z)}^{- 1} Z^{'} y} \end{aligned}

仅有当以下两个条件都满足时， ${\hat{β}}_{2 S L S}$ 值是唯一的。 (a). $(Z^{'} Z)$ 是 $ℓ \times ℓ$ 阶非奇异矩阵； (b). $(Z^{'} X)$ 是秩为 $k$ 的满秩矩阵（列满秩）。对于条件 (a)：只要工具变量之间是线性独立的， $(Z^{'} Z)$ 就是 $ℓ \times ℓ$ 阶非奇异矩阵，因此这个要求通常被认为是满足的。对于条件 (b)： $(Z^{'} X)$ 的秩为 $k$ 被称为是 "秩条件"。 $ℓ \geq k$ 被称为是 "阶条件"。由于 $X$ 中的外生变量可以作为自己的工具变量，因此，"阶条件" 通常被陈述为 "需要至少与内生变量个数一样多的工具变量"，才能保证 $ℓ \geq k$ 。"阶条件" 是必要条件，但满足这个条件还不够，还需要满足 "秩条件"。

若 $(Z^{'} X)$ 的秩 小于 $k$ ，则称方程是 识别不足 的，此时就无法用计量方法得到一致的估计结果。若 $(Z^{'} X)$ 的秩 等于 $k$ ，则称方程是 恰足识别 的。若 $(Z^{'} X)$ 的秩 大于 $k$ ，则称方程是 过度识别 的。

2. 过度识别约束检验

2.1 干扰项同方差情形

过度识别约束检验 是对 工具变量的外生性 进行检验。在 恰足识别 情况下，我们无法对工具变量的外生性进行直接检验， 但是在过度识别情况下，我们就可以检验多余的工具变量是否与干扰项 $u_{1}$ 不相关。 为了解释这个过程，我们从下式开始：

y_{1} = z_{1} δ_{1} + y_{2} α_{1} + u_{1}

上式中 $y_{2}$ 是内生变量，维度是 $1 \times G_{1}$ ； $z_{1}$ 是外生变量，维度是 $1 \times L_{1}$ 。 $z$ 是所有外生变量，维度是 $1 \times L$ ，将 $z$ 分为两部分 $z = (z_{1}, z_{2})$ ，其中 $z_{2}$ 的维度是 $1 \times L_{2}$ 并且有 $L = L_{1} + L_{2}$ 。在过度识别情况下，有 $L_{2} > G_{1}$ 。在通常识别条件下，我们可以使用任意 $z_{2}$ 的子集 $1 \times G_{1}$ 作为 $y_{2}$ 的工具变量来估计上式方程（ $z_{1}$ 作为自己的工具变量）。

Hausman (1978) 提出：用恰足识别方程的工具变量的子集进行 2SLS 的估计结果与用所有工具变量进行 2SLS 的估计结果进行比较，如果所有的工具变量都是有效的，那么这两个估计结果之间的差异就应当仅仅是抽样误差。与检验变量是否是内生的情况类似，构建原始的 Hausman 统计量在计算上是复杂的，不过，我们可以使用一个简单的基于回归的检验过程来替代上面的检验，具体步骤如下：

在 同方差 情形下： (1). 使用所有的工具变量 $z$ 进行 2SLS 回归，得到残差 ${\hat{u}}_{1}$ ； (2). 将 ${\hat{u}}_{1}$ 对 $z$ 进行 OLS 回归（包含常数项），得到 $R_{u}^{2}$ （假设 $z_{1}$ 与 $z$ 包括常数项，否则为 uncentered $R^{2}$ ）； (3). 在原假设 $E (z^{'} u_{1}) = 0$ 和假设 $E (u^{2} z^{'} z) = σ^{2} E (z^{'} z)$ $σ^{2} = E (u^{2})$ (Assumption 2SLS.3) 下，有 $N R_{u}^{2} \overset{a}{\sim} χ_{Q_{1}}^{2}$ ，其中 $Q_{1}$ 为多余约束（多余工具变量）的个数， $Q_{1} \equiv L_{2} - G_{1}$ 。 $N R_{u}^{2}$ 为 Sargan 统计量。 (4). 如果我们拒绝了原假设，那就意味着我们必须重新审查选择的工具变量；如果我们不能拒绝原假设，我们就能够对整体的工具变量的有效性有一定的信心。当然，这个检验对于探测个别工具变量内生性的功效是较低的。

2.2 干扰项异方差情形

异方差 情形下的计算要稍微复杂些。

在 异方差 情形下： (1). 通过 2SLS 的第一阶段计算得到 ${\hat{y}}_{2}$ ； (2). 选择 ${\hat{z}}_{2}$ 的任意子集 ${\hat{h}}_{2}$ ，维度为 $1 \times Q_{1}$ ( 无论是哪些子集被选取出来，只要我们选择 $Q_{1}$ 个元素即可 )； (3). 将子集 ${\hat{h}}_{2}$ 中的每一个元素对 $z_{1}$ 与 ${\hat{y}}_{2}$ 做回归并计算残差 ${\hat{r}}_{2}$ ，维度为 $1 \times Q_{1}$ ，即 $Q_{1}$ 个元素； (4). 将 1 对 ${\hat{u}}_{1} {\hat{r}}_{2}$ 做回归 (不包括常数项) 并计算残差平方和 $S S R_{0}$ 与 $N - S S R_{0}$ 。 (5). $N - S S R_{0}$ 渐进服从 $χ_{Q_{1}}^{2}$ 分布，判断是否拒绝原假设。与同方差情形一样，如果我们拒绝了原假设，就意味着工具变量不是外生的；如果不能拒绝原假设，就意味着整体上工具变量是外生的。

2.3 Stata 应用举例

在 Stata 中，可以使用命令自动实现上述检验。当 2SLS 回归做完之后，用命令 estat overid 即可对工具变量的外生性进行检验，接下来我们使用案例 1 的数据举例说明。

我们要检验的是：父亲与母亲的受教育年数（ $m o t h e d u c$ 与 $f a t h e d u c$ ）与结构方程中的随机误差项 $u_{1}$ 是否相关。原假设 $H_{0}$ 是：整体上所有的工具变量与结构方程中的随机误差项 $u_{1}$ 不相关（1）假设在 同方差 情形下，根据上述步骤，Stata 命令和结果如下所示：

.    use "D:\stata15\ado\personal\IV_2SLS\Data\mroz.dta", clear
 
.  *-过度识别约束检验（**同方差情形下**）（手动计算）
.  *-overidentifying restriction

.  *-2SLS
.    ivregress 2sls lwage $aa (educ = motheduc fatheduc)

Instrumental variables (2SLS) regression          Number of obs   =        428
                                                  Wald chi2(3)    =      24.65
                                                  Prob > chi2     =     0.0000
                                                  R-squared       =     0.1357
                                                  Root MSE        =     .67155

------------------------------------------------------------------------------
       lwage |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |   .0613966   .0312895     1.96   0.050     .0000704    .1227228
       exper |   .0441704   .0133696     3.30   0.001     .0179665    .0703742
     expersq |   -.000899   .0003998    -2.25   0.025    -.0016826   -.0001154
       _cons |   .0481003    .398453     0.12   0.904    -.7328532    .8290538
------------------------------------------------------------------------------
Instrumented:  educ
Instruments:   exper expersq motheduc fatheduc

.  *-1.计算残差（u的估计值uhat）
.    cap drop uhat
.    predict uhat, residual
(325 missing values generated)
  
.  *-2.将残差与所有外生变量和工具变量做线性回归,得到R2的值
.    reg uhat $aa motheduc fatheduc

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       428
-------------+----------------------------------   F(4, 423)       =      0.09
       Model |  .170502977         4  .042625744   Prob > F        =    0.9845
    Residual |  192.849519       423  .455909028   R-squared       =    0.0009
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =   -0.0086
       Total |  193.020022       427  .452037522   Root MSE        =    .67521

------------------------------------------------------------------------------
        uhat |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
       exper |  -.0000183   .0133291    -0.00   0.999    -.0262179    .0261813
     expersq |   7.34e-07   .0003985     0.00   0.999    -.0007825     .000784
    motheduc |  -.0066065   .0118864    -0.56   0.579    -.0299704    .0167573
    fatheduc |   .0057823   .0111786     0.52   0.605    -.0161902    .0277547
       _cons |   .0109641   .1412571     0.08   0.938    -.2666892    .2886173
------------------------------------------------------------------------------
 
.  *-3.计算统计量NR2，即Sargan统计量
.    gen sargan = e(N)*e(r2)

.  *-或生成暂元在屏幕上显示
.    scalar Sargan = e(N)*e(r2)
.    dis "Sargan = " Sargan   
Sargan = .37807101

.  *-4.判断是否拒绝原假设H0：所有的外生变量与结构方程中的随机误差项u不相关
.  *-  NR2统计量服从χ2(q)分布，q为过度识别约束的个数，即多余工具变量的个数
.  *-  在本例中，由于只有一个内生变量，但工具变量有motheduc与fatheduc两个，所以q=1
.  *-  在5%的显著性水平上，χ2(1)=3.84，而NR2的值为 n_rsquare = 0.378071
.  *-  因此，不能拒绝原假设，我们对整体上工具变量的外生性是有信心的。
.    scalar pvalue = chiprob(1, Sargan) //与下一行命令等价
.    * scalar pvalue = 1-chi2(1, Sargan)
.    dis "p-value = " pvalue
p-value = .53863741

.  *-过度识别约束检验（**同方差情形下**）（Stata自动计算）
.  *-1.进行2SLS回归
.    ivregress 2sls lwage $aa (educ = motheduc fatheduc)

Instrumental variables (2SLS) regression          Number of obs   =        428
                                                  Wald chi2(3)    =      24.65
                                                  Prob > chi2     =     0.0000
                                                  R-squared       =     0.1357
                                                  Root MSE        =     .67155

------------------------------------------------------------------------------
       lwage |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |   .0613966   .0312895     1.96   0.050     .0000704    .1227228
       exper |   .0441704   .0133696     3.30   0.001     .0179665    .0703742
     expersq |   -.000899   .0003998    -2.25   0.025    -.0016826   -.0001154
       _cons |   .0481003    .398453     0.12   0.904    -.7328532    .8290538
------------------------------------------------------------------------------
Instrumented:  educ
Instruments:   exper expersq motheduc fatheduc

.  *-2.过度识别约束检验
.    estat overid
  Tests of overidentifying restrictions:

  Sargan (score) chi2(1) =  .378071  (p = 0.5386)
  Basmann chi2(1)        =  .373985  (p = 0.5408)

（2）假设在 异方差 情形下，在第一步进行 2SLS 回归时增加 robust 选项，之后使用 estat overid 命令进行检验，Stata 命令和结果如下所示：

.  *-过度识别约束检验（**异方差情形下**）（手动计算）
.  *-计算educ_hat
.    reg educ motheduc fatheduc huseduc $aa

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       753
-------------+----------------------------------   F(5, 747)       =    130.16
       Model |  1820.49038         5  364.098077   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  2089.54946       747  2.79725496   R-squared       =    0.4656
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.4620
       Total |  3910.03984       752  5.19952106   Root MSE        =    1.6725

------------------------------------------------------------------------------
        educ |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
    motheduc |    .130004   .0223789     5.81   0.000      .086071    .1739371
    fatheduc |   .1013613   .0214423     4.73   0.000      .059267    .1434556
     huseduc |   .3715645   .0220465    16.85   0.000     .3282839     .414845
       exper |   .0532406   .0218443     2.44   0.015     .0103571    .0961241
     expersq |  -.0007403    .000708    -1.05   0.296    -.0021303    .0006497
       _cons |   5.115778    .298017    17.17   0.000     4.530727    5.700828
------------------------------------------------------------------------------
.    predict educ_hat, xb 

.  *-计算残差 r1 与 r2
.    reg motheduc $aa educ_hat

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       753
-------------+----------------------------------   F(3, 749)       =    187.97
       Model |  3662.73295         3  1220.91098   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  4864.82881       749  6.49509854   R-squared       =    0.4295
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.4272
       Total |  8527.56175       752  11.3398428   Root MSE        =    2.5485

------------------------------------------------------------------------------
    motheduc |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
       exper |  -.1051582   .0337061    -3.12   0.002    -.1713279   -.0389885
     expersq |   .0015231   .0010851     1.40   0.161     -.000607    .0036532
    educ_hat |   1.425138   .0608066    23.44   0.000     1.305767     1.54451
       _cons |  -7.412718   .7419038    -9.99   0.000    -8.869176   -5.956259
------------------------------------------------------------------------------
.    predict r1, res

.    reg fatheduc $aa educ_hat

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       753
-------------+----------------------------------   F(3, 749)       =    197.80
       Model |  4242.00749         3   1414.0025   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  5354.45466       749  7.14880462   R-squared       =    0.4420
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.4398
       Total |  9596.46215       752  12.7612529   Root MSE        =    2.6737

------------------------------------------------------------------------------
    fatheduc |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
       exper |  -.1068543   .0353617    -3.02   0.003    -.1762741   -.0374346
     expersq |   .0014908   .0011384     1.31   0.191    -.0007439    .0037256
    educ_hat |   1.534126   .0637932    24.05   0.000     1.408891     1.65936
       _cons |  -9.170285   .7783437   -11.78   0.000    -10.69828    -7.64229
------------------------------------------------------------------------------
.    predict r2, res

.  *-计算2SLS残差uhat
.    ivregress 2sls lwage $aa (educ = motheduc fatheduc huseduc)

Instrumental variables (2SLS) regression          Number of obs   =        428
                                                  Wald chi2(3)    =      34.90
                                                  Prob > chi2     =     0.0000
                                                  R-squared       =     0.1495
                                                  Root MSE        =     .66616

------------------------------------------------------------------------------
       lwage |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |   .0803918    .021672     3.71   0.000     .0379155    .1228681
       exper |   .0430973   .0132027     3.26   0.001     .0172204    .0689742
     expersq |  -.0008628   .0003943    -2.19   0.029    -.0016357   -.0000899
       _cons |  -.1868574   .2840591    -0.66   0.511     -.743603    .3698883
------------------------------------------------------------------------------
Instrumented:  educ
Instruments:   exper expersq motheduc fatheduc huseduc

.    cap drop uhat
.    predict uhat, res
(325 missing values generated)

.  *-生成新变量uhat*r1与uhat*r2
.    gen uhat_r1 = uhat * r1
(325 missing values generated)
.    gen uhat_r2 = uhat * r2  
(325 missing values generated)

.  *-计算SSR
.    gen one = 1
.    reg one uhat_r1 uhat_r2, noconstant

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       428
-------------+----------------------------------   F(2, 426)       =      0.51
       Model |    1.018745         2  .509372498   Prob > F        =    0.6019
    Residual |  426.981255       426  1.00230342   R-squared       =    0.0024
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =   -0.0023
       Total |         428       428           1   Root MSE        =    1.0012

------------------------------------------------------------------------------
         one |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
     uhat_r1 |  -.0270098    .028959    -0.93   0.352    -.0839302    .0299106
     uhat_r2 |  -.0004977   .0307894    -0.02   0.987    -.0610157    .0600203
------------------------------------------------------------------------------

.    predict e, res 
(325 missing values generated)
.    gen e2 = e*e
(325 missing values generated)
.    sum e2

    Variable |        Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
          e2 |        428    .9976198    .0942201   .3649098   1.558913

.    scalar SSR = r(N)*r(mean)
.    dis "SSR = " SSR
SSR = 426.98126

.  *-计算N-SSR与p-value
.  *-结果为不能拒绝原假设H0，即工具变量是外生的
.    scalar N_SSR = r(N)- SSR
.    scalar pvalue = chiprob(2, N_SSR)
.    dis "N_SSR = " N_SSR
N_SSR = 1.018745
.    dis "p-value = " pvalue  
p-value = .60087251


.  *-过度识别约束检验（**异方差情形下**）（Stata自动计算）
.  *-1.进行2SLS回归，增加异方差选项robust
.    ivregress 2sls lwage $aa (educ = motheduc fatheduc), robust

Instrumental variables (2SLS) regression          Number of obs   =        428
                                                  Wald chi2(3)    =      18.61
                                                  Prob > chi2     =     0.0003
                                                  R-squared       =     0.1357
                                                  Root MSE        =     .67155

------------------------------------------------------------------------------
             |               Robust
       lwage |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |   .0613966   .0331824     1.85   0.064    -.0036397     .126433
       exper |   .0441704   .0154736     2.85   0.004     .0138428     .074498
     expersq |   -.000899   .0004281    -2.10   0.036     -.001738     -.00006
       _cons |   .0481003   .4277846     0.11   0.910    -.7903421    .8865427
------------------------------------------------------------------------------
Instrumented:  educ
Instruments:   exper expersq motheduc fatheduc

.  *-2.过度识别约束检验
.    estat overid
  Test of overidentifying restrictions:
  Score chi2(1)          =  .443461  (p = 0.5055)

在同方差或异方差的情形下，过度识别约束的检验结果表明我们无法拒绝原假设，表明整体上所有工具变量（父母的受教育年数）是外生的。

3 内生性问题检验

3.1 单个内生变量的情形

让我们从线性模型、里面存在单一的可能是内生变量的情形开始。为了清楚标记，我们定义 $y_{1}$ 为因变量，可能的内生解释变量为 $y_{2}$ 。在所有的 2SLS 的情况中， $y_{2}$ 可以是连续型变量或者可以是二元哑变量，或者它可能既有连续又有离散的特征，对此并无限制。总体模型为：

y_{1} = z_{1} δ_{1} + α_{1} y_{2} + u_{1}

上式中 $z_{1}$ 的维度是 $1 \times L_{1}$ (包括常数项), $δ_{1}$ 的维度是 $L_{1} \times 1$ ， $u_{1}$ 是不可观测的干扰项。整套的所有的外生变量由矢量 $z$ 来定义，它的维度是 $1 \times L$ 。其中， $z_{1}$ 是 $z$ 的一个严格的子集。外生的假设是：

E (z^{'} u_{1}) = 0

重要的是要记住上式的假设在整节内容中都成立。我们还要假设当 $E (y_{2} u_{1}) \neq 0$ 时，总体模型是可以识别的，这就要求： $z$ 中至少有一个元素不包括在 $z_{1}$ 中（阶条件）；秩条件是，在 $z$ 中但不包括在 $z_{1}$ 中，至少有一个元素与 $y_{2}$ 是部分相关的（去掉 $z_{1}$ 之后）。在这些假设之上，我们现在检验原假设： $y_{2}$ 实际上是外生变量。

Hausman（1978）提出比较 OLS 和 2SLS 的估计量 $β_{1} \equiv {(δ_{1}^{'}, α_{1})}^{'}$ 作为正式的内生性检验：如果 $y_{2}$ 与 $u_{1}$ 不相关，那么 OLS 和 2SLS 的估计量应当只有抽样误差的差别。这个道理就是检验内生性的 Hausman 检验。这个统计量的原始形式对于计算来说是复杂的，因为矩阵的二次形式是奇异的，除非总体模型中没有外生变量。Hausman（1978，1983）提出了一个基于回归形式的检验，这个检验能够渐进的等价于原始形式的 Hausman 检验。并且，这个基于回归形式的检验能够容易的扩展到其他情形，包括一些非线性的模型。

为了进行基于回归的检验，我们写出包含误差项形式的 $y_{2}$ 对 $z$ 的线性投影，如下：

\begin{aligned} y_{2} = z π_{2} + v_{2} \\ E (z^{'} v_{2}) = 0 \end{aligned}

上式中 $π_{2}$ 的维度是 $L \times 1$ 。由于 $u_{1}$ 与 $z$ 不相关，且 $y_{2}$ 是内生的，即 $Cov (z π_{2} + v_{2}, u_{1}) \neq 0$ ，则有 $Cov (v_{2}, u_{1}) \neq 0$ 。**因此，当且仅当 $E (u_{1} v_{2}) \neq 0$ 时 $y_{2}$ 是内生的。这样，我们就检验结构误差项 $u_{1}$ 与约减形式的误差项 $v_{2}$ 是否相关。**我们写出包含误差项形式的 $u_{1}$ 对 $v_{2}$ 的线性投影，如下：

u_{1} = ρ_{1} v_{2} + e_{1}

上式中 $ρ_{1} = E (v_{2} u_{1}) / E (v_{2}^{2})$ ， $E (v_{2} e_{1}) = 0$ ，并且 $E (z^{'} e_{1}) = 0$ （由于 $u_{1}$ 与 $v_{2}$ 分别与 $z$ 正交）。因此，当且仅当 $ρ_{1} = 0$ 时， $y_{2}$ 是内生变量。 将上式代入总体模型中可得：

y_{1} = z_{1} δ_{1} + α_{1} y_{2} + ρ_{1} v_{2} + e_{1}

上式的关键是在模型设定上 $e_{1}$ 与 $z_{1}$ ， $y_{2}$ 和 $v_{2}$ 不相关。因此，对于 $H_{0} : ρ_{1} = 0$ 的检验就可以在包括 $z_{1}$ 与 $y_{2}$ 的 OLS 模型中对变量 $v_{2}$ 进行标准 $t$ 检验。由于 $v_{2}$ 是不可观测的，我们可以使用 ${\hat{v}}_{2}$ ，这个 $v_{2}$ 的估计值是第一个阶段约减形式 OLS 回归方程 $y_{2}$ 对 $z$ ( $y_{2} = z π_{2} + v_{2}$ ) 的残差值。我们将 $v_{2}$ 以 ${\hat{v}}_{2}$ 代替，就可以得到下式：

y_{1} = z_{1} δ_{1} + α_{1} y_{2} + ρ_{1} {\hat{v}}_{2} + e r r o r

$z$ 包括了所有的外生变量， ${\hat{v}}_{2}$ 则为除过 $z$ 之外能够影响 $y_{2}$ 的所有因素的估计值，因此，上式中的误差项 $e r r o r$ 中不包括任何影响 $y_{2}$ 的因素，即 $e r r o r$ 与 $y_{2}$ 不相关，**这样就能够使用 OLS 得到 $δ_{1}$ ， $α_{1}$ 与 $ρ_{1}$ 的一致估计量。**在 同方差 假定 $E (u_{1}^{2} | z, y_{2}) = σ_{1}^{2}$ 下，对 ${\hat{ρ}}_{1}$ 进行常规 OLS 的 $t$ 检验就是对 $H_{0} : ρ_{1} = 0$ 的有效检验。（需要记住的是：在 $H_{0}$ 下， $y_{2}$ 是外生变量。）在 异方差 情况下，我们使用异方差稳健型 $t$ 检验。

由上式得到的 OLS估计量 $δ_{1}$ 与 $α_{1}$ 和 2SLS 估计量实质上是一样的。上式可以允许我们比较 OLS 与 2SLS 估计量的数量级，以判断这两者在实践中的差异是否重要，这样就不仅仅能发现 $y_{2}$ 是内生变量的统计显著性。并且，它还可以对我们计算的统计量进行验证。

由上式得到的 OLS 标准误不是有效的（除非 $ρ_{1} = 0$ ）。若要得到合适的标准误和检验统计量的值，我们就对总体模型使用 2SLS 回归计算得到。

在 Stata 中，可以使用命令自动实现上述检验。当 2SLS 回归做完之后，使用 estat endog 命令即可检验内生变量是否是内生的，接下来我们举例说明。

Stata应用举例（使用案例1的数据）

我们要检验的是 $e d u c$ 是否是内生变量。原假设 $H_{0}$ 为： $e d u c$ 是外生变量。

（1）假设在 同方差 情形下，根据上述步骤，Stata 命令和结果如下所示：

.  ***************单个内生变量*************************
.  *-Hausman检验（**同方差情形下**）（手动计算）
.  *-1.进行2SLS回归
.    ivregress 2sls lwage $aa (educ = motheduc fatheduc)

Instrumental variables (2SLS) regression          Number of obs   =        428
                                                  Wald chi2(3)    =      24.65
                                                  Prob > chi2     =     0.0000
                                                  R-squared       =     0.1357
                                                  Root MSE        =     .67155

------------------------------------------------------------------------------
       lwage |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |   .0613966   .0312895     1.96   0.050     .0000704    .1227228
       exper |   .0441704   .0133696     3.30   0.001     .0179665    .0703742
     expersq |   -.000899   .0003998    -2.25   0.025    -.0016826   -.0001154
       _cons |   .0481003    .398453     0.12   0.904    -.7328532    .8290538
------------------------------------------------------------------------------
Instrumented:  educ
Instruments:   exper expersq motheduc fatheduc

.  *-2.获取参与回归的样本，给sample_2sls赋值为1
.    gen sample_2sls = e(sample)

.  *-3.对约减方程做回归：用内生变量作为因变量，所有外生变量和工具变量作为自变量
.    reg educ $aa motheduc fatheduc if sample_2sls == 1

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       428
-------------+----------------------------------   F(4, 423)       =     28.36
       Model |  471.620998         4   117.90525   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  1758.57526       423  4.15738833   R-squared       =    0.2115
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.2040
       Total |  2230.19626       427  5.22294206   Root MSE        =     2.039

------------------------------------------------------------------------------
        educ |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
       exper |   .0452254   .0402507     1.12   0.262    -.0338909    .1243417
     expersq |  -.0010091   .0012033    -0.84   0.402    -.0033744    .0013562
    motheduc |    .157597   .0358941     4.39   0.000      .087044    .2281501
    fatheduc |   .1895484   .0337565     5.62   0.000     .1231971    .2558997
       _cons |    9.10264   .4265614    21.34   0.000     8.264196    9.941084
------------------------------------------------------------------------------

.  *-4.计算上述约减方程的残差
.    predict vhat_reducedeq, res

.  *-5.将vhat_reducedeq加入到结构方程中进行回归
.  *-  原假设H0：beta_vhat_reducedeq = 0（educ是外生变量）
.  *-  若beta_vhat_reducedeq显著异于0，则拒绝原假设，表明educ是内生变量
.    reg lwage $aa educ vhat_reducedeq if sample_2sls == 1

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       428
-------------+----------------------------------   F(4, 423)       =     20.50
       Model |  36.2573159         4  9.06432898   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  187.070135       423  .442246183   R-squared       =    0.1624
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.1544
       Total |  223.327451       427  .523015108   Root MSE        =    .66502

--------------------------------------------------------------------------------
         lwage |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
---------------+----------------------------------------------------------------
         exper |   .0441704   .0132394     3.34   0.001     .0181471    .0701937
       expersq |   -.000899   .0003959    -2.27   0.024    -.0016772   -.0001208
          educ |   .0613966   .0309849     1.98   0.048      .000493    .1223003
vhat_reducedeq |   .0581666   .0348073     1.67   0.095    -.0102501    .1265834
         _cons |   .0481003   .3945753     0.12   0.903    -.7274721    .8236727
--------------------------------------------------------------------------------

.  *-Hausman检验（**同方差情形下**）（Stata自动计算）
.  *-1.进行2SLS回归
.    ivregress 2sls lwage $aa (educ = motheduc fatheduc) 

Instrumental variables (2SLS) regression          Number of obs   =        428
                                                  Wald chi2(3)    =      24.65
                                                  Prob > chi2     =     0.0000
                                                  R-squared       =     0.1357
                                                  Root MSE        =     .67155

------------------------------------------------------------------------------
       lwage |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |   .0613966   .0312895     1.96   0.050     .0000704    .1227228
       exper |   .0441704   .0133696     3.30   0.001     .0179665    .0703742
     expersq |   -.000899   .0003998    -2.25   0.025    -.0016826   -.0001154
       _cons |   .0481003    .398453     0.12   0.904    -.7328532    .8290538
------------------------------------------------------------------------------
Instrumented:  educ
Instruments:   exper expersq motheduc fatheduc

.  *-2.Hausman检验
.    estat endog
  Tests of endogeneity
  Ho: variables are exogenous
  Durbin (score) chi2(1)          =  2.80707  (p = 0.0938)
  Wu-Hausman F(1,423)             =  2.79259  (p = 0.0954)

（2）假设在 异方差 情形下，根据上述步骤，Stata 命令和结果如下所示：

.  *-Hausman检验（**异方差情形下**）（手动计算）
.  *-1.进行2SLS回归
.    ivregress 2sls lwage $aa (educ = motheduc fatheduc)

Instrumental variables (2SLS) regression          Number of obs   =        428
                                                  Wald chi2(3)    =      24.65
                                                  Prob > chi2     =     0.0000
                                                  R-squared       =     0.1357
                                                  Root MSE        =     .67155

------------------------------------------------------------------------------
       lwage |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |   .0613966   .0312895     1.96   0.050     .0000704    .1227228
       exper |   .0441704   .0133696     3.30   0.001     .0179665    .0703742
     expersq |   -.000899   .0003998    -2.25   0.025    -.0016826   -.0001154
       _cons |   .0481003    .398453     0.12   0.904    -.7328532    .8290538
------------------------------------------------------------------------------
Instrumented:  educ
Instruments:   exper expersq motheduc fatheduc

.  *-2.获取参与回归的样本，给sample_2sls赋值为1
.    cap drop sample_2sls 
.    gen sample_2sls = e(sample)

.  *-3.对约减方程做回归：用内生变量作为因变量，所有外生变量和工具变量作为自变量
.    reg educ $aa motheduc fatheduc if sample_2sls == 1

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       428
-------------+----------------------------------   F(4, 423)       =     28.36
       Model |  471.620998         4   117.90525   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  1758.57526       423  4.15738833   R-squared       =    0.2115
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.2040
       Total |  2230.19626       427  5.22294206   Root MSE        =     2.039

------------------------------------------------------------------------------
        educ |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
       exper |   .0452254   .0402507     1.12   0.262    -.0338909    .1243417
     expersq |  -.0010091   .0012033    -0.84   0.402    -.0033744    .0013562
    motheduc |    .157597   .0358941     4.39   0.000      .087044    .2281501
    fatheduc |   .1895484   .0337565     5.62   0.000     .1231971    .2558997
       _cons |    9.10264   .4265614    21.34   0.000     8.264196    9.941084
------------------------------------------------------------------------------

.  *-4.计算上述约减方程的残差
.    cap drop vhat_reducedeq
.    predict vhat_reducedeq, res

.  *-5.将vhat_reducedeq加入到结构方程中进行回归
.  *-  原假设H0：beta_vhat_reducedeq = 0（educ是外生变量）
.  *-  使用稳健型标准误计算t统计量的值
.  *-  若beta_vhat_reducedeq显著异于0，则拒绝原假设，表明educ是内生变量
.    reg lwage $aa educ vhat_reducedeq if sample_2sls == 1, robust

Linear regression                               Number of obs     =        428
                                                F(4, 423)         =      21.52
                                                Prob > F          =     0.0000
                                                R-squared         =     0.1624
                                                Root MSE          =     .66502

--------------------------------------------------------------------------------
               |               Robust
         lwage |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
---------------+----------------------------------------------------------------
         exper |   .0441704   .0151219     2.92   0.004     .0144469    .0738939
       expersq |   -.000899   .0004152    -2.16   0.031    -.0017152   -.0000828
          educ |   .0613966   .0326667     1.88   0.061    -.0028127     .125606
vhat_reducedeq |   .0581666   .0364135     1.60   0.111    -.0134073    .1297406
         _cons |   .0481003   .4221019     0.11   0.909    -.7815781    .8777787
--------------------------------------------------------------------------------

.  *-Hausman检验（**异方差情形下**）（Stata自动计算）
.  *-1.进行2SLS回归，增加robust选项
.    ivregress 2sls lwage $aa (educ = motheduc fatheduc), robust

Instrumental variables (2SLS) regression          Number of obs   =        428
                                                  Wald chi2(3)    =      18.61
                                                  Prob > chi2     =     0.0003
                                                  R-squared       =     0.1357
                                                  Root MSE        =     .67155

------------------------------------------------------------------------------
             |               Robust
       lwage |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |   .0613966   .0331824     1.85   0.064    -.0036397     .126433
       exper |   .0441704   .0154736     2.85   0.004     .0138428     .074498
     expersq |   -.000899   .0004281    -2.10   0.036     -.001738     -.00006
       _cons |   .0481003   .4277846     0.11   0.910    -.7903421    .8865427
------------------------------------------------------------------------------
Instrumented:  educ
Instruments:   exper expersq motheduc fatheduc

.  *-2.Hausman检验
.    estat endog
  Tests of endogeneity
  Ho: variables are exogenous
  Robust score chi2(1)            =  2.52857  (p = 0.1118)
  Robust regression F(1,423)      =  2.55166  (p = 0.1109)

在同方差假设情形下，内生性的检验结果表明在 10% 的显著性水平上可以拒绝原假设，表明在 10% 的显著性水平上， $e d u c$ 变量是内生的。在异方差假设情形下，内生性的检验结果却表明在 10% 的显著性水平上无法拒绝原假设，表明 $e d u c$ 变量是外生的。

3.2 多个内生变量的情形

下面将基于回归的 Hausman 检验拓展至多个内生变量的情形。定义 $y_{2}$ 为一个 $1 \times G_{1}$ 的向量，表示下式的总体模型中所有可能的内生变量：

y_{1} = z_{1} δ_{1} + y_{2} α_{1} + u_{1}, E (z^{'} u_{1}) = 0

上式中， $α_{1}$ 的维度是 $G_{1} \times 1$ 。同样的，我们假设满足 2SLS 的秩条件。写出约减方程为 $y_{2} = z I I_{2} + v_{2}$ ，其中， $Π_{2}$ 的维度是 $L \times G_{1}$ ， $v_{2}$ 的维度是 $1 \times G_{1}$ ，为约减方程中的误差项。对于一般的观察，定义 ${\hat{v}}_{2}$ 的维度是 $1 \times G_{1}$ ，表示对每个约减方程进行 OLS 回归之后的残差（即：将 $y_{2}$ 中的每一个元素对 $z$ 做回归之后得到 RF 残差值；然后将这些残差值收集起来列在行向量 ${\hat{v}}_{2}$ 中）。接下来就可以估计下式：

y_{1} = z_{1} δ_{1} + y_{2} α_{1} + {\hat{v}}_{2} ρ_{1} + error

并做一个标准 $F$ 检验（原假设 $H_{0} : ρ_{1} = 0$ ），以检验上式未被约束的模型中的 $G_{1}$ 个约束。若设置 $ρ_{1} = 0$ ，我们就得到了受约束的模型，这就意味着我们使用 OLS 对总体模型进行了估计。该检验还可以用在 $u_{1}$ 为异方差时的情形：通过使用异方差稳健型 Wald 统计量。在一些回归软件包中，例如 Stata，稳健型检验由 $F - t y p e$ 检验来操作执行。

我们还可以使用 $L M - t y p e$ 检验来代替 $F$ 检验。定义 ${\hat{u}}_{1}$ 为 $y_{1}$ 对 $z_{1}$ 和 $y_{2}$ 进行 OLS 回归之后的残差（在原假设 $y_{2}$ 是外生变量的情况下获得残差）。然后，从下面的回归中获得一般的 R-squared（设定 $z_{1}$ 中包含常数项），记为 $R_{u}^{2}$ ：

{\hat{u}}_{1} on z_{1}, y_{2}, {\hat{v}}_{2}

$N R_{u}^{2}$ 渐进服从于 $χ_{G_{1}}^{2}$ 分布。上述检验是在原假设 $H_{0}$ 下的同方差情形下进行的。在异方差情形下，可以使用伍德里奇横截面与面板的计量分析书中第四章公式（4.17）：令 $x_{1} = (z_{1}, y_{2})$ ，且 $x_{2} = {\hat{v}}_{2}$ 。

Stata 应用举例（使用案例2的数据）

使用案例 2 中的 card.dta 数据。在工资方程中我们增加交乘项 $b l a c k * e d u c$ ，写出下述模型：

\log (w a g e) = α_{1} e d u c + α_{2} b l a c k \cdot e d u c + z_{1} δ_{1} + u_{1}

上式中 $z_{1}$ 包含了一个常数项， $e x p e r$ ， $e x p e r^{2}$ ， $b l a c k$ ， $s o u t h$ ， $s m s a$ ， $r e g 661$ ，...， $r e g 668$ ， $s m s a 66$ 。若 $e d u c$ 与 $u_{1}$ 相关，那么我们认为 $b l a c k * e d u c$ 同样也与 $u_{1}$ 相关。若我们认为 $n e a r 4$ （工作者是否在四年制大学附近成长大）是 $e d u c$ 的一个有效工具变量，那么很自然的， $b l a c k * e d u c$ 的工具变量就是 $b l a c k * n e a r 4$ 。注意到 $b l a c k * n e a r 4$ 与 $u_{1}$ 不相关是在条件均值假设 $E (u_{1} | z) = 0$ 下成立的，其中 $z$ 包括了所有的外生变量。对上式进行 OLS 回归的 Stata 命令和结果如下：

.   ***************多个内生变量*************************
.    use "D:\stata15\ado\personal\IV_2SLS\Data\card.dta", clear

.  *-手动计算 
.  *-Coviariates set up 
.    global cc "exper expersq south smsa reg661 reg662 reg663 reg664 reg665 reg666 reg667 reg668 smsa66"

.  *-OLS
.    reg lwage educ i.black##c.educ $cc 
note: educ omitted because of collinearity

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =     3,010
-------------+----------------------------------   F(16, 2993)     =     80.83
       Model |  178.817017        16  11.1760636   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  413.824594     2,993  .138264148   R-squared       =    0.3017
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.2980
       Total |  592.641611     3,009  .196956335   Root MSE        =    .37184

------------------------------------------------------------------------------
       lwage |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |   .0707788   .0037548    18.85   0.000     .0634165    .0781411
     1.black |  -.4191076   .0794021    -5.28   0.000    -.5747958   -.2634194
        educ |          0  (omitted)
             |
black#c.educ |
          1  |   .0178595    .006271     2.85   0.004     .0055636    .0301554
             |
       exper |   .0821556   .0066828    12.29   0.000     .0690522    .0952589
     expersq |  -.0021349   .0003207    -6.66   0.000    -.0027638    -.001506
       south |  -.1441927   .0259827    -5.55   0.000    -.1951384    -.093247
        smsa |   .1340695   .0200931     6.67   0.000     .0946718    .1734671
      reg661 |  -.1221745   .0388047    -3.15   0.002    -.1982611    -.046088
      reg662 |  -.0232881   .0282266    -0.83   0.409    -.0786336    .0320574
      reg663 |   .0230953   .0273506     0.84   0.399    -.0305325    .0767231
      reg664 |  -.0666851   .0356556    -1.87   0.062    -.1365971    .0032269
      reg665 |   .0032644     .03614     0.09   0.928    -.0675974    .0741261
      reg666 |   .0151249   .0401224     0.38   0.706    -.0635454    .0937952
      reg667 |  -.0074966   .0394073    -0.19   0.849    -.0847648    .0697716
      reg668 |  -.1757195   .0462851    -3.80   0.000    -.2664733   -.0849657
      smsa66 |   .0249824   .0194297     1.29   0.199    -.0131144    .0630793
       _cons |    4.80677   .0752604    63.87   0.000     4.659202    4.954337
------------------------------------------------------------------------------

OLS 的结果表示黑人的教育回报率比非黑人的高1.79%。

为了检验 $e d u c$ 的外生性，我们必须检验 $e d u c$ 与 $e d u c * b l a c k$ 是否都与 $u_{1}$ 不相关。我们先做第一阶段的回归：将 $e d u c$ 对所有外生变量再加上两个工具变量 $n e a r 4$ 与 $b l a c k * n e a r 4$ 进行回归（交乘项 $b l a c k * n e a r 4$ 应当包括进来的原因是它可能与 $e d u c$ 部分相关）。令 ${\hat{v}}_{21}$ 为该回归的 OLS 残差。类似的，将 $b l a c k * e d u c$ 对所有外生变量再加上两个工具变量 $n e a r 4$ 与 $b l a c k * n e a r 4$ 进行回归，将该回归的残差记为 ${\hat{v}}_{22}$ 。（注：在第二个约减形式的回归中，因变量 $b l a c k * e d u c$ 的值在样本中大多数为 0，但这并不影响内生性检验。）将 ${\hat{v}}_{21}$ 与 ${\hat{v}}_{22}$ 加入到结构方程模型中：

\log (w a g e) = α_{1} e d u c + α_{2} b l a c k \cdot e d u c + z_{1} δ_{1} + ρ_{1} {\hat{v}}_{21} + ρ_{2} {\hat{v}}_{22} + u_{1}

接下来进行联合 $F$ 检验，计算得到 $F 统计量= 0.54$ ， $p - v a l u e = 0.581$ ，因此，我们不能拒绝原假设，即 $e d u c$ 与 $e d u c * b l a c k$ 是外生的。Stata 命令和结果如下：

.   ***************多个内生变量*************************
.    use "D:\stata15\ado\personal\IV_2SLS\Data\card.dta", clear

.  *-手动计算 
.  *-Coviariates set up 
.    global cc "exper expersq south smsa reg661 reg662 reg663 reg664 reg665 reg666 reg667  reg668 smsa66"

.  *-OLS
.    reg lwage educ i.black##c.educ $cc 
note: educ omitted because of collinearity

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =     3,010
-------------+----------------------------------   F(16, 2993)     =     80.83
       Model |  178.817017        16  11.1760636   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  413.824594     2,993  .138264148   R-squared       =    0.3017
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.2980
       Total |  592.641611     3,009  .196956335   Root MSE        =    .37184

------------------------------------------------------------------------------
       lwage |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |   .0707788   .0037548    18.85   0.000     .0634165    .0781411
     1.black |  -.4191076   .0794021    -5.28   0.000    -.5747958   -.2634194
        educ |          0  (omitted)
             |
black#c.educ |
          1  |   .0178595    .006271     2.85   0.004     .0055636    .0301554
             |
       exper |   .0821556   .0066828    12.29   0.000     .0690522    .0952589
     expersq |  -.0021349   .0003207    -6.66   0.000    -.0027638    -.001506
       south |  -.1441927   .0259827    -5.55   0.000    -.1951384    -.093247
        smsa |   .1340695   .0200931     6.67   0.000     .0946718    .1734671
      reg661 |  -.1221745   .0388047    -3.15   0.002    -.1982611    -.046088
      reg662 |  -.0232881   .0282266    -0.83   0.409    -.0786336    .0320574
      reg663 |   .0230953   .0273506     0.84   0.399    -.0305325    .0767231
      reg664 |  -.0666851   .0356556    -1.87   0.062    -.1365971    .0032269
      reg665 |   .0032644     .03614     0.09   0.928    -.0675974    .0741261
      reg666 |   .0151249   .0401224     0.38   0.706    -.0635454    .0937952
      reg667 |  -.0074966   .0394073    -0.19   0.849    -.0847648    .0697716
      reg668 |  -.1757195   .0462851    -3.80   0.000    -.2664733   -.0849657
      smsa66 |   .0249824   .0194297     1.29   0.199    -.0131144    .0630793
       _cons |    4.80677   .0752604    63.87   0.000     4.659202    4.954337
------------------------------------------------------------------------------

.  *-将内生变量与所有外生变量包括工具变量进行OLS回归，得到残差v21与v22
.    reg educ $cc nearc4 i.black##i.nearc4
note: 1.nearc4 omitted because of collinearity

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =     3,010
-------------+----------------------------------   F(16, 2993)     =    170.69
       Model |   10287.619        16  642.976186   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  11274.4611     2,993  3.76694323   R-squared       =    0.4771
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.4743
       Total |  21562.0801     3,009  7.16586243   Root MSE        =    1.9409

------------------------------------------------------------------------------
        educ |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
       exper |  -.4125542    .033728   -12.23   0.000    -.4786866   -.3464218
     expersq |   .0008699   .0016525     0.53   0.599    -.0023703    .0041101
       south |  -.0517208   .1356037    -0.38   0.703    -.3176067    .2141651
        smsa |   .4021227    .104889     3.83   0.000     .1964609    .6077845
      reg661 |  -.2102379   .2025002    -1.04   0.299    -.6072915    .1868158
      reg662 |  -.2888672   .1473834    -1.96   0.050    -.5778502    .0001158
      reg663 |  -.2382962   .1427517    -1.67   0.095    -.5181975    .0416051
      reg664 |  -.0932447   .1862439    -0.50   0.617    -.4584237    .2719343
      reg665 |  -.4828321   .1882474    -2.56   0.010    -.8519394   -.1137248
      reg666 |  -.5129027   .2099523    -2.44   0.015     -.924568   -.1012373
      reg667 |   -.427108   .2056584    -2.08   0.038    -.8303541    -.023862
      reg668 |   .3135707   .2417323     1.30   0.195    -.1604075     .787549
      smsa66 |   .0254418   .1058119     0.24   0.810    -.1820295    .2329132
      nearc4 |   .3191761   .0978211     3.26   0.001     .1273726    .5109796
     1.black |  -.9374537    .147931    -6.34   0.000     -1.22751   -.6473969
    1.nearc4 |          0  (omitted)
             |
black#nearc4 |
        1 1  |   .0029741   .1767953     0.02   0.987    -.3436786    .3496267
             |
       _cons |    16.8492   .2149486    78.39   0.000     16.42774    17.27066
------------------------------------------------------------------------------

.    predict v21, res
.    gen black_educ = black*educ  //计算black与educ交乘项的值
.    reg black_educ $cc nearc4 i.black##i.nearc4
note: 1.nearc4 omitted because of collinearity

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =     3,010
-------------+----------------------------------   F(16, 2993)     =   3680.14
       Model |  77916.1435        16  4869.75897   Prob > F        =    0.0000
    Residual |   3960.4957     2,993  1.32325282   R-squared       =    0.9516
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.9514
       Total |  81876.6392     3,009  27.2105813   Root MSE        =    1.1503

------------------------------------------------------------------------------
  black_educ |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
       exper |   .0533248   .0199902     2.67   0.008     .0141289    .0925207
     expersq |   -.007937   .0009794    -8.10   0.000    -.0098574   -.0060166
       south |   -.252799   .0803708    -3.15   0.002    -.4103867   -.0952114
        smsa |   .1952868   .0621665     3.14   0.002     .0733934    .3171803
      reg661 |    .162124   .1200196     1.35   0.177    -.0732053    .3974534
      reg662 |   .0056958   .0873525     0.07   0.948    -.1655812    .1769729
      reg663 |   .0860648   .0846073     1.02   0.309    -.0798296    .2519592
      reg664 |    .113297   .1103847     1.03   0.305    -.1031406    .3297345
      reg665 |   .2615297   .1115721     2.34   0.019     .0427638    .4802956
      reg666 |   .3347247   .1244364     2.69   0.007     .0907352    .5787143
      reg667 |   .2962538   .1218915     2.43   0.015     .0572543    .5352533
      reg668 |   .0995837   .1432721     0.70   0.487     -.181338    .3805054
      smsa66 |   .0469365   .0627135     0.75   0.454    -.0760295    .1699025
      nearc4 |  -.0908895   .0579775    -1.57   0.117    -.2045693    .0227903
     1.black |    11.5499   .0876771   131.73   0.000     11.37799    11.72182
    1.nearc4 |          0  (omitted)
             |
black#nearc4 |
        1 1  |    .874705   .1047846     8.35   0.000     .6692478    1.080162
             |
       _cons |   .0948535   .1273977     0.74   0.457    -.1549425    .3446494
------------------------------------------------------------------------------

.    predict v22, res

.  *-同方差情形
.  *-将残差v21与v22加入到结构方程模型中进行OLS回归，结果记为m1
.  *-不加v21与v22时对结构方程模型进行OLS回归，结果记为m2
.  *-使用ftest命令进行F检验，判断v21与v22的联合显著性
.  *-ftest命令只适用于vce默认选项的情况下的回归
.  *-若F检验结果为拒绝，则说明v21与v22联合时的系数估计值显著异于0，表示educ与educ*black是内生的
.  *-若F检验结果为无法拒绝，则说明v21与v22联合时的系数估计值等于0，表示educ与educ*black是外生的
.    reg lwage educ i.black##c.educ $cc v21 v22
note: educ omitted because of collinearity

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =     3,010
-------------+----------------------------------   F(18, 2991)     =     71.89
       Model |  178.967071        18  9.94261506   Prob > F        =    0.0000
    Residual |   413.67454     2,991  .138306433   R-squared       =    0.3020
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.2978
       Total |  592.641611     3,009  .196956335   Root MSE        =     .3719

------------------------------------------------------------------------------
       lwage |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |   .1273556   .0547317     2.33   0.020       .02004    .2346712
     1.black |   -.282765   .4866263    -0.58   0.561    -1.236921    .6713912
        educ |          0  (omitted)
             |
black#c.educ |
          1  |   .0109036   .0387795     0.28   0.779    -.0651337    .0869408
             |
       exper |   .1059116   .0241963     4.38   0.000     .0584685    .1533547
     expersq |  -.0022406   .0004635    -4.83   0.000    -.0031493   -.0013318
       south |  -.1424762   .0272675    -5.23   0.000    -.1959412   -.0890112
        smsa |   .1111556   .0304028     3.66   0.000     .0515431    .1707681
      reg661 |  -.1103479   .0410557    -2.69   0.007    -.1908481   -.0298477
      reg662 |  -.0081783   .0317789    -0.26   0.797     -.070489    .0541325
      reg663 |   .0382414   .0314436     1.22   0.224    -.0234119    .0998946
      reg664 |  -.0600379   .0368007    -1.63   0.103    -.1321951    .0121194
      reg665 |   .0337805   .0479745     0.70   0.481     -.060286    .1278469
      reg666 |   .0498975   .0537534     0.93   0.353    -.0554998    .1552948
      reg667 |   .0216942   .0501526     0.43   0.665    -.0766428    .1200312
      reg668 |  -.1908353   .0485659    -3.93   0.000    -.2860613   -.0956092
      smsa66 |   .0180009   .0207769     0.87   0.386    -.0227375    .0587393
         v21 |  -.0568274   .0548612    -1.04   0.300    -.1643969    .0507422
         v22 |   .0070106   .0392971     0.18   0.858    -.0700415    .0840627
       _cons |   3.844991   .9314527     4.13   0.000     2.018638    5.671343
------------------------------------------------------------------------------

.    est store m1

.    reg lwage educ i.black##c.educ $cc
note: educ omitted because of collinearity

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =     3,010
-------------+----------------------------------   F(16, 2993)     =     80.83
       Model |  178.817017        16  11.1760636   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  413.824594     2,993  .138264148   R-squared       =    0.3017
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.2980
       Total |  592.641611     3,009  .196956335   Root MSE        =    .37184

------------------------------------------------------------------------------
       lwage |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |   .0707788   .0037548    18.85   0.000     .0634165    .0781411
     1.black |  -.4191076   .0794021    -5.28   0.000    -.5747958   -.2634194
        educ |          0  (omitted)
             |
black#c.educ |
          1  |   .0178595    .006271     2.85   0.004     .0055636    .0301554
             |
       exper |   .0821556   .0066828    12.29   0.000     .0690522    .0952589
     expersq |  -.0021349   .0003207    -6.66   0.000    -.0027638    -.001506
       south |  -.1441927   .0259827    -5.55   0.000    -.1951384    -.093247
        smsa |   .1340695   .0200931     6.67   0.000     .0946718    .1734671
      reg661 |  -.1221745   .0388047    -3.15   0.002    -.1982611    -.046088
      reg662 |  -.0232881   .0282266    -0.83   0.409    -.0786336    .0320574
      reg663 |   .0230953   .0273506     0.84   0.399    -.0305325    .0767231
      reg664 |  -.0666851   .0356556    -1.87   0.062    -.1365971    .0032269
      reg665 |   .0032644     .03614     0.09   0.928    -.0675974    .0741261
      reg666 |   .0151249   .0401224     0.38   0.706    -.0635454    .0937952
      reg667 |  -.0074966   .0394073    -0.19   0.849    -.0847648    .0697716
      reg668 |  -.1757195   .0462851    -3.80   0.000    -.2664733   -.0849657
      smsa66 |   .0249824   .0194297     1.29   0.199    -.0131144    .0630793
       _cons |    4.80677   .0752604    63.87   0.000     4.659202    4.954337
------------------------------------------------------------------------------

.    est store m2

.    ftest m1 m2
Assumption: m2 nested in m1
F(  2,    2991) =      0.54
       prob > F =    0.5814

.  *-异方差情形
.  *-将残差v21与v22加入到结构方程模型中进行OLS回归，加上robust选项
.  *-test命令与ftest命令的功能是一样的，但它适用于所有vce的选项的情况下的回归
.  *-使用test命令进行联合F检验，判断v21与v22的联合显著性
.  *-若F检验结果为拒绝，则说明v21与v22联合时的系数估计值显著异于0，表示educ与educ*black是内生的
.  *-若F检验结果为无法拒绝，则说明v21与v22联合时的系数估计值等于0，表示educ与educ*black是外生的
.    reg lwage educ i.black##c.educ $ww v21 v22, robust
note: educ omitted because of collinearity

Linear regression                               Number of obs     =      3,010
                                                F(5, 3004)        =     166.95
                                                Prob > F          =     0.0000
                                                R-squared         =     0.2174
                                                Root MSE          =     .39292

------------------------------------------------------------------------------
             |               Robust
       lwage |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |  -.0598108   .0081385    -7.35   0.000    -.0757685   -.0438531
     1.black |  -3.005263   .3148406    -9.55   0.000    -3.622588   -2.387938
        educ |          0  (omitted)
             |
black#c.educ |
          1  |   .2162143   .0253083     8.54   0.000     .1665909    .2658377
             |
         v21 |    .130339   .0091265    14.28   0.000     .1124442    .1482339
         v22 |  -.1983001     .02635    -7.53   0.000     -.249966   -.1466343
       _cons |   7.153203   .1111008    64.38   0.000     6.935362    7.371044
------------------------------------------------------------------------------

.    test v21 v22
 ( 1)  v21 = 0
 ( 2)  v22 = 0
       F(  2,  3004) =  117.35
            Prob > F =    0.0000

.  *-Stata自动计算
.    gen black_nearc4 = black*nearc4

.  *-同方差情形下
.    ivregress 2sls lwage $cc (educ black_educ = nearc4 black_nearc4)

Instrumental variables (2SLS) regression          Number of obs   =      3,010
                                                  Wald chi2(15)   =     677.65
                                                  Prob > chi2     =     0.0000
                                                  R-squared       =     0.2336
                                                  Root MSE        =     .38846

------------------------------------------------------------------------------
       lwage |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |   .1346034   .0537559     2.50   0.012     .0292437    .2399631
  black_educ |  -.0111829   .0043351    -2.58   0.010    -.0196794   -.0026863
       exper |    .110093    .022998     4.79   0.000     .0650178    .1551682
     expersq |  -.0024288   .0003313    -7.33   0.000    -.0030782   -.0017795
       south |  -.1465937   .0274104    -5.35   0.000    -.2003172   -.0928702
        smsa |   .1123811   .0318409     3.53   0.000     .0499741    .1747882
      reg661 |  -.1051369   .0416016    -2.53   0.011    -.1866746   -.0235993
      reg662 |  -.0062918   .0327826    -0.19   0.848    -.0705446     .057961
      reg663 |   .0419279   .0315592     1.33   0.184    -.0199269    .1037827
      reg664 |  -.0557743   .0375173    -1.49   0.137    -.1293069    .0177582
      reg665 |   .0391725   .0471075     0.83   0.406    -.0531565    .1315014
      reg666 |   .0558905   .0528237     1.06   0.290    -.0476421    .1594231
      reg667 |   .0283201   .0487958     0.58   0.562    -.0673178    .1239581
      reg668 |   -.190215     .05078    -3.75   0.000     -.289742    -.090688
      smsa66 |    .019601    .021732     0.90   0.367     -.022993     .062195
       _cons |   3.721227   .9143942     4.07   0.000     1.929047    5.513406
------------------------------------------------------------------------------
Instrumented:  educ black_educ
Instruments:   exper expersq south smsa reg661 reg662 reg663 reg664 reg665
               reg666 reg667 reg668 smsa66 nearc4 black_nearc4

.    estat endog
  Tests of endogeneity
  Ho: variables are exogenous
  Durbin (score) chi2(2)          =  1.75065  (p = 0.4167)
  Wu-Hausman F(2,2992)            =  .870599  (p = 0.4188)

.  *-异方差情形下
.    ivregress 2sls lwage $cc (educ black_educ = nearc4 black_nearc4), robust

Instrumental variables (2SLS) regression          Number of obs   =      3,010
                                                  Wald chi2(15)   =     752.86
                                                  Prob > chi2     =     0.0000
                                                  R-squared       =     0.2336
                                                  Root MSE        =     .38846

------------------------------------------------------------------------------
             |               Robust
       lwage |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        educ |   .1346034   .0530173     2.54   0.011     .0306913    .2385155
  black_educ |  -.0111829   .0042026    -2.66   0.008    -.0194199   -.0029459
       exper |    .110093   .0227831     4.83   0.000     .0654388    .1547471
     expersq |  -.0024288   .0003479    -6.98   0.000    -.0031107    -.001747
       south |  -.1465937   .0290684    -5.04   0.000    -.2035668   -.0896207
        smsa |   .1123811   .0313138     3.59   0.000     .0510072     .173755
      reg661 |  -.1051369   .0409012    -2.57   0.010    -.1853019    -.024972
      reg662 |  -.0062918   .0337161    -0.19   0.852    -.0723742    .0597906
      reg663 |   .0419279   .0324651     1.29   0.197    -.0217024    .1055583
      reg664 |  -.0557743   .0392737    -1.42   0.156    -.1327493    .0212007
      reg665 |   .0391725    .049584     0.79   0.430    -.0580105    .1363554
      reg666 |   .0558905   .0526598     1.06   0.289    -.0473208    .1591019
      reg667 |   .0283201   .0499725     0.57   0.571    -.0696242    .1262645
      reg668 |   -.190215   .0509013    -3.74   0.000    -.2899798   -.0904503
      smsa66 |    .019601   .0206926     0.95   0.344    -.0209557    .0601577
       _cons |   3.721227   .9006163     4.13   0.000     1.956051    5.486402
------------------------------------------------------------------------------
Instrumented:  educ black_educ
Instruments:   exper expersq south smsa reg661 reg662 reg663 reg664 reg665
               reg666 reg667 reg668 smsa66 nearc4 black_nearc4

.    estat endog
  Tests of endogeneity
  Ho: variables are exogenous
  Robust score chi2(2)            =  1.79498  (p = 0.4076)
  Robust regression F(2,2992)     =  .892218  (p = 0.4099)

4. 小结：使用 2SLS 的分析步骤

(1) 从理论上论证是否存在内生性问题，如有，则需说明内生性问题的来源； (2) 参考前期文献并结合自己的分析，选择合适的工具变量(不易)； (3) 执行内生性检验，确认存在内生性问题，这与你选择的工具变量有关； (4) 执行过度识别检验，确认工具变量的合理性； (5) 完成第(4)步后，可能需要重新执行第(3)步； (6) 做第一阶段回归, 以便确认是否存在弱工具变量问题。

5. 参考文献

Christopher F. Baum (2006). An Introduction to Modern Econometrics Using Stata.
Wooldridge, J. M. (2012). Introductory Econometrics A Modern Approach.
Stata 初级讲义. 连玉君. [-Link-]

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IV专题- 内生性检验与过度识别检验

1. 方程的识别问题

2. 过度识别约束检验

2.1 干扰项同方差情形

2.2 干扰项异方差情形

2.3 Stata 应用举例

3 内生性问题检验

3.1 单个内生变量的情形

3.2 多个内生变量的情形

4. 小结：使用 2SLS 的分析步骤

5. 参考文献

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