世代交叠OLG模型的求解与模拟

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作者： 司绪 (重庆大学)
邮箱： sixu@cqu.edu.cn

目录

1 .前言

在之前的推文中我们介绍了无限期确定性 Ramsey 模型的求解与模拟，本次推文我们介绍另外一个基本的宏观经济理论模型——世代交叠（Overlapping Generation，OLG）模型。

2 .模型设定

2.1 人口

本文介绍一个分散经济下的两期 OLG 模型。我们用上标 $i$ 代表不同的年龄群体，用下标 $t$ 代表时间。经济中每一期有年轻一代和年老一代，在 $t$ 期，年轻一代人出生，相应的 $t-1$ 期的年轻人变为本期的老年人。

给定年轻一代的人口数量按照 $n$ 的速率增长：

则经济中总人口 $\widetilde{N_t}=N_t+N_{t-1}$ 同样按照 $n$ 的速率增长。

$t$ 时期出生的年轻人的终生效用为:

所有个体在年轻时工作，消费和储蓄，在老年时消费。老年期的消费为：

其中 $s_t=w_t-c_t^1$ 为第一期的储蓄， $w_t$ 为年轻人无弹性地提供 1 单位劳动所获得的劳动报酬。由此，可以得到跨期预算约束：

综上所述，在 $t$ 时刻出生的年轻人面临的优化问题如下：

效用最大化的一阶条件为：

2.2 厂商

厂商租借居民部门的资本 $K$ 并雇佣劳动力 $L$ 进行生产，其生产技术为：

其中，$k_t$ 为人均资本。企业利润最大化的一阶条件：

2.3 均衡

• 劳动力市场均衡：

  $$N_t=L_t$$

• 资本市场均衡（假设资本完全折旧）：

  $$K_{t+1}=N_t{s}_t\stackrel{\text{写成人均资本形式}}{\to }(1+n)k_{t+1}=s_t$$

• 稳态下：

  $$k_t=k_{t+1}=k$$

  由于 OLG 模型中可能存在多重均衡，稳定的均衡需要满足 $|\frac{d{k}_{t+1}}{d{k}_t}|<1$ 。

3 .数值模拟

函数设定如下：

• 效用函数：$U_t=\ln (c_t^1)+\beta \ln (c_{t+1}^2)$
• 生产函数：$Y_t=K_t^{\alpha }{L}_t^{1-\alpha }$
• 每一期的要素价格为：

  • $w_t=(1-\alpha )k_t^{\alpha }$
  • $r_t=\alpha k_t^{\alpha -1}$

根据公式（1），可得

进而可根据 $(1+n)k_{t+1}=s_t$ 和 $k_t=k_{t+1}=k$ 得到经济动态：

以及稳态下的人均资本：

检验稳态时的关系：

由于 $0<\alpha <1$ ，可知均衡点是稳定的。

我们基于下面的 MATLAB 代码对参数进行赋值并进行数值模拟：

% 参数赋值
alpha = .36;
beta = .4;
n = .1;
T = 10;

% 稳态
Kstar = (beta / (1+beta) * (1-alpha) / (1+n))^(1/(1-alpha));

% dynamics
K = zeros(1,T+1);
K(1) = Kstar / 3;
for i = 1:T
    K(i+1) = beta / (1+beta) * (1-alpha) / (1+n) * K(i)^(alpha);
end

plot(K)

如下图所示，模型经济大约在 5 期后收敛到稳态的 $k^{\ast }$。

4 .参考资料

• Acemoglu, Daron. Introduction to Modern Economic Growth, MIT Press, 2009.

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