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⛳ Stata 系列推文:
作者: 司绪 (重庆大学)
邮箱: sixu@cqu.com
目录
Ramsey 模型是学习宏观经济理论必然接触到的模型,该模型可以被称为中央计划者模型或代表性行为人模型,经济主体是同质的且承担了居民和厂商的双重角色。本文介绍一个简化的离散时间下确定性无限期限 Ramsey 模型的求解与模拟。
其中,
经济中的生产技术为:
约束条件。在每一期,经济主体消费
中央计划者或者代表性行为人通过选择每一期的消费以实现终生效用最大化。
此外,经济中每期的消费
总结上述 Ramsey 问题如下:
根据 Kuhn-Tucker 定理,可得到以下一阶条件:
给定
利用动态规划法,我们可以得到关于下期资本存量的政策函数为
下面,我们采用 Matlab 编程,进行模拟分析。
我们借助相位图考察经济的动态,首先对参数进行赋值:
clear
alpha=.5;
beta =.99;
其次,在相位图中画出资本存量不变以及消费不变曲线的轨迹、资本存量非负约束、鞍点路径:
ks = (alpha*beta)^(1/(1-alpha));
cs = ks^alpha - ks;
kv=0:.01:1;
cv=0:.01:1;
h1 = plot(kv,kv.^alpha-kv,'-r','LineWidth',2);
hold on;
h2 = plot(ks*ones(size(cv)),cv,'-g','LineWidth',2);
% K_t+1 = 0
h3 = plot(kv,kv.^alpha,'-b','LineWidth',2);
% saddle path
k = 0.05:0.01:0.9;
css = k.^alpha - alpha*beta*(k.^alpha);
h4 = plot(k,css,':','LineWidth',2);
legend([h1,h2,h3,h4],'K(t)=K(t+1)','C(t)=C(t+1)','K(t+1)=0','saddle path');
在消费不变曲线左边(右边),消费增加(减少);在资本存量不变曲线之上(之下),资本存量降低(增加)。
两条线的交点给出了经济稳态时的资本存量
最后,我们给出了几条鞍点路径以外的情况:
% other path 1
T = 3;
C = zeros(1,T+1);
K = zeros(1,T+1);
C(1) = 0.4;
K(1) = 0.5;
for i = 1:T
%resources constraint
K(i+1) = K(i)^alpha - C(i);
%Euler equation
C(i+1) = beta*C(i)*alpha*K(i+1)^(alpha-1);
end
p1 = plot(K,C);
% other path 2
T = 2;
C = zeros(1,T+1);
K = zeros(1,T+1);
C(1) = 0.2;
K(1) = 0.1;
for i = 1:T
K(i+1) = K(i)^alpha - C(i);
C(i+1) = beta*C(i)*alpha*K(i+1)^(alpha-1);
end
p2 = plot(K,C);
% other path 3
T = 10;
C = zeros(1,T+1);
K = zeros(1,T+1);
C(1) = 0.2;
K(1) = 0.6;
for i = 1:T
K(i+1) = K(i)^alpha - C(i);
C(i+1) = beta*C(i)*alpha*K(i+1)^(alpha-1);
end
p3 = plot(K,C);
% other path 4
T = 10;
C = zeros(1,T+1);
K = zeros(1,T+1);
C(1) = 0.1;
K(1) = 0.1;
for i = 1:T
K(i+1) = K(i)^alpha - C(i);
C(i+1) = beta*C(i)*alpha*K(i+1)^(alpha-1);
end
p4 = plot(K,C);
legend([p1,p2,p3,p4],'path1','path2','path3','path4');
可见,path1 和 path2 突破了资本存量非负限制,path3 和 path4 路径最终导致无限期推迟消费,违反了横截条件,模型经济通过鞍点路径实现稳态。
Note:产生如下推文列表的 Stata 命令为:
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