Stata-Matching：肾脏交换匹配问题

发布时间：2021-04-14 阅读 2834

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作者：经菠 (中山大学)
邮箱： jingb@mail2.sysu.edu.cn

编者按：本文主要摘译自下文，特此致谢！
Source：Lee C. The matching problem using Stata[C]. 2019 Stata Conference. Stata Users Group, 2019 (43). -PDF-

1. 问题起源

1.1 肾脏移植的供求不匹配

美国每年遗体器官捐赠的数量远远无法满足肾病患者的需要。例如，2018 年仅有 21167 人接受了肾脏移植 (平均每天 58 例肾脏移植)，但同一时期等待肾脏移植的人数远超 10 万人。即便是如此，2018 年还新增 38791 位肾病患者 (几乎每十分钟就有一位)。可以看出，肾脏移植的供求存在严重失衡，因此一位肾病患者通常要等待 3-5 年才能找到与自己匹配的捐赠者。那些不能及时接受肾脏移植的患者将面临死亡风险。

图 1 呈现了 1995-2019 年美国各类等待或接受肾脏移植的人数。可以发现，每年等待者的人数远高于捐赠人数，说明长期以来器官捐赠者数量远远无法满足患者需求。

1.2 一种可能的解决思路

由于肾脏匹配概率较小，即使是与病人有血缘关系的亲人也未必能与之完全匹配。面对上述严重不匹配的供求关系，不少专家提出一种基于肾脏交换 (Kidney Exchange) 的肾脏移植手术。具体而言，每一位需要等待肾脏移植的患者 (该名患者没有在近亲和朋友中找到合适捐赠者)，也有机会通过肾脏互换找到适配的活体器官。但前提是，病人需要找到一位身体健康且愿意捐赠肾脏的捐赠者 (捐赠者通常为患者的亲人或朋友)，形成一个 “病人&捐赠者组合”，与其他 “病人&捐赠者组合” 完成肾脏交换。

通过此类肾脏交换，患者的等待时间得到大幅缩减。以图 2 中典型的二元匹配为例，涉及肾脏互换的为两组 “病人&捐赠者组合”。其中，

一组是丈夫 A 和妻子 B 的 “病人&捐赠者组合” (A 为健康的捐赠者，B 为病人，两者肾脏不能相互移植)，
另一组是妹妹 C 和哥哥 D 的 “病人&捐赠者组合” (C 为健康的捐赠者，D 为病人，两者肾脏不能相互移植)。

但是 A 的肾脏可以捐赠给患者 D，而 C 的肾脏可以捐赠给患者 B，这样的话就称这两个 “病人&捐赠者组合” 配对成功。为避免道德风险，即在其他病人接受捐赠之后退出捐赠，此类肾脏互换手术需同时进行。通过上述方法，肾脏供需不匹配的问题得到部分解决。

当然有的时候，不能找到两个 “病人&捐赠者组合” 完全配对。这时如果可以找到三个 “病人&捐赠者组合” 形成如下图 3 的配对模式，仍然是可以进行三元配对的，这种结构称为环式结构。与二元匹配类似，此类环式结构要求手术同时进行，而且在医院各方面资源的限制下，环式结构允许的长度较小，通常为二元环或三元环。

当然有时候也会有健康人自愿加入肾脏的交换过程，尝试去救治病人。当有无私捐赠者参与时，链条将会从无私的捐赠者出发，然后依次向下进行传递，最终至在等待名单上的病人 (这个人没有能够找到亲人或者朋友，帮他形成 “病人&捐赠者组合”)。

上述交换的过程，如图 4 所示。这种链式交换可以不在同时进行，可以分时间进行，只要保证移植手术的源头从自愿捐赠肾脏的健康人开始。如果出现与之配对的病人接受完其他人的肾脏移植后，这个捐赠者可以选择不捐赠自己的肾脏，退出肾脏交换。虽然这并不合理，但是合法的，因为美国没有法律规定，捐赠者必须捐赠自己的肾脏。

2. 一个典型的例子

考虑一个最简单的情形，即没有自愿捐赠肾脏的健康人参与，那么就意味着是所有手术需要同时进行。以图 5 为例，其中 $V_{i}$ 表示一个 “病人&捐赠者组合”。 $X_{i, j}$ 为虚拟变量，取 1 时表明 $V_{i}$ 组合的肾脏可以捐赠给 $V_{j}$ ，否则为 0。图中的单向箭头表示肾脏只能由箭头的起点组合捐赠给终点组合。

为了能够最大化匹配病人捐赠者组合，我们需要将上述肾脏交换问题抽象成一个线性规划的最优化问题。具体来看，我们需要最大化 $x_{i . j}$ 的和，以使尽可能多的患者得到救治，约束条件如下所示：

M a x \sum_{i, j \in N} x_{i, j}

s . t .

\sum_{j \in N} x_{i, j} \leq 1 \forall i, j \in N

\sum_{j \in N} x_{i, j} = \sum_{j \in N} x_{j, i} \forall i \in N

x_{i 1 i 2} + x_{i 2 i 3} + \dots + x_{i k i k + 1} \leq k

其中， $k$ 为医院最多同时支持的手术台数， $\sum_{j \in N} x_{i, j} \leq 1 \forall i, j \in N$ 表示每个 “病人&捐赠者组合” 最多能够捐赠肾脏给另外一个 “病人&捐赠者组合”。 $\sum_{j \in N} x_{i, j} = \sum_{j \in N} x_{j, i} \forall i \in N$ 表示每个 “病人&捐赠者组合” 要么不会得到捐赠肾脏也不会去捐赠肾脏，要么就是得到捐赠肾脏同时也去捐赠肾脏，也就是说有付出也要有回报。 $x_{i 1 i 2} + x_{i 2 i 3} + \dots + x_{i k i k + 1} \leq k$ 表示环式结构的大小不能超过医院同时支持的手术台数。

上述的最优化方程应用在图 5 中的话，便可以写成如下式子：

[1]
$z = x_{12} + x_{21} + x_{23} + x_{32} + x_{31}$

[2]
$x_{12} \leq 1$
$x_{21} + x_{23} \leq 1$
$x_{32} + x_{31} \leq 1$

[3]
$x_{21} + x_{31} = x_{12}$
$x_{12} + x_{32} = x_{21} + x_{23}$
$x_{32} = x_{32} + x_{31}$

[4]
$x_{12} + x_{23} + x_{31} \leq 3$
$x_{12} + x_{21} \leq 3$
$x_{23} + x_{32} \leq 3$

3. 利用 Stata 命令求解

3.1 输入数据

在该部分，我们将使用作者写的 lp 命令对上述问题求解。首先在 Stata 中输入数据，要求是将所有 $x_{i j}$ 移到等式左边，常数项移到等式右边。每一行数据代表一个不等式，并且每一个数据表示不等式中对应变量的系数。

3.2 Stata 命令

lp varlists [if] [in] [using/] [,rel(varname) rhs(varname) min max intvars(varlist) tol1(real) tol2(real) saving(filename)]

rel(varname)：用变量表示每个等式的符号；
rhs(varname)：用变量来表示每个等式右边的常数项；
min/max：对最优化函数取最小值或者最大值；
intvars(varlist)：指定哪些变量为整数取值；
tol1(real)：输出结果的误差范围，默认值为 $10^{- 14}$ ；
tol2(real)：输出逆矩阵结果的误差范围，默认值为 $2.22 \times 10^{- 12}$ ；
saving(filename)：定义输出文件的名称。

接着，在 Stata 中输入以下命令：

lp x12 x21 x23 x32 x31,max intvars( x12 x21 x23 x32 x31 ) rel(rel) rhs( rhs)

输出的最优化结果 x12、x23、x31 都等于 1。

4. 小结

值得注意的是，在进行上述匹配问题之前需要先明确几个问题：

哪些是自愿捐赠的健康自愿者；
哪些是 “病人&捐赠者组合”；
病人和捐赠者的匹配信息；
是否存在优先的病人；
环式结构的最大范围 (也就是医院最多同时支持的手术台数)。

本文仅是针对肾脏捐赠问题的最简单形式进行介绍，更为丰富的例子和详细算法，可以参考王泫钡 (2019)。

5. 参考资料

Lee C. The matching problem using Stata[C]. 2019 Stata Conference. Stata Users Group, 2019 (43). -PDF-
王泫钡. 肾脏交换问题的参数算法和复杂度研究[D]. 电子科技大学, 2019. -Link-

6. 相关推文

Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh 匹配, m
安装最新版 lianxh 命令：
ssc install lianxh, replace

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Stata-Matching：肾脏交换匹配问题

1. 问题起源

1.1 肾脏移植的供求不匹配

1.2 一种可能的解决思路

2. 一个典型的例子

3. 利用 Stata 命令求解

3.1 输入数据

3.2 Stata 命令

4. 小结

5. 参考资料

6. 相关推文

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