Stata：边际效应知多少？f_able命令（上）

发布时间：2021-07-20 阅读 2739

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江鑫 (安徽大学)，jiangxin199566@foxmail.com
徐云娇 (厦门大学)，jilyo@stu.xmu.edu.cn

编者按：本文主要摘译自下文，特此致谢！
Source：Rios-Avila F. Estimation of marginal effects for models with alternative variable transformations[J]. The Stata Journal, 2021, 21(1): 81-96. -PDF-

专题：回归分析
- Stata：边际效应知多少？f_able命令（上）
- Stata：边际效应知多少？f_able命令（下）

1. 背景介绍

margins 是一个强大的后估计命令，它可以估计官方和社区贡献命令的边际效应，并具有明确定义的预测结果 (请参阅 predict)。虽然使用 factor variable 表示法使我们能够在使用交互作用和多项式时轻松估计边际效应，但在使用其他类型的变换 (如样条、对数或分数多项式等) 时，估计边际效应仍然是一个挑战。本文介绍了如何使用命令 f_able 扩展 margins 功能以分析其他变量转换。

2. 边际效应：理论方法

如前所述，假设其他协变量保持不变，边际效应是衡量自变量变化对因变量影响的有用统计数据。在大多数计量经济学入门课程开始时，很少强调理解这个概念，因为对于线性回归，边际效应通常等于与所分析变量相关的系数。考虑以下线性回归模型：

y_{i} = b_{0} + b_{1} x_{1 i} + b_{2} x_{2 i} + e_{i} (1)

在外生性和正确模型规范的标准假设下 (Wooldridge，2016)，可以使用普通最小二乘法 (OLS) 估计该模型的系数。在这个简单的模型中， $x_{1}$ 对 $y$ 和 $x_{2}$ 对 $y$ 的边际效应将分别由 $b_{1}$ 和 $b_{2}$ 给出。其数学表示形式如下：

\frac{\partial y i}{\partial x_{1 i}} = b_{1} \frac{\partial y_{i}}{\partial x_{2 i}} = b 2

这意味着对于简单的线性回归 (如方程 1)，其中每个变量只出现一次，并且没有任何变换，边际效应直接由估计系数确定。此外，非线性变换和因变量的相互作用也可以包含在线性回归模型中。由于模型在参数上仍然是线性的，因此可以使用 OLS 进行估计。但是，在估计边际效应时需要格外小心，以考虑变量转换的相互依赖性。例如，考虑以下模型：

y i = b_{0} + b_{1} x_{1 i} + b_{2} x_{1 i}^{2} + b_{3} x_{2 i} + b_{4} x_{1 i} x_{2 i} + e i (2)

在这个模型中， $x_{1}$ 对 $y$ 的边际效应不再是一个常数，它现在取决于 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的值。然而，使用微积分，很容易从这个模型中推导出边际效应：

\frac{\partial y i}{\partial x_{1 i}} = b_{1} + 2 b_{2} x_{1 i} + b_{4} x_{2 i} \frac{\partial y_{i}}{\partial x_{2 i}} = b_{3} + b_{4} x_{1 i}

因为这些影响不再是常数的，我们必须决定报告什么来呈现边际效应。虽然我们可以报告显示这些边际效应的所有可能值的图，但标准做法是呈现平均边际效应。对于上面的示例，它们都是相同的：

E (\frac{\partial y i}{\partial x_{1 i}}) = E (b_{1} + 2 b_{2} x_{1 i} + b_{4} x_{2 i}) = b_{1} + 2 b_{2} {\bar{x}}_{1} + b_{4} {\bar{x}}_{2}

E (\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{2 i}}) = E (b_{3} + b_{4} x_{1 i}) = b_{3} + b_{4} {\bar{x}}_{1}

掌握了这些信息，并假设 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是非随机的，可以立即估计与平均边际效应相关的标准误差，并且将完成分析的技术部分。

大多数软件 (包括 Stata) 的问题在于，除非提供额外信息，否则它可能无法认识到某些变量通过构造相互关联，并且 “其他一切都保持不变” 的假设是不正确的。在 Stata 的情况下，除非考虑进一步的步骤，否则在因子变量出现之前，它无法自动调整这些相互关系，从而提供对边际效应的错误估计。当我们超越简单的相互作用或多项式时，Stata 仍然无法掌握这些相互关系。

3. 边际效应：实证方法

下面，我们使用在线提供的数据集 “每月酒后驾驶引证的虚构数据” 为小伙伴们举个栗子。现在考虑以下模型：

{citations}_{i} = b_{0} + b_{1} {fines}_{i} + b_{2} {fines}_{i}^{2} + e_{i} (3)

在 Stata 11 和因子表示法之前，如果我们想估计这样的模型，我们需要在将它们包含在模型中之前创建所有变量。例如，创建一个名为 $fines2$ 的变量等于 ${fines}^{2}$ 。

. webuse dui, clear 
(Fictional data on monthly drunk driving citations)

. gen fines2=fines^2
. regress citations fines fines2

   Source |      SS           df       MS      Number of obs   =       500
----------+---------------------------------   F(2, 497)       =    189.57
    Model |   20750.38         2    10375.19   Prob > F        =    0.0000
 Residual |  27200.458       497  54.7292917   R-squared       =    0.4327
----------+---------------------------------   Adj R-squared   =    0.4305
    Total |  47950.838       499  96.0938637   Root MSE        =    7.3979
--------------------------------------------------------------------------
citations |     Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
----------+---------------------------------------------------------------
    fines |   -47.109      7.692    -6.12   0.000      -62.221     -31.997
   fines2 |     1.981      0.389     5.10   0.000        1.217       2.744
    _cons |   293.007     37.943     7.72   0.000      218.459     367.555
--------------------------------------------------------------------------

因为 Stata 无法知道 $fines2 = {fines}^{2}$ ，所以使用 margins 来计算 fines 对 citations 的边际影响会得到错误的答案，因为 ${fines}^{2}$ 不能被正确处理。

. margins, dydx(fines) 

Average marginal effects               Number of obs     =        500
Model VCE    : OLS
Expression   : Linear prediction, predict()
dy/dx w.r.t. : fines
---------------------------------------------------------------------
       |         Delta-method
       |   dy/dx   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------+-------------------------------------------------------------
 fines | -47.109      7.692    -6.12   0.000      -62.221     -31.997
---------------------------------------------------------------------

然而，使用微积分，可以很容易地手工推导出平均边际效应，方法是取式 (3) 对罚款的导数，估计平均值作为参考点，并使用类似 lincom 的命令来计算边际效应和标准误差。

. sum fines, meanonly 
. lincom _b[fines]+2*_b[fines2]*`r(mean)'

 (1)  fines + 19.7904*fines2 = 0

---------------------------------------------------------------------
citations |   Coef.   Std. Err.      t    P>|t|  [95% Conf. Interval]
----------+----------------------------------------------------------
      (1) |  -7.907      0.424   -18.66   0.000    -8.740      -7.075
---------------------------------------------------------------------

当然，自 Stata 11 以来，估计这样的模型的边际效应要容易得多。使用因子表示法，我们只需添加平方参数，让 margins 自行处理交互。

. qui: regress citations fines c.fines#c.fines
. margins, dydx(fines)

Average marginal effects                     Number of obs  = 500
Model VCE    : OLS
Expression   : Linear prediction, predict()
dy/dx w.r.t. : fines
-----------------------------------------------------------------
       |        Delta-method                               
       |  dy/dx   Std. Err.      t    P>|t|  [95% Conf. Interval]
-------+---------------------------------------------------------
 fines | -7.907      0.424   -18.66   0.000    -8.740      -7.075
-----------------------------------------------------------------

对其工作原理的理解是，无论谁在 margins 和因子表示法背后进行编码，都能够 “教” Stata 如何获取多项式的导数。换句话说，Stata 认识到当存在像 c.var1#c.var1 这样的表达式时，它在内部 “知道” 解析导数是 2*c.var1。因此，在提供结果之前，margins 只是使用此信息来处理平方参数 c.fines#c.fines。

虽然这对于更好地理解边际效应来说是一个很大的进步，但它确实有其局限性。例如，margins 将无法估计以下模型的边际效应：

\begin{aligned} {Model 1: citations}_{i} = b_{0} + b_{1} (1 / {fines}_{i}) + e_{i} \\ {Model 2: citations}_{i} = b_{0} + b_{1} {fines}_{i}^{0.5} + e_{i} \\ {Model 3: citations}_{i} = b_{0} + b_{1} fines + b_{2} max (fines - 9.9, 0) + e_{i} \end{aligned} (4)

虽然在数学上，平均边际效应 (AME) 和均值边际效应 (MEM) 可以直接推导出，见下表：

	AME	MEM
Model1	$b_{1} E (- \frac{1}{{fines}_{i}^{2}})$	$- b_{1} \frac{1}{E {({fines}_{i})}^{2}}$
Model2	$0.5 * b_{1} E ({fines}_{i}^{- 0.5})$	$0.5 * b_{1} E {({fines}_{i})}^{- 0.5}$
Model3	$b_{1} + b_{2} E (1 ({fines}_{i} > 9.9))$	$b_{1} + b_{2} 1 (E ({fines}_{i}) > 9.9)$

可用于手动估计平均边际效应。为简单起见，我将专注于平均边际效应的估计：

. gen i_fines=1/fines 
. gen ni_fines2=-1/fines^2 
. gen fines05=fines^.5 
. gen i_fines05=0.5*fines^-.5 
. gen fines_99=max((fines-9.9),0) 
. gen dfines_99=fines>9.9 

. * model 1 
. qui:regress citations i_fines 
. sum ni_fines2, meanonly 
. lincom _b[i_fines]*`r(mean)'
 (1)  - .0104108*i_fines = 0
------------------------------------------------------------------------------
   citations |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
         (1) |  -8.091099   .4224389   -19.15   0.000    -8.921081   -7.261117
------------------------------------------------------------------------------

. * model 2 
. qui:regress citations fines05 
. sum i_fines05, meanonly 
. lincom _b[fines05]*`r(mean)'
 (1)  1593264*fines05 = 0
------------------------------------------------------------------------------
   citations |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
         (1) |  -8.010351   .4314167   -18.57   0.000    -8.857972   -7.162729
------------------------------------------------------------------------------

. * model 3
. qui:regress citations fines fines_99 
. sum dfines_99, meanonly 
. lincom _b[fines]+_b[fines_99]*`r(mean)'
 (1)  fines + .5*fines_99 = 0
------------------------------------------------------------------------------
   citations |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
         (1) |  -7.926694   .4271729   -18.56   0.000    -8.765981   -7.087407
------------------------------------------------------------------------------

当然，对于这些模型，我们也可以选择使用 nl 来估计边际效应，这需要较少的工作：

. qui:nl (citations = {b0}+{b1}/fines), variable(fines) 
. margins, dydx(fines)  
---------------------------------------------------------------------
       |         Delta-method
       |   dy/dx   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------+-------------------------------------------------------------
 fines |  -8.091      0.422   -19.15   0.000       -8.919      -7.263
---------------------------------------------------------------------

. qui:nl (citations = {b0}+{b1}*fines^.5), variable(fines) 
. margins, dydx(fines)  
---------------------------------------------------------------------
       |         Delta-method
       |   dy/dx   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------+-------------------------------------------------------------
 fines |  -8.010      0.431   -18.57   0.000       -8.856      -7.165
---------------------------------------------------------------------
 
. qui:nl (citations = {b0}+{b1}*fines+{b2}*max((fines-9.9),0)), variable(fines) 
. margins, dydx(fines)
---------------------------------------------------------------------
       |         Delta-method
       |   dy/dx   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------+-------------------------------------------------------------
 fines |  -7.927      0.427   -18.56   0.000       -8.764      -7.089
---------------------------------------------------------------------

nl 用非标准变换估计边际效应的这种灵活性引发了以下问题：为什么 nl 可以 “正确” 估计边际效应，而 regress 不能？答案相当简单，我们没有在模型中使用构造变量，而是使用原始变量并让 nl 处理新变量的构造。这意味着，虽然我们看到这个模型正在被估计：

citations = b_{0} + b_{1} * {fines}^{0.5}

但程序后台中可能发生的事情是，Stata 在拟合模型之前识别出此代码的哪些元素是要估计的参数 (括号内的那些)，以及需要创建哪些元素 ( ${fines}^{0.5}$ )。换句话说，Stata 只是在估算以下内容：

citations = b_{0} + b_{1} * \_\_000000

其中 $__000000$ 是一个临时变量，你永远不会看到，它被构造为 ${fines}^{0.5}$ 。不同之处在于 nl 知道 $__000000 = {fines}^{0.5}$ 。

但是，nl 怎么知道 ${fines}^{0.5}$ 的导数是 $0.5 {fines}^{- 0.5}$ 。答案是 nl 不知道。 Stata 可能知道的唯一类型的分析导数是什么时候有交互作用 (同样是因子表示法)。然而，因为它 “记住” 了一个变量是如何构造的，所以它可以使用数值导数来对解析导数进行合理的近似。对于上面的简化情况，变换 ${fines}^{0.5}$ 的数值导数可以近似如下：

\frac{\partial ({fines}_{i}^{0.5})}{\partial {fines}_{i}} = \frac{{({fines}_{i} + h)}^{0.5} - {({fines}_{i} - h)}^{0.5}}{2 h}

其中， $h$ 足够小。这个表达式非常准确。对于这个例子，当 $h$ =1 时，数值导数和解析导数之间的最大绝对差为 0.000423，而当 $h$ =1/2^16 时，最大差为 6.58e-09。这只是意味着 margins 不需要知道如何获得解析导数，因为它可以使用数值导数来代替，并使用此信息来估计适当的边际效应。

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Stata：边际效应知多少？f_able命令（上）

1. 背景介绍

2. 边际效应：理论方法

3. 边际效应：实证方法

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