locmtest：非线性模型的内生性检验

发布时间：2021-01-07 阅读 4801

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作者： 黄钊琳 (中山大学)
邮箱： 907641684@qq.com

本文编译自如下论文，特此致谢：
Michael P. Babington, Javier Cano-Urbina. A Test for Exogeneity in the Presence of Nonlinearities. Stata Journal, 2016, 16(3):761-777. -PDF-

1. 引言

在许多的经济应用中，经常会产生非线性关系。即使潜在的内生变量其实是非线性地进入关系，我们通常假设其线性进入关系，然后运用 Hausman 检验。然而在存在这些非线性的情况下，Hausman 检验对潜在的内生变量是否外生是不知情的。

因此，当结果变量和离散的潜在内生变量之间是非线性关系时，为了评估非线性模型的内生性，locmtest 命令应运而生。本文主要介绍 locmtest 命令的应用背景、基本思想和实例应用。

2. 非线性模型的内生性检验

本命令是在 Lochner and Moretti (2015, Review of Economics and Statistics 97: 387–397) 提出的非线性模型的内生性检验基础上开发的。

2.1 适用场景

值得注意的是，在 Lochner and Moretti (2015) 基础上开发的测试并不适用于所有非线性模型，而只适用于以下情况：

假设我们估计变量 $s_{i}$ 对结果 $y_{i}$ 的影响，其中 $s_{i} \in {0, 1, 2, 3, \dots, S}$ ， $x_{i}$ 是外生变量，因此可以写出以下的等式：

y_{i} = \sum_{j = 1}^{S} D_{i j} β_{j} + x_{i}^{'} γ + ε_{i} (1)

当 $s_{i} \geq j$ 时， $D_{i j} = 1$ ，反之则为0，且 $E (ε_{i}) = 0$ ， $E (ε_{i} ∣ x_{i}) = 0$

如果 $s_{i}$ 是潜在的内生变量，在研究中通常估计 $s_{i}$ 与 $y_{i}$ 存在线性关系如下式：

y_{i} = s_{i} β^{L} + x_{i}^{'} γ^{L} + ν_{i} (2)

但不同的是它隐含的假设是 $s_{i}$ 对结果的影响在所有 $s_{i}$ 水平上都是一致的，而 (1) 式则允许不同 $s_{i}$ 水平对结果变量有不同的影响。

因此，本命令只在 (1) 式和 (2) 式描述的特定模型中适用。同时不难看出，还需要满足三个至关重要的条件：

必须存在单个有限值离散潜在内生变量 $s_{i}$ ；
外生变量 $x_{i}$ 是可加可分的，线性进入方程；
总体中所有系数均为均匀系数。

2.2 理论前提

在之前的研究中， (2) 式中内生性问题通常是使用 Hausman 检验即基于 OLS 和 IV 或 2SLS 估计的比较，但是 Lochner and Moretti 发现，当真实关系用 (1) 描述时，用 (2) 估计可以导致不同的普通最小二乘 OLS 、 IV 和两阶段最小二乘 2SLS ，如果用 Hausman 检验有可能会导致错误的内生性结论。因此， Lochner and Moretti 针对这种情况提出了一个新的稳健性检验。

下面给出当非线性模型 (1) 是正确时，会导致线性模型 (2) 中的 ${\hat{β}}^{L}$ 在OLS 和 IV 或 2SLS 中出现不同的加权平均值的数学证明。

首先从 IV 估计看起，标准的 IV 估计会使得 (2) 式中的 $β_{j}$ 收敛到 (1) 式中特定水平权重 $β_{j}$ 的值。我们只考虑一个工具变量 $z_{i}$ ，定义 $M_{x} = I - x {(x^{'} x)}^{- 1} x^{'}$ ，同时假设存在变量 $w$ ，让 $\tilde{w} = M_{x} w$ ， IV 估计中 $β_{j}$ 的估计量如下：

\begin{aligned} {\hat{β}}_{I V}^{L} & = {(z^{'} M_{x} s)}^{- 1} z^{'} M_{x} y \\ = {(z^{'} M_{x} s)}^{- 1} z^{'} M_{x} (\sum_{j = 1}^{S} D_{j} β_{j} + x γ + ε) \\ = \sum_{j = 1}^{S} {\hat{ω}}_{j}^{I V} β_{j} + {({\tilde{z}}^{'} \tilde{s})}^{- 1} \tilde{z} ε \end{aligned}

其中， $\begin{aligned} {\hat{ω}}_{j}^{I V} = {({\tilde{z}}^{'} \tilde{s})}^{- 1} {\tilde{z}}^{'} D_{j} \end{aligned}$ 紧接着为了求出 $β_{j}$ 的概率极限和收敛到该极限的必要假设，考虑两个线性关系:

$s_{i} = x_{i}^{'} δ_{s} + η_{i}$
其中 $δ_{s} = {E (x_{i} x_{i}^{'})}^{- 1} E (x_{i} s_{i})$
且 $E (x_{i} η_{i}) = 0$
$z_{i} = x_{i}^{'} δ_{z} + ζ_{i}$
其中 $δ_{z} = {E (x_{i} x_{i}^{'})}^{- 1} E (x_{i} z_{i})$
且 $E (x_{i} ζ_{i}) = 0$

满足假设1：已知 $E (z_{i} ε_{i}) = 0$ ，在控制了 $x_{i}$ 之后 $z_{i}$ 与 $s_{i}$ 相关，假设 $E (z_{i} η_{i}) \neq 0$
的前提下，那么可以得到 $β_{j}$ 的概率极限为：

{\hat{β}}_{I V}^{L} \overset{p}{⟶} \sum_{j = 1}^{S} ω_{j}^{I V} β_{j} (3)

对所有的 $j = 1, 2. . . S$ ，权重 $w_{j}$ 的和为1，式子如下：

ω_{j}^{I V} = \frac{\Pr (s_{i} \geq j ∣ x_{i}) E (ζ_{i} ∣ s_{i} \geq j)}{\sum_{q = 1}^{S} \Pr (s_{i} \geq q ∣ x_{i}) E (ζ_{i} ∣ s_{i} \geq q)} \geq 0

而 $w_{j}$ 的样本估计量 ${\hat{ω}}_{j}^{I V} = {({\tilde{z}}^{'} \tilde{s})}^{- 1} {\tilde{z}}^{'} D_{j}$ ，又

D_{i j} = ω_{j} s_{i} + x_{i}^{'} α_{j} + ψ_{i j}, j = 1, 2, \dots, S (4)

因此不难得出 ${\hat{ω}}_{j}^{I V} \overset{p}{⟶} ω_{j}^{I V}$

同理对于 2SLS ，如果有多个工具变量 $z_{i} = (z_{i 1}, \dots, z_{i I})$ 让 $z_{i l} = x_{i}^{'} δ_{z l} + ζ_{i l}$ ，其中 $δ_{z l} = {E (x_{i} x_{i}^{'})}^{- 1} E (x_{i} z_{i l})$ 且 $E (x_{i} ζ_{i l}) = 0$

满足假设1和假设2： $z_{i}$ 的相关性矩阵 $E (ζ_{i} ζ_{i}^{'})$ 是满秩矩阵的情况下，同样 $β^{L}$ 估计量依概率收敛到 $β_{j}$ 的加权平均:

{\hat{β}}_{2 S L S}^{L} \overset{p}{⟶} \sum_{j = 1}^{S} ω_{j}^{2 S L S} β_{j} (5)

同理，2SLS的 $w_{j}$ 也是一致的，其样本估计量即是 (4) 式中 $s_{i}$ 系数的估计量。

最后，为了考虑为什么 Hausman 检验可能得出错误结论，OLS 估计如下：

\begin{aligned} {\hat{β}}_{O L S}^{L} & = {(s^{'} M_{x} s)}^{- 1} s^{'} M_{x} y \\ = \sum_{j = 1}^{S} {\hat{ω}}_{j}^{O L S} β_{j} + {({\tilde{s}}^{'} \tilde{s})}^{- 1} \tilde{s} ε \end{aligned}

而 ${\hat{ω}}_{j}^{O L S} = {({\tilde{s}}^{'} \tilde{s})}^{- 1} {\tilde{s}}^{'} D_{j}$ ，如果内生性不成立，那么：

{\hat{β}}_{O L S}^{L} \overset{p}{⟶} \sum_{j = 1}^{S} ω_{j}^{O L S} β_{j} (6)

同理 $w_{j}$ 也是一致的。

因此，标准的 Hausman 测试是基于 OLS 和 IV 或 2SLS 估计之间的差异。然而，上述分析表明，即使在没有内生性的情况下，OLS 和 IV 或 2SLS 估计量也会收敛到不同的加权平均值；见 (3)、 (5) 和 (6)。如果 OLS 和 IV 或 2SLS 的权重有很大的不同，这会产生不同的OLS和IV或2SLS估计，反过来又会导致使用标准 Hausman 检验出现错误。

2.3 Wald 检验

Lochner and Moretti 发现，如果 $s_{i}$ 是外生的，那么 $E (ε_{i} ∣ s_{i}) = 0$ ，那么OLS的估计量 $B = (β_{1}, \dots, β_{S})$ 在非线性模型 (1) 中是一致的。如果这个结果和 (5) 式中 2SLS 估计的 $β_{j}$ 概率极限值结合。可以得到结论如下：

{\hat{β}}_{2 S L S}^{L} - {\hat{ω}}_{2 S L S}^{'} \hat{B} \overset{p}{⟶} 0 (7)

反之，如果 $s_{i}$ 是内生的，则此结论不成立。

因此，Lochner and Moretti 提出的 Wald Test 主要分为两步，一是将所有参数的帧估计 (frame estimation) 作为一种叠加广义矩 (GMM) 问题来导出他们的渐进分布；二是利用δ方法导出 (7) 所呈现的变换的渐近分布。

省略 GMM 的编写过程，以下定理总结了 Lochner and Moretti (2015) 的主要结果。

定理：在假设 1 和 2 的前提下，如果 $E (ε_{i} ∣ s_{i}) = 0$ ，那么

W_{n} = n {\frac{{({\hat{β}}_{2 S L S}^{L} - {\hat{ω}}_{2 S L S}^{'} \hat{B})}^{2}}{\hat{G} \hat{V} {\hat{G}}^{'}}} \overset{d}{⟶} χ^{2} (1)

Lochner and Moretti 采取了蒙特卡罗模拟 1000 个观察值，发现当 $s_{i}$ 为外生，真实模型是 (2) 式时，Wald 检验与 Durbin-Wu-Hausman(DWH) 检验相同，两者均在 0.05 的显着性水平上无法拒绝外生性。如果 $y_{i}$ 和 $s_{i}$ 之间的真实关系是非线性，则 Wald 测试继续拒绝 5% 显著性，而DWH则随着非线性程度的增加而以增加的速度拒绝。因此如果样本大小大于 1,000 个观测值，渐近结果表现应该更明显。下文有实例可以更好说明。

3. Stata 实操：`locmtest` 命令

我们可以用 locmtest 命令来实现 Lochner–Moretti (LM) 检验。在输入命令后，会显示 (1) 式 OLS、2SLS 和 IV 估计的 $β_{j}$ 值，以及 Wald Test、Naive Test 和 DWH test 的数值和 P 值。如果在 5% 显著性水平下拒绝假设，则表明存在内生性。如果不拒绝外生性，我们可以使用 locmtest 的结果来部分解释 OLS 和 2SLS 之间的差异。

locmtest 是外部命令，安装方法如下：

. ssc install locmtest, replace

基本语法格式如下：

locmtest depvar (varlist1 = varlist_iv) [indepvars]  ///
         [if] [, graph coefficients] `

其中：

depvar 是要使用的因变量
varlist1 是离散内生变量
varlist_iv 是工具变量集
indepvars 是外生变量列表
graph 选项可以显示 (1) 式中 OLS 特定水平的估计量图表，包括 $B = (β_{1}, \dots, β_{S})$ ，估计权重 ${\hat{ω}}_{O L S}^{'} = ({\hat{ω}}_{1}^{O L S}, \dots, {\hat{ω}}_{S}^{O L S})$ ,以及2SLS 的估计权重 ${\hat{ω}}_{2 S L S}^{'} = ({\hat{ω}}_{1}^{2 S L S}, \dots, {\hat{ω}}_{S}^{2 S L S})$
coefficients 选项会显示 (1) 式中OLS特定水平估计量矩阵，同样包括 $B$ 、 ${\hat{ω}}_{O L S}^{'}$ 、 ${\hat{ω}}_{2 SLS}^{'}$

需要注意的是，虽然此命令允许 indepvars 中出现因子变量，但它不允许 varlist_iv 中出现因子变量。有关因子变量的使用，请参见 help fvvarlist，以及连享会推文 Stata：因子变量全攻略。

3.1 实例 A：Card (1995a) 估计教育的回报率

这里，我们以 Card (1995a) 的数据来估计教育对收入的影响。

\ln w_{i} = s_{i} β^{L} + x_{i}^{'} γ^{L} + ν_{i} (8)

其中 $\ln w_{i}$ 是一小时收入的对数， $s_{i} \in {1, 2, \dots, 18}$ 是教育年限。我们担忧在这种情况下， $s_{i}$ 是内生的，因为有一些未观察到的个体特征决定了收入和教育年限，例如，一个人的观察能力。

现在假设群体中，由于羊皮效应， $\ln w_{i}$ 和 $s_{i}$ 之间的真实关系是非线性的：

\ln w_{i} = \sum_{j = 2}^{18} D_{i j} β_{j} + x_{i}^{'} γ + ε_{i} (9)

此时，即使 $s_{i}$ 是外生的，使得 $E (ε_{i} ∣ s_{i}) = 0$ ，我们也可以使用 (8) 式从 OLS 和 IV 获得不同的估计，因此如果我们只使用标准的 Hausman 检验，那么很可能导致不正确的结论。下面运用 locmtest 命令进行 LM 检验。

use http://www.stata.com/data/jwooldridge/eacsap/card, clear
locmtest lwage (educ = nearc4) exper expersq,graph coefficient

=================================================== 
Output for the Lochner & Moretti (2015) Wald Test  
=================================================== 
 
Output Variable y: lwage
Endogenous Variable s: educ
Instruments z: nearc4
 
Number of observations = 3010
Number of Categories of Endogenous variable is: 18
Number of Dummies is: 17
 
The number of Excluded Instruments is: 1
 
Estimated Coefficients 
 
             |      Coef.    Std. Err.
-------------+------------------------
         OLS |  .09317071   .00357785
          IV |  .25871555   .03373941
       RWOLS |  .09072257   .00573885
-------------+------------------------
 
Estimated Test Statistics 
             |      Test     p-value
-------------+------------------------
     LM-Wald |   24.19655   8.699e-07
  Naive Wald |   30.12477   4.051e-08
    DWH Test |  41.823868   1.162e-10
-------------+------------------------
 
NOTES: 
 
RWOLS = Reweighted OLS using TSLS Weights 
 
LM-Wald = Lochner-Moretti Wald Test
 
Naive Wald = [ (IV-OLS) / SD(IV-OLS) ]^2 
 
DWH Test: Durbin-Wu-Hausman Test (Augmented Regression).

注意到结果，IV 估计系数值大于 OLS 估计系数值，这与学校教育的内生性可能会高估 OLS 的教育效果的假设相反。虽然对这一结果有几种解释，如测量误差和学校教育影响的个体异质性，但收入与学校教育中的非线性关系也是原因。考虑到可能的羊皮效应，这种可能性无疑大大提高了。Naive Wald 和 DWH 检验都拒绝外部性。LM 检验也拒绝外部性，这降低了人们对前几次检验的结论是由于错误判断关系导致的担忧。

3.2 实例 B：Lochner and Moretti (2015) - 教育与犯罪率

我们的第二个例子使用 Lochner and Moretti (2015)，研究教育对犯罪的影响。他们估计的线性模型设定如下：

p_{i} = s_{i} β^{L} + x_{i}^{'} γ^{L} + ν_{i} (10)

其中， $p_{i}$ 是虚拟变量，如果调查对象在监狱，其值为1，否则为0。 $s_{i} \in {1, 2, \dots, 18}$ 是教育年限。但是多年的教育 $s_{i}$ 可能是内生的，因为有一些未观察到的因素 (例如耐心) 决定了一个人的教育程度，也可能决定了个人的犯罪倾向。

再次假设真实模型如下：

p_{i} = \sum_{j = 1}^{18} D_{i j} β_{j} + x_{i}^{'} γ + ε_{i} (11)

我们只关注在黑人男性中这一效应的影响，应用命令得到结果：

. use "http://eml.berkeley.edu//~moretti/inmates", clear  

*省略数据处理后* 
. locmtest prison (educ = ca9 ca10 ca11)    ///
           i.rage i.year i.state i.birthpl i.birthpl#i.BBeduc   

=================================================== 
Output for the Lochner & Moretti (2015) Wald Test  
=================================================== 
 
Output Variable y: prison
Endogenous Variable s: educ
Instruments z: ca9 ca10 ca11
 
Number of observations = 401529
Number of Categories of Endogenous variable is: 19
Number of Dummies is: 18
 
The number of Excluded Instruments is: 3
 
Estimated Coefficients 
 
             |      Coef.    Std. Err.
-------------+--------------------------
         OLS |  -.00369034   .00008333
          IV |   -.0047513   .00115743
       RWOLS |  -.00073792   .00017873
-------------+--------------------------
 
Estimated Test Statistics 
             |      Test     p-value
-------------+------------------------
     LM-Wald |   11.944147  .00054819
  Naive Wald |   .97566386  .32327168
    DWH Test |   .51540357  .47280942
-------------+------------------------
 
NOTES: 
 
RWOLS = Reweighted OLS using TSLS Weights 
 
LM-Wald = Lochner-Moretti Wald Test
 
Naive Wald = [ (IV-OLS) / SD(IV-OLS) ]^2 
 
DWH Test: Durbin-Wu-Hausman Test (Augmented Regression).

值得注意的是，无论是 Naive Wald 还是 DWH 检验都不能拒绝外部性，但是 LM 检验拒绝它。因此在这个例子中，水平特定效应的差异可能导致标准 Hausman 检验在应该拒绝时不能拒绝外部性。

3.2 实例 C：Lochner and Moretti (2015) - 白人男性的教育与犯罪率

依然是研究实例 B 中的教育对犯罪的影响，但是对象换成了白人男性。模型假定与实例 B 相同。

此次命令同时包括了 graph 和 coefficient 选项。

. use "http://eml.berkeley.edu//~moretti/inmates", clear  

*省略数据处理后* 
. locmtest prison (educ = ca9 ca10 ca11)     ///
           i.rage i.year i.state i.birthpl,  ///
           graph coefficients
 

=================================================== 
Output for the Lochner & Moretti (2015) Wald Test  
=================================================== 
 
Output Variable y: prison
Endogenous Variable s: educ
Instruments z: ca9 ca10 ca11
 
Number of observations = 3209138
Number of Categories of Endogenous variable is: 19
Number of Dummies is: 18
 
The number of Excluded Instruments is: 3
 
Estimated Coefficients 
 
             |      Coef.    Std. Err.
-------------+--------------------------
         OLS |  -.00099111   .00001191
          IV |  -.00114869   .00036243
       RWOLS |  -.00120313     .000034
-------------+--------------------------
 
Estimated Test Statistics 
             |      Test     p-value
-------------+------------------------
     LM-Wald |   .02247255  .88083682
  Naive Wald |   .20211212  .65302138
    DWH Test |   .16365057  .68581755
-------------+------------------------
 
NOTES: 
 
RWOLS = Reweighted OLS using TSLS Weights 
 
LM-Wald = Lochner-Moretti Wald Test
 
Naive Wald = [ (IV-OLS) / SD(IV-OLS) ]^2 
 
DWH Test: Durbin-Wu-Hausman Test (Augmented Regression).

Estimated Coefficients: 

    |    B           seB       W2SLS     seW2sls     Wols     seWols
----+------------------------------------------------------------------
  1 | -.0004088   .0011741   .0037614   .0004353   .0072537   .0000132
  2 |  .0045219   .0012997   .0061937     .00047   .0085221   .0000143
  3 |  -.001657   .0009236     .01063   .0005368   .0109205   .0000164
  4 | -.0010993   .0007393   .0224401   .0006503   .0145451   .0000194
  5 |  .0012797   .0006386   .0393125   .0008261   .0187105   .0000225
  6 | -.0001663   .0005139   .0590797   .0010652   .0236794   .0000259
  7 |  .0000373   .0003851   .0833742   .0013781   .0316599   .0000307
  8 | -.0020164    .000276   .1191036   .0018339   .0426187   .0000363
  9 |  .0013537    .000223   .1539329   .0021541   .0668838   .0000444
 10 | -.0023834   .0002292   .1452373   .0019494   .0809498   .0000476
 11 |  -.001019   .0002225   .1335972   .0018293   .0928632   .0000511
 12 | -.0046185   .0001729    .151474   .0020407   .0986295    .000055
 13 | -.0014042   .0001508   .0016496   .0028537   .1147939   .0000602
 14 | -.0004354   .0001853   .0166923    .002551   .1120058    .000057
 15 | -.0014717   .0002178   .0173397   .0023118   .0993689   .0000538
 16 |  .0007271   .0002121   .0225779   .0020952   .0889882   .0000522
 17 | -.0003403     .00023   .0088103    .001667   .0512865   .0000451
 18 |  .0009268   .0002471   .0047934   .0014149   .0363205   .0000395

绘制出的图如下：

结果表明，Naive Wald 和 DWH 测试都不能拒绝 $s_{i}$ 的外生性。 LM 检验也不能拒绝 $s_{i}$ 的外生性，这降低了人们对前一次检验的结论是由于犯罪-教育关系中的非线性所致的担忧，但由于实例 B 得到的结果，不难发现非线性关系应该在黑人男性的情况下是很重要的。

在绘制出的图和 Stata 输出的估计系数矩阵中对估计系数进行了描述。矩阵和图也给出了 OLS 和 2SLS 权重的估计。从图可以看出，12-16 岁受教育年限的 OLS 权重较高，而 9-12 岁受教育年限的 2SLS 权重较高。这意味着9年到12年的教育过渡对 2SLS 估计有实质性的影响。

4. 局限

正如 Lochner and Moretti (2015) 所言:

"This Wald test represents only a partial solution to the problem of estimating multiple per-unit treatment effects with limited instruments."

如果检验拒绝外部性，此检验无法为拟合正确模型提供任何帮助。

5. 参考文献

Michael P. Babington, Javier Cano-Urbina. A Test for Exogeneity in the Presence of Nonlinearities. Stata Journal, 2016, 16(3):761-777. -PDF-
Lochner, L., and E. Moretti. 2004. The effect of education on crime: Evidence from prison inmates, arrests, and self-reports. American Economic Review 94: 155–189.
Lochner, L., and E. Moretti. 2015. Estimating and testing models with many treatment levels and limited instruments. Review of Economics and Statistics 97: 387–397. -Link-, -PDF-

6. 相关推文

Note：产生如下推文列表的命令为：
lianxh iv 工具变量 hausman, m
安装最新版 lianxh 命令：
ssc install lianxh, replace

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locmtest：非线性模型的内生性检验

1. 引言

2. 非线性模型的内生性检验

2.1 适用场景

2.2 理论前提

2.3 Wald 检验

3. Stata 实操：`locmtest` 命令

3.1 实例 A：Card (1995a) 估计教育的回报率

3.2 实例 B：Lochner and Moretti (2015) - 教育与犯罪率

3.2 实例 C：Lochner and Moretti (2015) - 白人男性的教育与犯罪率

4. 局限

5. 参考文献

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2.3 Wald 检验

3. Stata 实操：locmtest 命令

3.1 实例 A：Card (1995a) 估计教育的回报率

3.2 实例 B：Lochner and Moretti (2015) - 教育与犯罪率

3.2 实例 C：Lochner and Moretti (2015) - 白人男性的教育与犯罪率

4. 局限

5. 参考文献

6. 相关推文

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