中介效应：有序因果中介分析的半参数估计A-理论

发布时间：2023-03-17 阅读 1570

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作者： 余坚 (贵州财经大学)
邮箱： yujiangeren@163.com

Source: Xiang Zhou, 2021, Semiparametric estimation for causal mediation analysis with multiple causally ordered mediators. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 84(3), 794– 821. -Link-，-Data-

1. 引言

因果中介分析旨在厘清一个处理变量影响一个结果变量的路径。大量新近出现的因果推断文献解决了因果机制的定义、识别和估计问题。这组研究使用潜在结果框架，提出了无需设定具体模型的直接和间接效应的定义，证明了非参数识别所需的假设，并开发了一系列输入，加权和多重稳健的估计方法。在此背景下，随着因果中介分析的研究方向从单一中介向多重中介深入，路径特定效应 (path-specific effects，PSEs) 逐渐引人关注。然而，目前大多数关于 PSEs 的文献都集中在两个中介的情况下，如何将以往研究中开发的估计方法推广到 $K (\geq 1)$ 个因果有序中介的情况，仍然没有得到充分的探索。本文旨在弥补这一差距。

2. 符号、定义和识别

为便于说明，我们先从两个因果有序中介的情况开始，然后再讨论 $K$ 个中介的一般设定。

2.1 两个因果有序中介的情况

2.1.1 定义PSEs

设 $A$ 表示二元处理变量， $Y$ 表示关注的结果变量， $X$ 表示一组预处理的协变量向量。另外，设 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ 表示两个因果有序中介，并假设 $M_{1}$ 在 $M_{2}$ 之前。我们允许这些中介是多元的，在这种情况下，组成变量之间的因果关系是不确定的。下图为这些变量之间关系的有向无环图 (directed acyclic graph, DAG) 。

在这个 DAG 中，从处理变量到结果变量存在四种可能的因果路径:

(a) $A$ $\to$ $Y$ ; (b) $A$ $\to$ $M_{2}$ $\to$ $Y$ ; (c) $A$ $\to$ $M_{1}$ $\to$ $Y$ ; (d) $A$ $\to$ $M_{1}$ $\to$ $M_{2}$ $\to$ $Y$

对 PSEs 进行正式定义需要对结果变量和中介变量使用潜在结果形式的符号。具体来说，设 $Y_{(a, m_{1}, m_{2})}$ 表示处理状态为 $a$ ，中介值 $M_{1}$ $=$ $m_{1}$ 和 $M_{2}$ $=$ $m_{2}$ 时的潜在结果; $M_{2} (a, m_{1})$ 表示处理状态为 $a$ ，中介值 $M_{1}$ = $m_{1}$ 时中介 $M_{2}$ 的潜在值； $M_{1} (a)$ 表示处理状态为 $a$ 时中介 $M_{1}$ 的潜在值。

这一符号允许我们以 $Y (a, m_{1}, m_{2})$ 和 $M_{2} (a, m_{1})$ 的形式定义嵌套式反事实 (nested counterfactual) $Y (a, M_{1} (a_{1}), M_{2} (a_{2}, M_{1} (a_{12})))$ ，其中 $a$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{12}$ 都可以取 0 或 1。此外，如果我们让 $Y_{(a)}$ 表示当处理状态为 $a$ ，中介 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ 为处理状态 $a$ 下自然值时 (即 $M_{1} (a)$ 和 $M_{2} (a, M_{1} (a))$ ) 的潜在结果，我们可以构建 $Y (a)$ $=$ $Y (a, M_{1} (a), M_{2} (a, M_{1} (a))))$ 。这有时被称为 “构成” 假设。

根据上述符号，图中每条因果路径的 PSE 都可以通过八种不同方式进行定义，这取决于其他三条路径每条的处理变量 $A$ 被选择的参考级别。例如， $A$ 对 $Y$ 的平均直接效应，即处理效应通过路径 $A$ $\to$ $Y$ 生效的部分，可以定义为

$τ_{A \to Y} (a_{1}, a_{2}, a_{12})$ $=$ $E [Y (1, M_{1} (a_{1}), M_{2} (a_{2}, M_{1} (a_{12}))) - Y (0, M_{1} (a_{1}), M_{2} (a_{2}, M_{1} (a_{12})))]$

其中 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{12}$ 都可以取 0 或 1。特别是在将中介 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ 作为一个整体时， $τ_{A \to Y} (0, 0, 0)$ 对应自然直接效应 (natural direct effect, NDE) 或净直接效应 (pure direct effect, PDE)。

类似地， $A$ $\to$ $M_{2}$ $\to$ $Y$ ， $A$ $\to$ $M_{1}$ $\to$ $Y$ ， $A$ $\to$ $M_{1}$ $\to$ $M_{2}$ $\to$ $Y$ 的 PSEs 可以定义为

$τ_{A \to M_{2} \to Y} (a, a_{1}, a_{12})$ $=$ $E [Y (a, M_{1} (a_{1}), M_{2} (1, M_{1} (a_{12}))) - Y (a, M_{1} (a_{1}), M_{2} (0, M_{1} (a_{12})))]$

$τ_{A \to M_{1} \to Y} (a, a_{1}, a_{12})$ $=$ $E [Y (a, M_{1} (1), M_{2} (a_{2}, M_{1} (a_{12}))) - Y (a, M_{1} (0), M_{2} (a_{2}, M_{1} (a_{12})))]$

$τ_{A \to M_{1} \to M_{2} \to Y} (a, a_{1}, a_{2})$ $=$ $E [Y (a, M_{1} (a_{1}), M_{2} (a_{2}, M_{1} (1))) - Y (a, M_{1} (a_{1}), M_{2} (a_{2}, M_{1} (0)))]$

此外，如果我们使用 $A$ $\to$ $M_{1}$ $⇝$ $Y$ 表示因果路径 $A$ $\to$ $M_{1}$ $\to$ $Y$ 和 $A$ $\to$ $M_{1}$ $\to$ $M_{2}$ $\to$ $Y$ ，则这一复合路径对应的 PSE 可定义为

$τ_{A \to M_{1} ⇝ Y} (a, a_{2})$ $=$ $E [Y (a, M_{1} (1), M_{2} (a_{2}, M_{1} (1))) - Y (a, M_{1} (0), M_{2} (a_{2}, M_{1} (0)))]$

该量反映了处理效应通过 $M_{1}$ 生效的部分，无论它是否进一步作用于 $M_{2}$ 。 $τ_{A \to M_{1} ⇝ Y} (0, 0)$ 常被称为自然间接效应 (natural indirect effect, NIE) 或纯粹间接效应 (pure indirect effect, PIE) 。 $τ_{A \to M_{1} ⇝ Y} (1, 1)$ 常被称为总间接效应 (total indirect effect, TIE) 。根据定义，如果对应的期望潜在结果 $Y (a, M_{1} (a_{1}), M_{2} (a_{2}, M_{1} (a_{12})))$ 被识别了，则这些 PSEs 也将被识别。

2.1.2 识别PSEs

下面，我们回顾从观察性数据中识别这些期望潜在结果的假设。

根据 Pearl (2009) ，我们使用一个 DAG 来编译具有相互独立误差项的非参数结构方程模型 (nonparametric structural equation model, NPSEM) 。在这一框架中，从之前提出的图里的上半部分可以看到，任何处理 - 中介、处理 - 结果、中介 - 中介、中介 - 结果的关系中都没有未观察到的混淆因素。我们正式地引用以下假设。

假设 $1$ $A$ 对 $M_{1}$ , $(A, M_{1})$ 对 $M_{2}$ , $(A, M_{1}, M_{2})$ 对 $Y$ 的一致性：

对任一单位及任何 $a, m_{1}, m_{2}$ , 若 $A = a$ 则 $M_{1} = M_{1} (a)$ ; 若 $A = a$ 且 $M_{1} = m_{1}$ 则 $M_{2} = M_{2} (a)$ ; 若 $A = a$ , $M_{1} = m_{1}$ 且 $M_{2} = m_{2}$ 则 $Y = Y (a, m_{1}, m_{2})$

假设 $2$ 处理变量和潜在结果变量之间的条件独立性：

对任何 $a, a_{1}, a_{2}, m_{1}, m_{1}^{*}, m_{2}$ , 有 $(M_{1} (a_{1}), M_{2} (a_{2}, m_{1}), Y (a, m_{1}, m_{2})) ⊥ ⊥ A | X$ ; $(M_{2} (a_{2}, m_{1}), Y (a, m_{1}, m_{2})) ⊥ ⊥ M_{1} (a_{1}) | X, A$ ; $Y (a, m_{1}, m_{2}) ⊥ ⊥ M_{2} (a_{2}, M_{1}^{*}) | X, A, M_{1}$

假设 $3$ 正值性：

只要 $p_{X} (x) > 0$ , 则 $p_{A | X} (a | x) > ε > 0$ ; 只要 $p_{X, M_{1}} (x, m_{1}) > 0$ , 则 $p_{A | X, M_{1}} (a | x, m_{1}) > ε > 0$ ; 只要 $p_{X, M_{1}, M_{2}} (x, m_{1}, m_{2}) > 0$ , 则 $p_{A | X, M_{1}, M_{2}} (a | x, m_{1}, m_{2}) > ε > 0$ 。此处 $p (\cdot)$ 表示概率密度函数。

注意到假设 2 涉及所谓的跨世界反事实之间的条件独立性，如 $(M_{2} (a_{2}, m_{1}), Y (a, m_{1}, m_{2})) ⊥ ⊥ M_{1} (a_{1}) | X, A$ 。这一假设是 Pearl (2009) 的具有相互独立误差项的 NPSEM 的直接结果。它暗示着 (但不是被暗示) Robins (2003) 在解释因果图时引用的顺序可忽略性假设。此外，假设 2 并没有排除 $X$ 对其子代 (descendant) 的因果效应中所有形式的未观察到的混淆因素。例如，在上述 DAG 中允许共同影响 $X$ 和 $Y$ 的未观察到的变量存在 (尽管没有画出) 。

在假设 $1 - 3$ 下，可以得出当且仅当 $a_{12} = a_{1}$ 时 $E [Y (a, M_{1} (a_{1}), M_{2} (a_{2}, M_{1} (a_{12})))]$ 被识别。因此，由于给定 $a_{12}$ 时 $E [Y (a, M_{1} (1), M_{2} (a_{2}, M_{1} (a_{12})))]$ 和 $E [Y (a, M_{1} (0), M_{2} (a_{2}, M_{1} (a_{12})))]$ 无法被识别，路径 $A$ $\to$ $M_{1}$ $\to$ $Y$ 中将没有 PSEs 被识别。类似地，路径 $A$ $\to$ $M_{1}$ $\to$ $M_{2}$ $\to$ $Y$ 也将没有 PSEs 被识别。而有趣的是，复合路径 $A$ $\to$ $M_{1}$ $⇝$ $Y$ 的 PSEs 却都能被识别，即使 $a \neq a_{2}$ 。这些结果与 Avin 等 (2005) 开发的撤回见证准则 (recanting witness criterion) 相一致，即若且唯若关注的路径不包含 “撤回见证” ，当所有其他路径的 $A$ 设为 0 或 1 时， $A$ 到 $Y$ 路径的 PSE 能被识别 (撤回见证即一个变量 $W$ ，它有一条到 $Y$ 的额外路径，该路径不在关注的路径之中) 。更进一步，因为 $M_{1}$ 有一条到 $Y (M_{1} \to M_{2} \to Y)$ 的额外路径没有在 $A \to M_{1} \to Y$ 之中，所以 PSE $τ_{A \to M_{1} \to Y} (0, 0, 0)$ 将无法被识别。但 PSE