Stata: 一文读懂 Tobit 模型

发布时间：2020-01-02 阅读 21520

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作者：李琼琼 (山东大学)
E-mail：lqqflora@163.com

1. Tobit 模型的介绍

1.1 受限数据：截断和截堵

在做回归时，连续型的被解释变量有的时候因为截断 (Truncated) 或者截堵 (Censored) 而只能选取一定范围的值，会导致估计量不一致。Davidson 等 (2004) 定义如果一些观测值被系统地从样本中剔除，称为截断；而没有观测值被剔除，但是有部分观测值被限制在某个点上则被称为截堵。

举个例子，在研究影响家庭负债额的决定因素时，有较多的被解释变量 (负债额) 为 0，有些家庭是因为没有欠债也没有借钱给其他家庭回答负债为 0，也有家庭只借钱给其他家庭 (借钱给其他人负债额为负值)，但是后者没有在数据上反映出来。当研究人员只选择负债大于 0 的样本，此时负债额是 截断变量；若研究人员保留了负债大于等于 0 的样本，此时的负债额为 截堵变量。我们将上述情形统称为 受限因变量 (limited dependent variable)，对应地就衍生出「截断回归模型」 (truncated regression models) 和「截堵回归模型」(censored regression models)。文献中，后者的别名还包括：「归并回归模型」和「审查回归模型」。

上述关于负债的例子属于 左侧受限，也可以将其推广到 右侧受限 (比如样本的负债额不能超过 100 万元) 或 双侧受限 (限定负债额在 0 到 100 万元之间) 的情形。

1.2 Tobit 模型设定

对于截堵数据，当左侧受限点为 0 ，无右侧受限点时，此模型就是所谓的「规范审查回归模型」，又称为 Tobit 模型 (Tobin，1958)。模型设定如下：

\begin{aligned} y_{i}^{*} & = x_{i}^{'} β + u_{i} \\ u_{i} & \sim N (0, σ^{2}) \end{aligned}

y_{i} = {\begin{array}{cl} y_{i}^{*} & if y_{i}^{*} > 0 \\ 0 & if y_{i}^{*} ⩽ 0 \end{array}

当潜变量 $y^{*}$ 小于等于 0 时，被解释变量 $y$ 等于 0；当 $y^{*}$ 大于 0 时，被解释变量 $y$ 等于 $y^{*}$ 本身，同时假设扰动项 $u_{i}$ 服从均值为 0 ，方差为 $σ^{2}$ 正态分布。

1.3 Tobit 模型的估计

由于使用 OLS 对整个样本进行线性回归，其非线性扰动项将被纳入扰动项中，导致估计不一致，Tobit 提出用 MLE 对模型进行估计。

我们先对该混合分布的概率密度函数进行推导, 再写出其对数似然函数。

当 $y_{i} = 0$ 时，

\begin{aligned} P (y_{i} = 0 | x_{i}) & = P (y_{i}^{*} < 0 | x_{i}) = P (u_{i} < - {x_{i}}^{'} β | x_{i}) \\ = P (u_{i} / σ < - {x_{i}}^{'} β / σ | x_{i}) = Φ (- {x_{i}}^{'} β / σ) \end{aligned}

当 $y_{i} > 0$ 时，

\begin{aligned} P (y_{i} > 0 | x_{i}) & = P (y_{i}^{*} > 0 | x_{i}) = 1 - P (y_{i}^{*} \leq 0 | x_{i}) \\ = 1 - P (u_{i} \leq - {x_{i}}^{'} β | x_{i}) = 1 - P (u_{i} / σ \leq - {x_{i}}^{'} β / σ | x_{i}) \\ = 1 - Φ (- {x_{i}}^{'} β / σ) = Φ ({x_{i}}^{'} β / σ) \end{aligned}

概率密度函数为：

f (y_{i} | x_{i}) = {[Φ (- \frac{x_{i}^{'} β}{σ})]}^{I_{y_{i} = 0}} {[\frac{1}{σ} ϕ (\frac{y_{i} - x_{i}^{'} β}{σ})]}^{I_{y_{i} = 0}}

其中， $I$ 为示性函数，当下标所表示的条件正确时取值为 1，否则为 0。

整个样本的对数似然函数为 ：

\log L = \sum_{i = 1}^{n} {I_{y_{i} = 0} \ln [Φ (- \frac{x_{i}^{'} β}{σ})] + I_{y_{i} > 0} \ln [\frac{1}{σ} ϕ (\frac{y_{i} - x_{i}^{'} β}{σ})]}

通过使 $\log L$ 最大化来求出 $β$ 和 $σ$ 。

1.4 Tobit 模型的假设检验

Tobit 模型的假设检验是通过似然比检验 (Likelihood Ratio Test, LR) 来实现的，该检验的原假设为：

H_{0} : β = β_{0}

LR 统计量为：

L R = - 2 (\ln L_{r} - \ln L_{u}) \sim χ^{2} (j)

其中， $\ln L_{r}$ 是有约束的 ML 估计得到的似然函数值， $\ln L_{u}$ 为无约束 ML 得到的似然函数值，如果 $H_{0}$ 正确，则 $\ln L_{r} - \ln L_{u}$ 不应该为很大。

1.5 边际效应及其推导过程

在 Probit 模型和 Logit 模型等非线性模型中，估计量 $β_{M L E}$ 并非边际效应 (marginal effects)，需要进行一定的转换。Tobit 模型也是一个非线性模型，估计量 $β$ 无法直接作为被解释变量 $y$ (相当于截堵型被解释变量 ) 的边际效应, 但可以作为潜变量 $y^{*}$ 的边际效应，因为 $β$ 与潜变量 $y^{*}$ 是线性关系。此外， $β$ 可以表示变量 $y | y > 0$ (相当于截断型被解释变量) 的期望。下面我们从期望和偏效应入手，推导 $β$ 与三种变量 $y^{*} 、 y 和 y | y > 0$ 的边际效应的关系。

潜变量 $y^{*}$ 的期望和边际效应

潜变量 $y^{*}$ 关于 $x$ 期望：

E (y^{*} | x) = x β

变量 $x_{j}$ 对潜变量 $y^{*}$ 偏效应 (partial effects)

\partial E (y^{*} | x) / \partial x_{j} = β_{j}

截断型被解释变量 $y | y > 0$ 的期望和边际效应

被解释变量 $y$ 关于 $y > 0, x$ 的期望 (又称为 "条件期望" ):

\begin{aligned} E (y | y > 0, x) & = x β + E (u | u > - x β) \\ = x β + σ E [(u / σ) | (u / σ) > - x β / σ] \\ = x β + σ ϕ (x β / σ) / Φ (x β / σ) \\ = x β + σ λ (x β / σ) \end{aligned}

其中， $λ (c) = ϕ (c) / Φ (c)$ 被称为 逆米尔斯比率 (inverse Mills ratio), 是标准正态 pdf 和标准正态 cdf 在 $c$ 处之比。

变量 $x_{j}$ 对变量 $y$ 在 $y > 0, x$ 条件下的偏效应 (partial effects)：

\begin{aligned} \partial E (y | y > 0, x) / \partial x_{j} & = β_{j} + σ \cdot \frac{d λ}{d c} \frac{d c}{d x_{j}} = β_{j} + β_{j} \cdot \frac{d λ}{d c} \\ = β_{j} {1 - λ (x β / σ) [x β / σ + λ (x β / σ)]} \end{aligned}

上式说明 $x_{j}$ 对变量 $y$ 在 $y > 0, x$ 条件下的偏效应不仅取决于 $β_{j}$ ，而且受到 ${\cdot}$ 项的影响。

截堵型被解释变量 $y$ 的期望和边际效应

被解释变量 $y$ 关于 $x$ 的期望 (又称为 "无条件期望" ):

E (y | x) = P (y > 0 | x) \cdot E (y | y > 0, x) = Φ (x β / σ) \cdot E (y | y > 0, x)

变量 $x_{j}$ 对 $y$ 在 $x$ 条件下的偏效应 (partial effects)：

\frac{\partial E (y | x)}{\partial x_{j}} = \frac{\partial P (y > 0 | x)}{\partial x_{j}} \cdot E (y | y > 0, x) + P (y > 0 | x) \cdot \frac{\partial E (y | y > 0, x)}{\partial x_{j}}

经过化简后可得：

\frac{\partial E (y | x)}{\partial x_{j}} = β_{j} Φ (x β / σ)

对以上三种边际效应进行总结：

解释变量的偏效应	函数形式
对潜变量 $y^{*}$ 的偏效应	$\partial E (y^{*} ∥ x) / \partial x_{j} = β_{j}$
对变量 $y$ (左截断 0) 偏效应	$\partial E (y ∥ y > 0, x) / \partial x_{j} = β_{j} {1 - λ (c) [c + λ (c)]}$
对变量 $y$ (左截堵 0) 偏效应	$\partial E (y ∥ x) / \partial x_{j} = β_{j} Φ (c)$

注： $c = x β / σ$

2. Stata 范例

2.1 模型估计的实现

Stata 提供 tobit 命令对归并回归模型进行估计。在命令窗口中输入 help tobit 命令即可查看其完整帮助文件。tobit 命令的基本语法为：

 tobit depvar [indepvars] [if] [in] [weight]，11[(#)] ul[(#)] [options]

其中 ll[(#)] 表示左归并，# 是左侧受限点的具体值；ul[(#)] 表示右归并，# 是右侧受限点的具体值。在实际运用中，可以只选择左归并或者右归并，也可以同时选择。

下面以研究影响 非住院医疗费用 的因素为例，我们来对如何使用 Stata 做 Tobit 模型估计进行详细的介绍。

非住院医疗费用 (ambulatory expenditure，ambexp) 作为被解释变量，解释变量包括：年龄 (age), 是否为女性 (female), 教育年限 (educ) 以及 totchr, totchr 和 ins 等变量。

首先对被解释变量进行观察，

从上图可以发现，有超过 10% 的比例的被解释变量其数值为0，这个时候我们考虑进行线性 Tobit 模型 (linear tobit model) 估计。具体的命令和估计结果如下

use mus16data.dta, clear
global xlist age female educ blhisp totchr ins // 定义将所有的解释变量定义为全局变量 $xlist
tobit ambexp $xlist, ll(0)

2.2 偏效应估计

在做完回归之后，使用 margins 命令分别进行三种偏边际效应的估计

对潜变量 $y^{*}$ 的偏效应

margins, dydx(*)

解释：以教育的为例，教育年限对在非住院医疗上的 预期花费 平均边际效应为 70.87。

对 $y | y > 0$ 偏效应

margins, dydx(*) predict(ystar(0,.))

解释：相当于截断模型的平均边际效应，在非住院医疗费用的实际支出大于 0 的样本中，教育年限对于非住院医疗费用的实际支出的平均边际效应为 33.34。

对 $y$ 的偏效应

margins, dydx(*) predict(  e(0,.))

解释：教育年限对于非住院医疗费用的实际支出的平均边际效应为 45.44。

3. 结论

在做实证研究时，虽然拥有全部的观测数据，但是部分观测数据的被解释变量 $y$ 都被压缩在 0 这一个点上。此时，无论是整个样本还是去掉 $y$ 为 0 的样本，都无法通过 OLS 得到一致估计。因此需要使用 Tobit 模型来解决数据的截堵问题。此外，在对模型估计完以后，如果求核心变量对解释变量的偏效应，还需要经过一定的转化。

参考文献

Davidson R, MacKinnon J G. Econometric theory and methods[M]. New York: Oxford University Press, 2004. [PDF]
Wooldridge J M. Econometric analysis of cross section and panel data[M]. MIT press, 2010. [PDF]
Wooldridge J M. Introductory econometrics: A modern approach[M]. Nelson Education, 2016. [PDF]
Cameron A C, Trivedi P K. Microeconometrics Using Stata[J]. Stata Press books, 2010. [PDF]

Stata: 一文读懂 Tobit 模型

1. Tobit 模型的介绍

1.1 受限数据：截断和截堵

1.2 Tobit 模型设定

1.3 Tobit 模型的估计

1.4 Tobit 模型的假设检验

1.5 边际效应及其推导过程

潜变量 $y^{*}$ 的期望和边际效应

截断型被解释变量 $y | y > 0$ 的期望和边际效应

截堵型被解释变量 $y$ 的期望和边际效应

2. Stata 范例

2.1 模型估计的实现

2.2 偏效应估计

3. 结论

参考文献

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1.2 Tobit 模型设定

1.3 Tobit 模型的估计

1.4 Tobit 模型的假设检验

1.5 边际效应及其推导过程

潜变量 y∗ 的期望和边际效应

截断型被解释变量 y|y>0 的期望和边际效应

截堵型被解释变量 y 的期望和边际效应

2. Stata 范例

2.1 模型估计的实现

2.2 偏效应估计

3. 结论

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