Stata：时间虚拟变量还是时间趋势项?

发布时间：2020-10-09 阅读 11009

作者：徐婷 (厦门大学)

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在不同的实证研究中，有些回归模型为每个年份设置了时间虚拟变量，另一些模型加入了时间趋势项。那么，在模型中加入时间虚拟变量和时间趋势项的区别是什么呢？在什么情况下，应该加入那种表示时间变化的变量呢？

1. 两者的区别

1.1 时间虚拟变量

当观察值所在年份等于指定年份，时间虚拟变量等于 1，否认为 0。通过设置时间虚拟变量，能够控制年份层面的固定效应，例如：特定时间内发生的外部冲击，无法被其他解释变量控制。一般而言，当数据集中包含 T 期时，应该加入 T-1 个时间虚拟变量。

y_{t} = α + X_{t} β + \sum_{j = 1}^{T - 1} τ_{j} T_{j} + u_{i t}

如以上公式所示， $τ_{j}$ 是时间虚拟变量 $T_{j}$ 的系数，若观测值在 $j$ 年， $T_{j}$ 等于1，否则为 0。对于任意给定年份，可以令 $T_{j}$ 等于1，其他年份为 0，来估计 $τ_{j}$ 的系数的大小。

y_{t = j} = α + X_{j} β + τ_{j}

如以上公式所示，大小为 τj 的特定年份的效应，能影响所有的第 j 年的样本。如果认为某一年有特殊效应，并且希望衡量其大小，那么设置时间虚拟变量是最合适的方法。

1.2 时间趋势项

指定年份的时间趋势变量等于数据集中时间变量的顺序，例如：如果数据集中包含了 2000 年到 2010 年的样本，那么 2000 年的样本的时间趋势项为 1，2001 年的样本为 2，以此类推。通过设置时间趋势变量，可以控制由其他变量无法解释的因变量的外生变动。

y_{t} = α + X_{t} β + λ t + e_{i t}

以上公式中的 λ 是时间趋势项t的回归系数，t 是等步递增的。为了获得可以解释的表达方式，我们可以进行求导如下：

\frac{\partial y_{t}}{\partial t} = λ

所以，随着时间从某一年变化到另一年，如：时间趋势项 t 变动一个单位，会对因变量产生一个大小为 λ 的影响。由此生成一个线性的趋势项，它可以被解释为因变量随时间变动的总体方向。事前假设时间趋势项的效应并非对应于某一特定年份，但是产生变化的过程是跨年份的。

2. 如何选择加入时间虚拟变量还是时间趋势项？

时间趋势项通常用于表示技术进步，而时间虚拟变量用于控制某一特定年份的效应，例如发生严重的洪水等自然灾害的年份。如何选择时间虚拟变量或时间趋势项，这取决于模型希望解决的问题是某个特定年份的变化还是时间趋势。

只要有可靠的理论依据，可以同时包含时间虚拟变量和时间趋势项。但加入这两种变量都无法解决时间序列的非平稳问题，因此要利用面板数据的单位根检验来检查数据是否平稳。

3. 实例说明

下面本文基于数据集 gss.dta 来简要说明在模型中加入时间虚拟变量和时间趋势项的区别和联系。degree为因变量，表示被调查者的受教育程度；coh为时间趋势项，用被调查者出生的年份减 1900 后除以10来衡量；year为时间虚拟变量，用被调查者出生的年份减 1900 后设置的虚拟变量来衡量。

.use http://fmwww.bc.edu/repec/bocode/g/gss.dta, clear
.gen year = coh*10

3.1 加入时间趋势项

在这里，我们在模型一中同时加入时间虚拟变量i.year、时间趋势项c.coh，在模型二中仅加入时间虚拟变量。回归后分别求取拟合值yhat1和yhat2，通过比较两种拟合值的差异来分析两个模型的异同。

.reg degree i.year c.coh
.predict yhat1
.reg degree i.year
.predict yhat2
.twoway scatter yhat1 yhat2, aspect(1) ||    ///
       function identity = x, range(.5 2.1) ///
       ytitle(trend + dummies)              ///
       xtitle(only dummies)

如下图所示，在包含时间虚拟变量的模型中加入时间趋势项后，并没有改变模型，只是将相同的信息以不同的系数进行区分。在本例中，两种模型得出的拟合结果是完全相同的。所以，如果在模型中同时加入时间虚拟变量和趋势项难以解释，在没有损失信息的情况下，可以去掉时间趋势项。

3.2 改变划分时间虚拟变量的时间跨度

在这里，我们将时间虚拟变量以每 10 年为单位进行划分，在模型三中同时加入以每 10 年为单位的时间虚拟变量i.decade、时间趋势项c.coh，在模型四中仅加入时间趋势项。回归后分别求取拟合值yhat3和yhat4，再加上模型二的拟合值yhat2，通过比较三个拟合值的差异来分析模型的异同。

.gen decade = floor(coh)
.reg degree i.decade coh
.predict yhat3
.reg degree coh
.predict yhat4
.sort coh
.by coh : gen byte mark = _n == 1
.twoway line yhat3 coh if mark ||            ///
       line yhat4 coh if mark ||            ///
       scatter yhat2 coh if mark,           ///
       legend(order( 1 "trend + decade"     ///
                     2 "just trend"         ///
                     3 "annual estimate" ))

如果划分时间虚拟变量的时间跨度更长，例如，时间趋势项按年度划分，而时间虚拟变量按 10 年划分，那么这两个模型实质上是不同的。

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