Stata:自回归分布滞后模型简介 (ARDL)

发布时间:2022-06-29 阅读 3951

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作者:陈卓然 (中山大学)
邮箱chenzhr25@mail2.sysu.edu.cn


目录


1. 模型简介

自回归分布滞后模型 (ARDL)一直被用来刻画单一时间序列方程中的变量关系。因为非平稳变量的协整等价于一个误差修正模型,而将误差修正模型进行化简之后即可得到自回归分布滞后模型。具体模型形式如下:

其中,p1q0。为简化起见,这里假定对于所有  K×1 维向量 xt 的滞后阶数都相同。可以看出这个模型中同时包含了自回归和分布滞后两种模型,因此其同时考虑了序列相关性和动态影响,Hansen 2021 指出如果滞后阶数 p 和 q 足够大,那么 ARDL 模型的误差将近似为白噪音。在 ARDL 中长期乘数因子为:

长期乘数因子代表了在长期 Zt 对于 Yt 的累计影响。

2. 命令介绍

命令安装

ssc install ardl, replace

命令语法

ardl depvar [indepvars] [if] [in] [,options]

常用选项 lags(numlist) 指定某些变量的滞后阶数。对于未指定的变量 ,Stata 将采用下面的几个准则进行选择:

  • 使用 Akaike 信息准则来进行最优化:aic
  • 使用 Bayesian 信息准则来进行最优化:bic
  • 为模型选择设定最大的滞后阶数:maxlags(numlist)

Stata 默认准则为 lags(.) bic maxlags(4)。此外,选项 maxcrit(name) 将信息准则储存在一个矩阵中。

经典复现

我们采用西德的一份季度宏观数据进行演示,数据内容详见「New Introduction to Multiple Time Series Analysis」。

. webuse lutkepohl2, clear //导入数据

. * ardl估计
. ardl ln_consump ln_inc ln_inv, lags(. . 0) aic maxlags(. 2 .) matcrit(lagcombs) 

ARDL(4,1,0) regression
Sample: 1961q1 thru 1982q4                            Number of obs =       88
                                                      F(7, 80)      = 49993.34
                                                      Prob > F      =   0.0000
                                                      R-squared     =   0.9998
                                                      Adj R-squared =   0.9998
Log likelihood = 304.37474                            Root MSE      =   0.0080
------------------------------------------------------------------------------
  ln_consump | Coefficient  Std. err.      t    P>|t|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
  ln_consump |
         L1. |      0.457      0.106     4.29   0.000        0.245       0.669
         L2. |      0.325      0.113     2.88   0.005        0.101       0.550
         L3. |      0.105      0.109     0.96   0.340       -0.113       0.322
         L4. |     -0.163      0.085    -1.91   0.059       -0.333       0.007
      ln_inc |
         --. |      0.463      0.078     5.90   0.000        0.307       0.619
         L1. |     -0.203      0.097    -2.10   0.039       -0.395      -0.011
      ln_inv |      0.008      0.012     0.68   0.500       -0.016       0.032
       _cons |      0.037      0.014     2.60   0.011        0.009       0.066
------------------------------------------------------------------------------

. mat li lagcombs

lagcombs[12,4]
     ln_consump      ln_inc      ln_inv         aic
 r1           1           0           0  -585.22447
 r2           1           1           0  -585.39189
 r3           1           2           0  -583.87371
 r4           2           0           0  -590.66282
 r5           2           1           0   -592.6904
 r6           2           2           0  -591.62065
 r7           3           0           0  -588.69163
 r8           3           1           0  -590.82776
 r9           3           2           0  -589.69502
r10           4           0           0  -590.03936
r11           4           1           0  -592.75151
r12           4           2           0  -592.13348
 
. estat ic

Akaike's information criterion and Bayesian information criterion
-----------------------------------------------------------------------------
       Model |          N   ll(null)  ll(model)      df        AIC        BIC
-------------+---------------------------------------------------------------
           . |         88  -64.51057   304.3747       8  -592.7495  -572.9308
-----------------------------------------------------------------------------
Note: BIC uses N = number of observations. See [R] BIC note.

最优滞后阶数的选择速度有两种模式:快速版和慢速版,取决于选项 nofast

. timer on 1
. ardl ln_consump ln_inc ln_inv,aic dots noheader
. timer off 1
. timer on 2
. ardl ln_consump ln_inc ln_inv,aic dots noheader nofast
. timer off 2

. timer list 1
   1:      0.02 /        1 =       0.0230

. timer list 2
   2:      0.92 /        1 =       0.9160

可以看到在不加 nofast 选项时,运算速度提高了一倍以上。需要注意的是:最优模型选择的是 aic 或者 bic 最小的模型,而且信息准则的比较要在样本保持不变的前提下进行,否则是不可比的。此外,大家会好奇,为什么 ardl 会设置 fastnofast 选项?

这是因为 fast 选项基于 Mata 算法来获得最优滞后阶数,而这背后的代价是信息准则的值可能与 estat ic 得到的结果有细微差别。但是这种差别并不影响模型的排序,也就不会影响最优滞后阶数的选择。nofast 选项背后的算法是 regress 命令,因而尽管运行速度有些慢,但是结果和 estat ic 是一致的。

3. EC 表示

我们将式 (1) 重新整理为误差修正模型的形式,即:

其中调整速度系数 α=1j=1qϕi,长期系数为 θ=j=0qβjα。这一设定是 ardl 中的选项 ec。另外一种误差修正模型的形式为:

. ardl ln_consump ln_inc ln_inv, aic ec noheader

------------------------------------------------------------------------------
D.ln_consump | Coefficient  Std. err.      t    P>|t|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
ADJ          |
  ln_consump |
         L1. |     -0.368      0.041    -9.06   0.000       -0.449      -0.287
-------------+----------------------------------------------------------------
LR           |
      ln_inc |      1.001      0.027    37.76   0.000        0.949       1.054
      ln_inv |     -0.040      0.031    -1.30   0.197       -0.102       0.021
-------------+----------------------------------------------------------------
SR           |
  ln_consump |
         LD. |     -0.325      0.079    -4.12   0.000       -0.482      -0.168
      ln_inv |
         D1. |      0.080      0.019     4.30   0.000        0.043       0.118
         LD. |      0.043      0.019     2.21   0.030        0.004       0.082
        L2D. |      0.066      0.018     3.62   0.001        0.030       0.102
        L3D. |      0.053      0.018     2.86   0.005        0.016       0.090
       _cons |      0.047      0.011     4.24   0.000        0.025       0.069
------------------------------------------------------------------------------

. ardl ln_consump ln_inc ln_inv, aic ec1 noheader

------------------------------------------------------------------------------
D.ln_consump | Coefficient  Std. err.      t    P>|t|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
ADJ          |
  ln_consump |
         L1. |     -0.368      0.041    -9.06   0.000       -0.449      -0.287
-------------+----------------------------------------------------------------
LR           |
      ln_inc |
         L1. |      1.001      0.027    37.76   0.000        0.949       1.054
      ln_inv |
         L1. |     -0.040      0.031    -1.30   0.197       -0.102       0.021
-------------+----------------------------------------------------------------
SR           |
  ln_consump |
         LD. |     -0.325      0.079    -4.12   0.000       -0.482      -0.168
      ln_inc |
         D1. |      0.368      0.042     8.87   0.000        0.286       0.451
      ln_inv |
         D1. |      0.066      0.018     3.64   0.000        0.030       0.102
         LD. |      0.043      0.019     2.21   0.030        0.004       0.082
        L2D. |      0.066      0.018     3.62   0.001        0.030       0.102
        L3D. |      0.053      0.018     2.86   0.005        0.016       0.090
       _cons |      0.047      0.011     4.24   0.000        0.025       0.069
------------------------------------------------------------------------------

. ardl ln_consump ln_inc, exog(L(0/3)D.ln_inv) aic ec noheader

------------------------------------------------------------------------------
D.ln_consump | Coefficient  Std. err.      t    P>|t|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
ADJ          |
  ln_consump |
         L1. |     -0.379      0.042    -9.00   0.000       -0.463      -0.295
-------------+----------------------------------------------------------------
LR           |
      ln_inc |      0.967      0.004   244.44   0.000        0.959       0.975
-------------+----------------------------------------------------------------
SR           |
  ln_consump |
         LD. |     -0.347      0.081    -4.30   0.000       -0.508      -0.186
        L2D. |     -0.107      0.079    -1.36   0.178       -0.265       0.050
      ln_inv |
         D1. |      0.076      0.018     4.29   0.000        0.041       0.111
         LD. |      0.042      0.019     2.20   0.030        0.004       0.080
        L2D. |      0.068      0.019     3.66   0.000        0.031       0.105
        L3D. |      0.049      0.018     2.70   0.008        0.013       0.084
       _cons |      0.050      0.011     4.41   0.000        0.028       0.073
------------------------------------------------------------------------------
  • 长期系数 θ 在 LR 部分报告,他们代表着解释变量对被解释变量的一般均衡影响;
  • 负的调整速度系数 α 在 ADJ 部分报告,它刻画的是被解释变量对于偏离均衡时的反应,或者说是对于偏离均衡的修正速度;
  • 短期系数 ψyi,ψxi 和 ωSR 部分报告,他们代表不能由偏离长期均衡解释的部分;
  • 解释变量可以是一阶单整 I(1) 或者平稳的 I(0)
  • 解释变量必须是弱外生的,也就是说他们与被解释变量只能存在至多一个协整关系;
  • 默认情况下,每一个解释变量都被包含在长期关系当中,但如果有只影响短期关系的平稳变量可以通过选项 exog(varlist) 来指定,这样 Stata 就不会将其进行一阶差分转化,然后进行最优滞后阶数的选择了。

4. 长期关系的检验

Pesaran 等 (2001) 提出 bounds test,其检验步骤如下:

  1. 使用 F 统计量检验联合假设:

  2. 如果 H0F 被拒绝,使用 t 统计量检验单一假设  H0t=α=0vsH1t:α0

  3. 如果 H1F 被拒绝,使用传统的 z 统计量检验 θ 是否显著异于 0。

如果上述三个原假设都被拒绝了,就意味着存在一个长期协整关系。在第一步和第二步中统计量的分布是非标准的,取决于自变量的协整阶数。Kripfganz 和 Schneider (2018) 使用响应表面回归去获得了有限样本和渐进临界值以及近似的 p 值。这些临界值取决于自变量的个数,协整阶数,短期系数的个数以及是否包含一个截距项和时间趋势项。

ardl 关于确定性模型成分的选项:

  • 无截距,无趋势:noconstant
  • 有约束的截距,没有趋势:restricted
  • 无约束的截距,没有趋势:默认;
  • 无约束的截距,有约束的趋势:trebd(varname)restricted
  • 无约束的截距,无约束的趋势:trend(varname)

决策准则:

  • 如果检验统计量相比于临界值的下界更接近于 0 的话,就不能拒绝 H0F 或者 H0t
  • 如果检验统计量比临界值的上界还要极端的话,就可以拒绝 H0F 或者 H0t

Bounds test 的前两步检验可以通过 ardl 估计后命令 estat ectest 来进行,默认情况下会提供有限样本在 1%,5% 以及 10% 下的临界值,渐进临界值可以通过选项 asymptotic 来呈现。第三步的检验统计量符合通常的渐进标准正态分布,与自变量的协整阶数无关。

. estat ectest

Pesaran, Shin, and Smith (2001) bounds test
H0: no level relationship                                        F =    40.952
Case 3                                                           t =    -9.002
Finite sample (1 variables, 88 observations, 6 short-run coefficients)
Kripfganz and Schneider (2020) critical values and approximate p-values
   | 10%              | 5%               | 1%               | p-value         
   |    I(0)     I(1) |    I(0)     I(1) |    I(0)     I(1) |    I(0)     I(1)
---+------------------+------------------+------------------+-----------------
 F |   4.032    4.831 |   4.958    5.844 |   7.071    8.121 |   0.000    0.000
 t |  -2.550   -2.899 |  -2.861   -3.225 |  -3.470   -3.854 |   0.000    0.000
do not reject H0 if
    either F or t are closer to zero than critical values for I(0) variables
      (if either p-value  > desired level for I(0) variables)
reject H0 if
    both F and t are more extreme than critical values for I(1) variables
      (if both   p-values < desired level for I(1) variables)
decision: no rejection (.a), inconclusive (.), or rejection (.r) at levels:
             |       10%         5%         1% 
-------------+---------------------------------
    decision |        .r         .r         .r 

. * EC model with restricted trend
. ardl ln_consump ln_inc, exog(L(0/3)D.ln_inv) trend(qtr) aic ec restricted noheader
. estat ectest

Pesaran, Shin, and Smith (2001) bounds test
H0: no level relationship                                        F =    31.557
Case 4                                                           t =    -7.910
Finite sample (1 variables, 88 observations, 6 short-run coefficients)
Kripfganz and Schneider (2020) critical values and approximate p-values
   | 10%              | 5%               | 1%               | p-value         
   |    I(0)     I(1) |    I(0)     I(1) |    I(0)     I(1) |    I(0)     I(1)
---+------------------+------------------+------------------+-----------------
 F |   4.066    4.583 |   4.784    5.351 |   6.396    7.057 |   0.000    0.000
 t |  -3.108   -3.385 |  -3.413   -3.705 |  -4.014   -4.327 |   0.000    0.000
do not reject H0 if
    either F or t are closer to zero than critical values for I(0) variables
      (if either p-value  > desired level for I(0) variables)
reject H0 if
    both F and t are more extreme than critical values for I(1) variables
      (if both   p-values < desired level for I(1) variables)
decision: no rejection (.a), inconclusive (.), or rejection (.r) at levels:
             |       10%         5%         1% 
-------------+---------------------------------
    decision |        .r         .r         .r 

Bounds test 的有效性依赖于正态分布的误差项是同方差且序列不相关。因此如果怀疑存在序列相关问题,就增加滞后阶数,然后进行信息准则的筛选。除了 estat ectest 之外,ardl 命令也支持标准的 Stata 估计后命令,如 estat icestimateslincomnlcomtesttestnllrtest

采用 predict 命令可以获得拟合值 (选项 xb) 和残差 (选项 residuals),也可以使用 ec 或者 eci 选项来得到均衡修正项:

  • ardl, ecec^t=yt1θ^xt
  • ardl, ec1ec^t=yt1θ^xt1

最终的 ardl 的估计结果可以通过 regstore(name) 的方式储存起来,然后通过 estimates restore name 的方式来调用。之后我们可以采用如下的若干命令来进行估计后检验:

  • estat hettestestat imtest 用来对异方差和正态性进行检验;
  • estat bgodfreyestat durbinalt 用来对序列相关进行检验;
  • estat sbcusum, estat sbknownestat sbsingle 用来对结构性断裂进行检验。
. * 序列相关检验
. quietly ardl ln_consump ln_inc, exog(L(0/3)D.ln_inv) trend(qtr) aic ec regstore(ardlreg)
. estimates restore ardlreg
. estat bgodfrey, lags(1/4) small

Breusch–Godfrey LM test for autocorrelation
---------------------------------------------------------------------------
    lags(p)  |          F                  df                 Prob > F
-------------+-------------------------------------------------------------
       1     |        0.116           (  1,   77 )              0.7341
       2     |        0.068           (  2,   76 )              0.9340
       3     |        0.364           (  3,   75 )              0.7791
       4     |        0.453           (  4,   74 )              0.7702
---------------------------------------------------------------------------
                        H0: no serial correlation

. estat durbinalt, lags(1/4) small

Durbin's alternative test for autocorrelation
---------------------------------------------------------------------------
    lags(p)  |          F                  df                 Prob > F
-------------+-------------------------------------------------------------
       1     |        0.102           (  1,   77 )              0.7505
       2     |        0.059           (  2,   76 )              0.9426
       3     |        0.314           (  3,   75 )              0.8150
       4     |        0.389           (  4,   74 )              0.8162
---------------------------------------------------------------------------
                        H0: no serial correlation

. * 异方差检验
. estat hettest

Breusch–Pagan/Cook–Weisberg test for heteroskedasticity 
Assumption: Normal error terms
Variable: Fitted values of D.ln_consump
H0: Constant variance
    chi2(1) =   0.26
Prob > chi2 = 0.6067

. estat imtest, white

White's test
H0: Homoskedasticity
Ha: Unrestricted heteroskedasticity
   chi2(54) =  52.03
Prob > chi2 = 0.5508
Cameron & Trivedi's decomposition of IM-test
--------------------------------------------------
              Source |       chi2     df         p
---------------------+----------------------------
  Heteroskedasticity |      52.03     54    0.5508
            Skewness |      12.24      9    0.2000
            Kurtosis |       0.02      1    0.8967
---------------------+----------------------------
               Total |      64.29     64    0.4664
--------------------------------------------------

. * 正态性检验
. predict resid, res
. sktest resid

Skewness and kurtosis tests for normality
                                                         ----- Joint test -----
    Variable |       Obs   Pr(skewness)   Pr(kurtosis)   Adj chi2(2)  Prob>chi2
-------------+-----------------------------------------------------------------
       resid |        88         0.3270         0.8107          1.04     0.5939

. qnorm resid
. * 结构性断裂检验
. estat sbcusum

Cumulative sum test for parameter stability
Sample: 1961q1 thru 1982q4                  Number of obs = 88
H0: No structural break
                   Test      -------- Critical value ---------
      Type    statistic           1%           5%          10%
--------------------------------------------------------------
 Recursive       1.4690       1.1430       0.9479       0.8499
--------------------------------------------------------------
. estat sbcusum, ols

Cumulative sum test for parameter stability
Sample: 1961q1 thru 1982q4                  Number of obs = 88
H0: No structural break

                   Test      -------- Critical value ---------
      Type    statistic           1%           5%          10%
--------------------------------------------------------------
 OLS             0.6793       1.6276       1.3581       1.2238
--------------------------------------------------------------
. estat sbsingle, all

Test for a structural break: Unknown break date
Full sample:    1961q1 thru 1982q4
Trimmed sample: 1964q3 thru 1979q3
H0: No structural break
                         Number of obs = 88
-------------------------------------------
             Test    Statistic      p-value
-------------------------------------------
    Supremum Wald      20.1088       0.3040
     Average Wald      13.9245       0.1019
 Exponential Wald       7.9897       0.1939
      Supremum LR      22.7977       0.1605
       Average LR      16.3306       0.0330
   Exponential LR       9.3047       0.0886
-------------------------------------------
Exogenous variables: L.ln_consump ln_inc LD.ln_consump 
L2D.ln_consump D.ln_inv LD.ln_inv L2D.ln_inv L3D.ln_inv qtr
Coefficients included in test: L.ln_consump ln_inc 
LD.ln_consump L2D.ln_consump D.ln_inv LD.ln_inv L2D.ln_inv
L3D.ln_inv qtr _cons

. estat sbsingle, breakvars(L.ln_consump ln_inc) all

Test for a structural break: Unknown break date
Full sample:    1961q1 thru 1982q4
Trimmed sample: 1964q3 thru 1979q3
H0: No structural break
                         Number of obs = 88
-------------------------------------------
             Test    Statistic      p-value
-------------------------------------------
    Supremum Wald       8.9039       0.1457
     Average Wald       2.5060       0.2608
 Exponential Wald       2.0321       0.1738
      Supremum LR       9.7492       0.1046
       Average LR       2.8269       0.2027
   Exponential LR       2.3571       0.1225
-------------------------------------------
Exogenous variables: L.ln_consump ln_inc LD.ln_consump 
L2D.ln_consump D.ln_inv LD.ln_inv L2D.ln_inv L3D.ln_inv qtr
Coefficients included in test: L.ln_consump ln_inc

5. 拓展

ardl 命令也可以用来估计不带自变量的自回归模型。此时,bounds test 收敛到我们熟悉的扩展 DF 单位根检验。forecast 也可以帮助我们在使用 ardl 之后进行模型的预测。ardl 并不计算稳健标准误,但是一旦最优滞后阶数被得到之后,最终的模型可以使用 newey 命令重新估计以获得 Newey-West 标准误。

. ardl dln_inv, aic ec restricted

ARDL(4) regression
Sample: 1961q2 thru 1982q4                              Number of obs =     87
                                                        R-squared     = 0.6462
                                                        Adj R-squared = 0.6289
Log likelihood = 154.12285                              Root MSE      = 0.0424
------------------------------------------------------------------------------
   D.dln_inv | Coefficient  Std. err.      t    P>|t|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
ADJ          |
     dln_inv |
         L1. |     -0.755      0.230    -3.29   0.001       -1.212      -0.299
-------------+----------------------------------------------------------------
LR           |
       _cons |      0.015      0.006     2.48   0.015        0.003       0.027
-------------+----------------------------------------------------------------
SR           |
     dln_inv |
         LD. |     -0.463      0.201    -2.31   0.023       -0.862      -0.064
        L2D. |     -0.494      0.158    -3.13   0.002       -0.808      -0.180
        L3D. |     -0.313      0.103    -3.04   0.003       -0.518      -0.108
------------------------------------------------------------------------------

. estat ectest

Pesaran, Shin, and Smith (2001) bounds test
H0: no level relationship                                        F =     5.478
Case 2                                                           t =    -3.290
Finite sample (0 variables, 87 observations, 3 short-run coefficients)
Kripfganz and Schneider (2020) critical values and approximate p-values
   | 10%              | 5%               | 1%               | p-value         
   |    I(0)     I(1) |    I(0)     I(1) |    I(0)     I(1) |    I(0)     I(1)
---+------------------+------------------+------------------+-----------------
 F |   3.822    3.811 |   4.675    4.657 |   6.641    6.597 |   0.026    0.025
 t |  -2.565   -2.569 |  -2.869   -2.874 |  -3.462   -3.471 |   0.016    0.017
do not reject H0 if
    either F or t are closer to zero than critical values for I(0) variables
      (if either p-value  > desired level for I(0) variables)
reject H0 if
    both F and t are more extreme than critical values for I(1) variables
      (if both   p-values < desired level for I(1) variables)

decision: no rejection (.a), inconclusive (.), or rejection (.r) at levels:
             |       10%         5%         1% 
-------------+---------------------------------
    decision |        .r         .r         .a 

. * ADF 检验
. dfuller dln_inv, lags(3) regress  

Augmented Dickey–Fuller test for unit root
Variable: dln_inv                          Number of obs  = 87
                                           Number of lags =  3
H0: Random walk without drift, d = 0
                                       Dickey–Fuller
                   Test      -------- critical value ---------
              statistic           1%           5%          10%
--------------------------------------------------------------
 Z(t)            -3.290       -3.528       -2.900       -2.585
--------------------------------------------------------------
MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.0153.

Regression table
------------------------------------------------------------------------------
   D.dln_inv | Coefficient  Std. err.      t    P>|t|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
     dln_inv |
         L1. |     -0.755      0.230    -3.29   0.001       -1.212      -0.299
         LD. |     -0.463      0.201    -2.31   0.023       -0.862      -0.064
        L2D. |     -0.494      0.158    -3.13   0.002       -0.808      -0.180
        L3D. |     -0.313      0.103    -3.04   0.003       -0.518      -0.108
             |
       _cons |      0.011      0.006     1.88   0.063       -0.001       0.023
------------------------------------------------------------------------------

. * 预测
. qui ardl ln_consump ln_inc ln_inv if qtr<tq(1981q1), trendvar(qtr)  
. est sto ardl
. forecast create ardl,replace
. forecast estimates ardl, predict(xb)
. forecast exogenous ln_inc ln_inv qtr
. forecast solve, begin(tq(1981q1))
. twoway (tsline f_ln_consump if qtr>=tq(1979q1)) ///
	(tsline ln_consump if qtr>=tq(1979q1)), tline(1981q1) 
. * Newey-West standard errors
. quietly ardl ln_consump ln_inc, exog(L(0/3)D.ln_inv) trend(qtr) aic regstore(ardlreg)
. quietly estimates restore ardlreg
. local cmdline `"`e(cmdline)'"' 
. di "`cmdline'"
. gettoken cmd cmdline : cmdline  
. di "`cmdline'"
. newey `cmdline' lag(4) 

Regression with Newey–West standard errors      Number of obs     =         88
Maximum lag = 4                                 F(  9,        78) =   62645.21
                                                Prob > F          =     0.0000
------------------------------------------------------------------------------
             |             Newey–West
  ln_consump | Coefficient  std. err.      t    P>|t|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
  ln_consump |
         L1. |      0.223      0.093     2.39   0.019        0.037       0.408
         L2. |      0.246      0.100     2.45   0.016        0.047       0.446
         L3. |      0.190      0.101     1.87   0.065       -0.012       0.392
      ln_inc |      0.390      0.040     9.75   0.000        0.310       0.470
      ln_inv |
         D1. |      0.084      0.026     3.27   0.002        0.033       0.136
         LD. |      0.052      0.016     3.27   0.002        0.020       0.083
        L2D. |      0.073      0.016     4.63   0.000        0.041       0.104
        L3D. |      0.048      0.017     2.78   0.007        0.014       0.083
         qtr |     -0.001      0.000    -3.25   0.002       -0.002      -0.000
       _cons |     -0.319      0.110    -2.89   0.005       -0.539      -0.099
------------------------------------------------------------------------------
. * 长期系数的检验
. nlcom _b[ln_inc] / (1 - _b[L.ln_consump] - _b[L2.ln_consump] - _b[L3.ln_consump])

------------------------------------------------------------------------------
  ln_consump | Coefficient  Std. err.      z    P>|z|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
       _nl_1 |      1.144      0.069    16.54   0.000        1.008       1.279
------------------------------------------------------------------------------

6. 相关推文

Note:产生如下推文列表的 Stata 命令为:
lianxh 自回归, m
安装最新版 lianxh 命令:
ssc install lianxh, replace

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