TVP-VAR：时变参数向量自回归模型

发布时间：2020-05-05 阅读 29925

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作者： 吕政 (中央财经大学)
邮箱： 1433722321@qq.com

1. VAR 模型的介绍

我们在利用计量经济模型做实证分析时，通常会以某个经济理论为依据，在此基础上借助计量模型刻画经济变量之间结构上的关系。事实上，对于实际经济中的某些问题，我们可能并不关心经济变量之间的结构关系，而是关注变量之间的动态变化关系。此外，在一个方程组中，有的变量 (内生变量) 可能会同时出现在方程的左右两边，分别作为被解释变量和解释变量。在估计这类模型时，要求方程组中的方程是可识别的 (恰好识别或过度识别) ，这就给估计和推断带来了一定难度。为了达到识别的目的，我们常常要假定某些外生变量或前定变量仅出现在某些方程中。

Sims (1980) 认为，我们为了达到识别目的所做的主观的假定往往是不可靠的，当一组变量确实存在真实的联立关系，同时我们无法判断其中的变量是否为外生变量时，原则上这些变量都应该被平等地对待，在回归之前，人为划分内生变量和外生变量的做法是不恰当的。出于这方面的考虑，Sims (1980) 提出了向量自回归模型 (VAR) 。举一个简单的例子，在两个变量的情况下，假定 $y_{t}$ 受到现在和过去 $x_{t}$ 的影响，并且 $x_{t}$ 受到现在和过去 $y_{t}$ 的影响，我们可以通过变换，将上述关系写成以下形式：

{\begin{cases} y_{t} = a_{10} + a_{11} y_{t - 1} + a_{12} x_{t - 1} + v_{1 t} \\ x_{t} = a_{20} + a_{21} y_{t - 1} + a_{22} x_{t - 1} + v_{2 t} \end{cases}

这就是 VAR 模型的一般标准形式，对于这个模型我们可以利用 OLS 进行估计。

2. TVP-VAR 基本原理

时变参数向量自回归模型 (TVP-VAR) 在 VAR 模型的基础上扩展而来，最大的改进在于它假定系数矩阵和协方差矩阵都是时变的，这有利于刻画变量之间的联立关系的非线性特征，无论是来自冲击大小的改变还是来自传导途径的改变都能得到响应。一个典型的 TVP-VAR 模型可以表示成以下形式：

$y_{t} = X_{t} β_{t} + A_{t}^{- 1} Σ_{t} ε_{t}, t = s + 1, \dots, n, ε_{t} \sim N (0, I_{k})$

其中， $y_{t}$ 是 $k \times 1$ 维可观测向量， $X_{t} = I_{k} \otimes (y_{t - 1}^{'}, \dots, y_{t - s}^{'})$ ， $β_{t}$ 为 $k^{2} s \times 1$ 维时变系数向量。

参考 Nakajima et al. (2011) 的处理方法，假定 $A_{t}$ 为下三角矩阵，该假设不仅可以保证 VAR 系统的递归识别，而且减少了待估参数的个数， $A_{t}$ 和 $Σ_{t}$ 分别为如下 $k \times k$ 维的下三角矩阵和对角矩阵：

A_{t} = [\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \dots & 0 \\ α_{21, t} & 1 & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & 0 \\ α_{k 1, 1} & \dots & α_{k, k - 1, t} & 1 \end{array}], Σ_{t} = [\begin{array}{cccc} σ_{1, t} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & σ_{2, t} & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & σ_{k, t} \end{array}]

在上述模型中，系数向量 $β_{t}$ 、矩阵 $A_{t}$ 和协方差矩阵 $Σ_{t}$ 都是时变的。时变的矩阵 $A_{t}$ 意味着第 $i$ 个变量冲击对第 $j$ 个变量的影响是随时间而变化的。

TVP-VAR 模型可利用贝叶斯推断下的马尔科夫蒙特卡洛 (MCMC) 方法进行估计，接下来介绍 Nakajima et al. (2011) 编写的 matlab 命令。

3. matlab 命令

clear all;

close all;

my = xlsread('tvpvar\_ex.xlsx'); % 读取tvpvar\_ex.xlsx里的数据

asvar = {'RDJI'; 'RSH';'RHIS'}; % excel里仅有三列时间序列数据，
                                % 分别是美国道琼斯指数、上证综合指数和香港恒生指数的收益率，
                                % 这里记为RDJI、RSH、RHIS

nlag = 1; % 设定TVP-VAR模型的滞后阶数为1

setvar('data', my, asvar, nlag); % 设定数据集，不需要更改

setvar('fastimp', 1);

mcmc(10000);

drawimp(\[1 2 3\], 1); % 设定等间距脉冲响应的滞后期数，这里选取滞后1期、2期和3期

drawimp(\[93 110 240\], 0); % 设定时点脉冲响应的时间点，
                            % 这里选取第93期、第11期、第240期，
                            % 分别对应样本区间的2007年10月、2009年3月、2020年1月。

4. TVP-VAR 模型的应用

收集了 2000 年 1 月至 2020 年 3 月，美国道琼斯指数、上证综合指数和香港恒生指数的月度数据，经平稳性检验可知，三个时间序列均为一阶单整，因此利用对数收益率序列建模，经 VAR 判断滞后阶数为 1 阶，估计结果如下：

4.1 模型估计结果

表 1 中的 Geweke 收敛诊断值 (Convergence Diagnostics) 用于测定预模拟得到的马尔科夫链是否收敛于后验分布，而无效影响因子 (Inefficiency Factors) 则是后验样本均值的方差和不相关序列样本均值的方差的比率，二者均为判断 MCMC 链模拟效果的重要依据。

根据表 1 给出的估计结果可知，Geweke 诊断概率在 5% 的显著性水平下显著 (临界值为 1.96) ，并且无效因子均比较小 (绝大多数小于 60) ，说明利用 MCMC 算法进行估计是有效的。

4.2 等间距脉冲响应结果

等间距脉冲响应是指不同时间范围 (滞后期) 冲击所引起变量的脉冲响应函数。

与 VAR 模型下二维脉冲响应不同，TVP-VAR 模型可以运用变参数计算所有时点上各变量在不同滞后期的脉冲响应图。考虑到不同时期脉冲响应的可比性，设定冲击项的大小等于样本期随机波动的均值。图 1 描绘了滞后 1、2、3 期的美股、中股和港股股指冲击的动态变化过程。

以图 1 中的第一行第二列为例，进行简单的分析。第一行第二列表示道琼斯指数对上证综指的等间距脉冲响应结果，滞后 1 期的脉冲响应远大于滞后 2 期、3 期的脉冲响应，说明股指变动的短期效应更大。

4.3 分时点脉冲响应

分时点脉冲响应是指不同确定时点上的脉冲响应函数。

为了进一步考察政策利率对债券市场利率冲击的时变规律，图 2 选取了 3 个具有代表性的观察点，2007 年 10 月、2009 年 3 月、2020 年 1 月。以图 2 中的第1行第2列为例，进行简单的分析，第一行第二列表示，道琼斯指数对上证综指的分时点脉冲响应结果，在三个时点上，美股波动对上证综指的冲击，在当期的影响最大，随后趋于收敛，特别的，2020 年 1 月的冲击在第二期由正向冲击转为负向冲击，并最终趋于收敛。

5. 参考文献

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Sims C A. Macroeconomics and reality. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 1980: 1-48. [PDF]
Nakajima J, Kasuya M, Watanabe T. Bayesian analysis of time-varying parameter vector autoregressive model for the Japanese economy and monetary policy. Journal of the Japanese and International Economies, 2011, 25(3): 225-245. [PDF]

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