Stata:时变 Granger 因果检验

发布时间:2021-10-08 阅读 112

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作者:吕媛 (北京大学)
邮箱ly1562495qy@163.com

编者按:本文主要摘译自下文,特此致谢!
Source:Asali M. vgets: A command to estimate general-to-specific VARs, Granger causality, steady-state effects, and cumulative impulse–responses[J]. The Stata Journal, 2020, 20(2): 426-434. -PDF-


目录


1. 问题背景

Granger 因果关系检验是于 1969 年首次提出的一种统计假设检验,用于确定一个时间序列是否可用于预测另一个时间序列。通常,一般回归分析反映仅是变量之间的相关性,但 Clive Granger 认为,经济学中的因果关系可以通过测量使用另一个时间序列的先验值来预测一个时间序列的未来值。

由于 “真正的因果关系” 的问题具有深刻的哲学意义,并且假设一件事在另一件事之前可以用作因果关系的证据与另一件事后存在谬误。计量经济学家断言格兰杰测试 (Granger test) 仅发现 “预测因果关系”,单独使用 “因果关系”一词是不当的。因为格兰杰因果关系被更好地描述为 “优先级”,正如格兰杰本人在 1977 年声称的 “时间相关性”,即格兰杰因果关系不是检验 X 是否导致 Y,而是检验 X 是否预测 Y

近年来,时变 Granger 因果性的研究得到了发展,Dolado 和 Lütkepohl (1996)、Shi 和 Hurn (2018)、Shi 和 Phillips (2020) 均对时变 Granger 检验作出了相关研究。传统的 Granger 因果检验方法基于时间不变模型,不能捕捉到时间序列动态行为。

在处理不同变量之间的 Granger 因果检验分析时,有一个容易忽略的问题,即 Granger 因果与时间序列的样本具有直接关系,不同时间序列的样本,得到的结果可能不一样。实际上,研究给定其他分量序列的条件下,序列间的直接动态 Granger 因果关系是将两个序列的时变 Granger 因果关系检验的 Rolling Hong 检验方法推广到多维情形,利用时变偏 Grange r因果检验对变量之间的因果关系进行再检验的方法较为合理。

2. 时变偏 Granger 因果关系

2.1 时变偏 Granger 因果关系定义

定义1:设 P 维时间序列 Xt=(X1,t,X2,t,,Xp,t),t=1,2,,p。考虑分量序列 Xi,t 和 Xj,ti,j1,2,p 之间的偏 Granger 因果关系,假设:

其中 It1j 为在 t1 时刻,序列 Xm,t,m=1,,j1,j+1,,p 所包含的的信息集;E(Xi,t|It1j) 是给定 t-1 时刻的信息条件下 Xi,t 的条件期望;ui,t为残差序列。

定义 t 时刻 uj,t 对 ui,tui,t 对 uj,t 的滞后 k0,1,2, (非负整数) 阶偏相关系数如下:

  • 如果存在 k,使得 ρij,t(k)0,则在 t 时刻 Xj 是 Xi 的偏 Granger 原因,称 Xj 和 Xi 之间存在单向偏 Granger 因果关系,记为 XjXi
  • 如果存在 k,使得 ρji,t(k)0,则在 t 时刻 Xi 是 Xj 的偏 Granger 原因,称 Xi 和 Xj 之间存在单向偏 Granger 因果关系,记为 XiXj
  • 如果存在 k 和 l,使得 ρij,t(k)0ρji,t(l)0,则在 t 时刻 Xj 和 Xi 之间有双向时变偏 Granger 因果关系记为 XjXi

对于考虑 Xi 和 Xj 之间的偏 Granger 因果关系,残差 ui,t 为去掉除 Xj,t 外其他变量过去值的影响后的序列 Xi,t 的残差;残差 uj,t 为去掉除 Xi,t 外其他变量过去值的影响后的序列 Xj,t 的残差。如果给定所有其他变量条件下,Xj,t 的过去对 Xi,t 有影响,则这部分信息将包含在残差 ui,t 中,导致残差序列 ui,t 和 uj,t 之间存在相关关系。同理,如果给定所有其他变量条件下,Xi,t 的过去对 Xj,t 有影响,则这部分信息将包含在残差 uj,t 中,导致残差序列 uj,t 和 ui,t 之间存在相关关系。

2.2 时变偏 Granger 因果关系检验

考虑 Xi,t 和 Xj,ti,j1,2,,p 之间的时变偏 Granger 因果关系,根据前文所述的定义 1,需要计算 t 时刻随机变量 ui,t 和 uj,t 之间的相关系数。由于时间序列数据的特殊性,在一个时刻只有一个观测值,对于平稳时间序列,t 时刻随机变量的统计量常结合 t 时刻前后观测值来进行估计,即选择合适的时间区间 [tS+1,t] 内的观测值,计算样本统计量。

另外一个需要考虑的问题是滞后值 k0,1,2, (非负整数) 的选择,由于观测时间的影响,不可能得到所有滞后阶数上的样本相关系数,只能根据一部分滞后阶数的结果进行判断。已有相关研究表明,一般 k 考虑构造一段滞后值 (如 k0,1,2,,S1 阶) 上的相关系数的函数作为检验统计量推断 Granger 因果关系。下面介绍具体方法和步骤。

根据前文所述的不失一般性原则,假设要检验分量序列 X1,t 和 X2,t 之间的时变偏 Granger 因果关系,由定义 1,首先建立 VAR(q) 模型,其中 q 为给定的最大滞后值:

分别得到 X1,t 和 X2,t 给定其他分量序列 (分别为除 X2,t 和 X1,t 外) 滞后影响下的标准化残差序列 u1,t 和 u2,tt=1,2,,T。为判断时变 Granger 因果性,本文参考 Hong (2001) 提出 Rolling 子样本上的 Hong 检验方法,本文将的方法应用到时变偏 Granger 因果性的检验。

对于选定的子样大小参数 SS<T,计算抽样区间 [tS+1,t] 内 u1,t 和 u2,t 的滞后 k 阶样本互协方差:

计算 u2,t 对 u1,t 的滞后k阶样本互相关系数:

同理,可以计算出 u1,t 对 u2,t 的滞后 k 阶样本互相关系数:

其中 C11,t(0,S)C22,t(0,S) 为 u1,t 和 u2,t 的子样本方差,r12,t(k,S),r21,t(k,S) 称为 Rolling 偏相关系数。

如果序列 u1,t 和 u2,t 是相互独立的,并且存在 2 阶矩,则存在公式:

基于以上定义的 Rolling 偏相关系数 r12,t(k,S)r21,t(k,S),构造 Rolling Hong 检验统计量,定义 t 时刻 X2X1 的单向 Rolling Hong 检验,判断单向时变偏 Granger 因果关系:

定义 t 时刻 X1X2 的单向 Rolling Hong 检验统计量:

同理,定义 t 时刻 X1X2 的双向 Rolling Hong 检验统计量,判断双向时变偏 Granger 因果关系:

此外,在合适的正则化条件下,如果序列 X1,t 和 X2,t 相互独立,则 Rolling Hong 检验统计量服从渐近正态分布。可以证明,类似的结果对于本文的偏相关统计量仍然成立,即当 S

3. 时变偏 Granger 因果关系检验步骤

综合时变偏 Granger 因果关系定义与时变偏 Granger 因果关系检验分析,时变偏 Granger 因果关系的检验步骤如下:

  • 建立 VAR 模型,计算模型的标准化残差;
  • 计算 ui,t 的滞后 k 阶相关系数,ri,ti=1,2
  • 根据确定的子样大小参数 S ,核函数 K(x) 和参数 M,计算时变偏 Granger 因果关系检验统计量 H1,tr(S)H2,tr(S) 和 H12,tr(S) 的值;
  • 判断 t 时刻因果关系的存在性,显著性水平 α=0.01,若 Hi,tr(S)>2.33,i=1,2 和 H12,tr(S)>2.33,则称 t 时刻对应的单向 (双向) 偏 Granger 因果关系是显著的。

4. 案例实证分析

4.1 数据来源与处理

本小节我们来看一个实际应用案例,选取 2010 年 1 月 4 日至 2021 年 7 月 5 日的上证指数 (000001.SH)、深证指数 (399001.SZ)、恒生指数 (HSI.HI) 的日收盘价数据作为原始数据,共 2794 组数据,数据来源于万德(wind)数据库。本文采用计算对数收益率来衡量各个股票市场的收益情况,计算公式如下:

上述公式中,Pt 代表第 t 天的股票市场的收盘价格,Rt 代表每日的对数收益率。下图是上证指数 (000001.SH)、深证指数 (399001.SZ)、恒生指数 (HSI.HI) 的日收益率数据图。

从上图可以看出,上证指数 (000001.SH) 和深证指数 (399001.SZ) 的日收益率波动范围在 [0.03,-0.04] 之间,而香港恒生指数 (HSI.HI) 的日收益率波动范围在 [0.04,-0.03] 之间,上证股市、深圳股市和香港股市的整体日收益率波动不是太大,但上证指数 (000001.SH) 和深证指数 (399001.SZ) 相较于恒生指数 (HSI.HI),明显波动更大一些。

4.2 变量统计分析及 VAR 模型

在 Stata 数据集中,date 为日期,shratio 为上证指数收益率,szratio 为深证成指收益率, hisratio 为恒生指数收益率。

上述式子中,α0 是由截距项组成的向量,β1 到 βk 均为 3 × 3 的系数矩阵。变量的描述性统计分析如下:

. cnssc install lxhuse, replace
. lxhuse indextvgc.dta, clear
. sum sh_ratio sz_ratio his_ratio

    Variable |        Obs        Mean    Std. dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
    sh_ratio |      2,794    .0000133    .0058304  -.0385357   .0243359
    sz_ratio |      2,794     .000013    .0070651  -.0383245   .0271617
   his_ratio |      2,794    .0000395    .0050928  -.0261371   .0303439

4.3 VAR 模型

通过上证指数 (000001.SH)、深证指数 (399001.SZ)、恒生指数 (HSI.HI) 的日收益率数据图及上述的描述性统计分析结果可知,三类指数数据较为平稳。

(1) 设置时间序列。将数据导入 Stata 软件中,文件 .dta 中 date 变量为 string 类型。需要将 string 类型的 date 变量,通过 Encode string variable to labled numerical 操作转变为 labled numerical 类型,再将 date 变量定义为时间变量,输入命令为:

. tsset datetime

(2) VAR 模型确定滞后阶数。为了估计 VAR,首先需要根据信息准则确定 VAR 模型的滞后阶数,本文用以下命令来计算不同滞后期的信息准则,其中 soc 表示 “Selection-Older Criteria”,选择项 maxlag(8) 表示最多滞后 8 阶。

. varsoc sh_ratio sz_ratio his_ratio, maxlag(8)

Lag-order selection criteria
   Sample: 9 thru 2794                                   Number of obs = 2,786
  +---------------------------------------------------------------------------+
  | Lag |    LL      LR      df    p     FPE       AIC      HQIC      SBIC    |
  |-----+---------------------------------------------------------------------|
  |   0 |  34263.7                     4.2e-15  -24.5949  -24.5926* -24.5885* |
  |   1 |  34273.2  18.977    9  0.025 4.2e-15  -24.5953   -24.586  -24.5697  |
  |   2 |  34281.1  15.892    9  0.069 4.2e-15  -24.5945  -24.5784  -24.5498  |
  |   3 |  34292.4  22.556    9  0.007 4.2e-15  -24.5961  -24.5731  -24.5323  |
  |   4 |  34300.6  16.356    9  0.060 4.2e-15  -24.5955  -24.5656  -24.5125  |
  |   5 |    34313  24.792    9  0.003 4.2e-15   -24.598  -24.5611  -24.4958  |
  |   6 |  34326.6  27.258*   9  0.001 4.2e-15* -24.6013* -24.5575  -24.4799  |
  |   7 |  34334.8  16.336    9  0.060 4.2e-15  -24.6007    -24.55  -24.4602  |
  |   8 |  34341.2   12.78    9  0.173 4.2e-15  -24.5988  -24.5412  -24.4391  |
  +---------------------------------------------------------------------------+
   * optimal lag
   Endogenous: sh_ratio sz_ratio his_ratio
    Exogenous: _cons

上述命令的输出结果中,“LL” 表示对数似然函数;“LR” 表示似然比检验,即对最后一阶系数的联合显著性进行似然比检验,随后的 df 和 P 分别表示此似然比统计量的自由度与 P 值;“FPE” 表示 Akaike's Final Prediction Error,度量向前一期预测的均方误差 (MSE of one-step ahead forest)。由下表的星号可知,根据 LR 准则、FPE 准则和 AIC 准则,选择滞后阶数 lag = 6。

(3) 模型估计。下面估计 6 阶向量自回归模型,dfk small 为使用选项进行小样本自由度调整。

. var sh_ratio sz_ratio his_ratio, lags(1/6) dfk small

. *部分输出结果
Vector autoregression
Sample: 7 thru 2794                             Number of obs     =      2,788
Log likelihood =   34351.26                     AIC               =  -24.60133
FPE            =   4.15e-15                     HQIC              =  -24.55754
Det(Sigma_ml)  =   3.99e-15                     SBIC              =  -24.48003
Equation           Parms      RMSE     R-sq        F       P > F
----------------------------------------------------------------
sh_ratio             19     .005806   0.0139   2.163903   0.0030
sz_ratio             19     .007049   0.0112   1.739651   0.0271
his_ratio            19      .00509   0.0076   1.183077   0.2658
----------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
             | Coefficient  Std. err.      t    P>|t|     [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
sh_ratio     |
    sh_ratio |
         L1. |      0.011      0.053     0.21   0.832       -0.092       0.115
         L2. |     -0.110      0.053    -2.10   0.036       -0.214      -0.007
         L3. |      0.081      0.053     1.52   0.127       -0.023       0.184
         L4. |      0.120      0.053     2.27   0.023        0.016       0.224
         L5. |      0.078      0.053     1.48   0.140       -0.026       0.182
         L6. |     -0.032      0.053    -0.60   0.550       -0.135       0.072
             |
    sz_ratio |
         L1. |      0.013      0.042     0.30   0.761       -0.070       0.095
         L2. |      0.048      0.042     1.15   0.252       -0.034       0.131
         L3. |     -0.048      0.042    -1.13   0.258       -0.130       0.035
         L4. |     -0.111      0.042    -2.64   0.008       -0.194      -0.029
         L5. |     -0.052      0.042    -1.23   0.221       -0.134       0.031
         L6. |     -0.035      0.042    -0.83   0.409       -0.117       0.048
             |
   his_ratio |
         L1. |      0.017      0.026     0.66   0.512       -0.034       0.069
         L2. |      0.028      0.026     1.06   0.291       -0.024       0.079
         L3. |     -0.010      0.026    -0.38   0.706       -0.061       0.042
         L4. |     -0.015      0.026    -0.59   0.558       -0.067       0.036
         L5. |     -0.046      0.026    -1.74   0.081       -0.097       0.006
         L6. |      0.008      0.026     0.31   0.755       -0.043       0.060
             |
       _cons |      0.000      0.000     0.12   0.902       -0.000       0.000
-------------+----------------------------------------------------------------

(4) 检验各阶系数的联合显著性。结果显示,虽然单一方差的某些系数不显著,但是作为三个方程的整体,各阶系数均高度显著。

. varwle

   Equation: sh_ratio
  +---------------------------------------+
  | lag |     F       df   df_r  Prob > F |
  |-----+---------------------------------|
  |   1 |  1.24895     3   2769   0.2904  |
  |   2 |  2.47807     3   2769   0.0595  |
  |   3 |  .919191     3   2769   0.4307  |
  |   4 |  2.57827     3   2769   0.0520  |
  |   5 |  1.49589     3   2769   0.2136  |
  |   6 |  4.40154     3   2769   0.0043  |
  +---------------------------------------+

   Equation: sz_ratio
  +---------------------------------------+
  | lag |     F       df   df_r  Prob > F |
  |-----+---------------------------------|
  |   1 |  .782853     3   2769   0.5034  |
  |   2 |  1.20098     3   2769   0.3079  |
  |   3 |   .32652     3   2769   0.8062  |
  |   4 |  4.13559     3   2769   0.0062  |
  |   5 |  1.86684     3   2769   0.1330  |
  |   6 |  2.10341     3   2769   0.0977  |
  +---------------------------------------+

   Equation: his_ratio
  +---------------------------------------+
  | lag |     F       df   df_r  Prob > F |
  |-----+---------------------------------|
  |   1 |  .700641     3   2769   0.5516  |
  |   2 |  1.72143     3   2769   0.1604  |
  |   3 |  3.66909     3   2769   0.0118  |
  |   4 |  .367195     3   2769   0.7767  |
  |   5 |  .264106     3   2769   0.8513  |
  |   6 |  .136004     3   2769   0.9386  |
  +---------------------------------------+

   Equation: All
  +---------------------------------------+
  | lag |     F       df   df_r  Prob > F |
  |-----+---------------------------------|
  |   1 |  1.92316     9   2769   0.0446  |
  |   2 |  1.99728     9   2769   0.0359  |
  |   3 |  2.67929     9   2769   0.0042  |
  |   4 |  1.91337     9   2769   0.0458  |
  |   5 |   2.9537     9   2769   0.0017  |
  |   6 |  3.05162     9   2769   0.0012  |
  +---------------------------------------+

(5) 检验残差是否为白噪声 (residual whitenoise)。检验残差是否为白噪声 (residual whitenoise),即残差是否存在自相关。结果显示,可以接受残差 “无自相关” 的原假设,即认为扰动项为白噪声。

. varlmar

   Lagrange-multiplier test
  +--------------------------------------+
  | lag  |      chi2    df   Prob > chi2 |
  |------+-------------------------------|
  |   1  |   16.4265     9     0.05849   |
  |   2  |   22.9053     9     0.00641   |
  +--------------------------------------+
   H0: no autocorrelation at lag order

(6) 平稳过程检验。为了进一步检验该VAR模型是否具有稳定性,即是否为平稳过程,本文还做了稳定性分析。表与图的结果显示,所有特征值均在单位圆之内,故此 VAR 系统是稳定的

. varstable, graph

   Eigenvalue stability condition
  +----------------------------------------+
  |        Eigenvalue        |   Modulus   |
  |--------------------------+-------------|
  |   .0471517 +  .6534008i  |     .6551   |
  |   .0471517 -  .6534008i  |     .6551   |
  |  -.5572945 +   .328331i  |   .646822   |
  |  -.5572945 -   .328331i  |   .646822   |
  |  -.4816658 +  .4277156i  |    .64416   |
  |  -.4816658 -  .4277156i  |    .64416   |
  |   .5665538 +  .2329757i  |   .612585   |
  |   .5665538 -  .2329757i  |   .612585   |
  |  .00378917 +  .5691465i  |   .569159   |
  |  .00378917 -  .5691465i  |   .569159   |
  |   .3481306 +  .4143969i  |   .541221   |
  |   .3481306 -  .4143969i  |   .541221   |
  |   .3715601 +  .3064064i  |   .481603   |
  |   .3715601 -  .3064064i  |   .481603   |
  |   .4477283               |   .447728   |
  |  -.4447225               |   .444723   |
  |  -.2748956 +  .3151223i  |   .418174   |
  |  -.2748956 -  .3151223i  |   .418174   |
  +----------------------------------------+
   All the eigenvalues lie inside the unit circle.
   VAR satisfies stability condition.

(7) 正态分布检验。为进一步检验VAR模型的残差是否服从正态分布,本文作出如下命令检验分析。以下结果说明,所有检验结果在 1% 的显著水平上拒绝这三个变量的扰动项服从正态分布的原假设。尽管扰动项不服从正态分布对 VAR 模型的影响不大,但残差项的非正态性暗示模型可能偏离了真实的数据生成过程 (GDP)。

. varnorm

   Jarque-Bera test
  +--------------------------------------------------------+
  |           Equation |            chi2   df  Prob > chi2 |
  |--------------------+-----------------------------------|
  |           sh_ratio |          4264.744  2    0.00000   |
  |           sz_ratio |          1926.447  2    0.00000   |
  |          his_ratio |          604.225   2    0.00000   |
  |                ALL |          6795.415  6    0.00000   |
  +--------------------------------------------------------+

   Skewness test
  +--------------------------------------------------------+
  |           Equation | Skewness   chi2   df  Prob > chi2 |
  |--------------------+-----------------------------------|
  |           sh_ratio |   -.898  374.712   1    0.00000   |
  |           sz_ratio | -.27387   34.851   1    0.00000   |
  |          his_ratio | -.12117    6.822   1    0.00901   |
  |                ALL |          416.384   3    0.00000   |
  +--------------------------------------------------------+

   Kurtosis test
  +--------------------------------------------------------+
  |           Equation | Kurtosis   chi2   df  Prob > chi2 |
  |--------------------+-----------------------------------|
  |           sh_ratio |  8.7868  3890.032  1    0.00000   |
  |           sz_ratio |  7.0353  1891.596  1    0.00000   |
  |          his_ratio |  5.2677  597.403   1    0.00000   |
  |                ALL |          6379.031  3    0.00000   |
  +--------------------------------------------------------+
   dfk estimator used in computations

4.4 时变偏 Granger 因果关系检验

. vargranger

   Granger causality Wald tests
  +------------------------------------------------------------------------+
  |          Equation           Excluded |     F      df    df_r  Prob > F |
  |--------------------------------------+---------------------------------|
  |          sh_ratio           sz_ratio |  1.9867     6    2769   0.0642  |
  |          sh_ratio          his_ratio |  .89529     6    2769   0.4973  |
  |          sh_ratio                ALL |  1.4721    12    2769   0.1270  |
  |--------------------------------------+---------------------------------|
  |          sz_ratio           sh_ratio |  1.7219     6    2769   0.1118  |
  |          sz_ratio          his_ratio |  1.2818     6    2769   0.2621  |
  |          sz_ratio                ALL |  1.4243    12    2769   0.1470  |
  |--------------------------------------+---------------------------------|
  |         his_ratio           sh_ratio |   2.037     6    2769   0.0576  |
  |         his_ratio           sz_ratio |  1.2082     6    2769   0.2988  |
  |         his_ratio                ALL |  1.6115    12    2769   0.0814  |
  +------------------------------------------------------------------------+

在以 sh_ratio 为被解释变量的方程中,检验变量 sz_ratio 的卡方统计量为 1.9867,相应的 p 值为 0.0642,故可以认为 sz_ratiosh_ratio 的格兰杰原因。同理,检验变量 his_ratio 的卡方统计量为 0.89529,相应的 p 值为 0.4973,故可以认为 his_ratio 不是 sh_ratio 的格兰杰原因。在以 his_ratio 为被解释变量的方程中,检验变量 sz_ratio 的卡方统计量为 1.2082,相应的 p 值为 0.2988,故可以认为 sz_ratio 不是 his_ratio 的格兰杰原因。但 sh_ratio 的卡方统计量为 2.037,相应的 p 值为 0.0576,且 sh_ratiosz_ratio 的联合显著性卡方统计值为 1.6115,相应的 p 值为 0.0814,因此强烈拒绝 sh_ratiosz_ratio 都不是 his_ratio 的格兰杰原因的原假设。

上述结果综合来看,his_ratio 不是 sh_ratio 的格兰杰原因,但 sh_ratiohis_ratio 的格兰杰原因。sz_ratiosh_ratio 的格兰杰原因,但 sh_ratio 不是 sz_ratio 的格兰杰原因。显然,传统的 Granger 因果关系并未给出唯一的变量作用次序。

5. 相关推文

Note:产生如下推文列表的 Stata 命令为:
lianxh 格兰杰 var grange, m
安装最新版 lianxh 命令:
ssc install lianxh, replace

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